教員採用試験教養数学（栃木県）その2（2015年7月5日）

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3 . yはxに反比例し、x＝4のとき、y＝－3である。x＝－6のとき、yの値を求めよ。ア.－4 イ. －2 ウ.1 エ.2 オ.4 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4. 半径が2の球の体積を求めよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5. 2個のサイコロを同時に投げるとき、出た目の数の和が5の倍数となる確率を求めよ。3の解答例正解は、肢エです。ちなみに、yがxに比例するときは、y＝axとおけますね。4の解答例正解は、肢ウです。ちなみに、球の表面積は、でしたね。5の解答例正解は、肢エです。

教員採用試験教養数学（茨城県）2015年7月12日

①次の2次方程式を解きなさい。②2つのさいころA、Bを同時に投げるとき、出る目の数の和が5になる確率を求めなさい。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③次の図のように、円Oの円周上に3点A、B、Cがある。∠AOCが120º、∠BCOが25ºのとき、∠xの大きさを求めなさい。④次の図の△ABCは∠C＝90º、辺ACが3cm、辺BCが4cmの直角三角形である。点PはBを出発して、辺BC上をCまで動く。点PがBからxcm動いたときの△ABPの面積をy㎠とするとき、yをxの式で表しなさい。①左辺は因数分解できないので、解の公式より、②表を作って、和が5になるところに○をつけます。○が4つです。目の出方は全部で6×6＝36通りなので、正解は36分の4。つまり9分の1です。③弧ACに対する中心角が120ºなので、その円周角∠ABC＝60º。ブーメラン定理より、x＝120－25－60＝35º。正解は35ºです。

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教員採用試験教養数学（山形県）2015年7月25日

次の問いに答えなさい。2　　図1において、大きさの異なるものも含め、三角形は全部で何個あるか、求めなさい。3 図2において、円Oは△ABCの外接円であり、点Bにおける円Oの接線をlとする。また、接線lが辺ACの延長した線と交わる点をDとする。AC＝2cm、BD＝3cmであるとき、CDの長さを求めなさい。4 図3の長方形ABCDを、直線lを軸として1回転させたときにできる立体図形の体積を求めなさい。ただし、円周率はπとする。1　　2 一番小さい三角形が25個あるのは、すぐに分かります。その次に小さい三角形は、や、ですから、そういう三角形をみつけたら、その重心（中心）に、点をつけておきます。そうすると、ほらほら、このように、点が13個。次の大きさの三角形は、これも同じように、重心（中心）に点をつけて、次が、この大きさで、点をつけると、最後が、大きな三角形1個。25＋13＋6＋3＋1＝48だから、正解は48個です。3 接弦定理より、∠CBD＝∠CABなので、△CBDと△BADが相似になることから、CDの長さを求めてもいいですし、相似が面倒くさかったら、方べきの定理でやっても構いません。ここは、方べきの定理でやってみます。方べきの定理とは、本問の場合は、CDの長さをxcmとすると、正解は、－1＋√10。4 lを軸として1回転すると、体積を求めると、正解は、24π。

教員採用試験教養数学（青森県）

次の（1）～（4）に答えなさい。（1）計算の値を、次の①～⑧から1つ選びなさい。（2）図のように6等分され、数字の書かれたA,Ｂ,Cの円盤を一定の速さで回転させ、それぞれに矢を放つ。Aに当たった部分に書かれた数字を百の位の数、Bに当たった部分に書かれた数字を十の位の数、Cに当たった部分に書かれた数字を一の位の数として、3けたの自然数を作るとき、5の倍数になる確率を、次の①～⑧から1つ選びなさい。（3）下の図で、∠ADE＝∠ACBのとき、xとyの長さを、次の①～⑧から1つ選びなさい。（4）（1）肢⑥が正解です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）1の位の数字が0か5なら、その数は5の倍数です。ただし、本問では、3けたの自然数を作るとき、という条件があります。でもでも、円盤Aには、0がありませんので、必ず3けたの自然数ができます。このとき、もしも矢が円盤に当たらなかったら？などと考えるのは野暮な話。要するに、Cの円盤の0か5に矢が当たれば3けたの5の倍数がちゃんとできます。よって、6分の2。約分して、3分の1が正解です。肢⑥　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3）△ADEと△ACBが相似になります。よって、④が正解です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4）直線イと直線ウの交点は、連立方程式を解いて、（－2, 3）です。これが放物線上にあるので、放物線の式に代入して、①が正解です。

警視庁1類から（？）その2

前回、2枚の画像を貼りましたが、実は、始めはこの画像にするつもりだったのです。どこが違うかというと、波線のところが、前回は～個となっていますが、今回は～通りとなっています。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　わざと間違えやすくするために、～個と変えて画像を貼りなおしたのです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　基本的には、～個でも、～通りでも同じことです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　x（15と記載されたカードの枚数）とy（35と記載されたカードの枚数）の組み合わせが、全部で29通りある、ということで、だからといって、それが本当に29個かどうかは、まだ分からないのです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　つまり、同じ数がダブっているかもしれない。例えば、x＝7で、y＝0という組み合わせのとき、15×7＋35×0＝105。x＝0で、y＝3という組み合わせのとき、15×0＋35×3＝105。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　とすると、せっかくこんなに苦労して式を作って計算したのに、もう一度、数字がダブっていないかどうか調べ直さなければいけない訳です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　そこで教訓。本問は、150以下の自然数で5の倍数は30個しかないのだから、その30個を書き出しておいて、表すことができたものを消していく、という、原始的なやり方が安全かつ速い解法だといえます。それでは、やってみます。35のカードを使わないときは、15、30、45、60、75、90、105、120、135、150だから、35のカードを1枚使うときは、35、50、65、80、95、110、125、140だから、35のカードを2枚使うときは、70、85、100、115、130、145だから、35のカードを3枚使うときは、105、120、135、150だから、もう消すものはありません。最終的に、6個残りましたので、正解は肢②の6個です。是非、自分でやってみてください。2つとばしでバツをつけるだけなので、簡単デスヨ。