こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
空には夏らしい雲が見られますが、相変わらず太平洋高気圧は現れず、いつもの夏とは少し違った様相です。しばらく気温が３０℃前後の日が続き、暑さが増すのは少し先のようです。
さて、今回は２０１２年日本数学オリンピック予選に出題された場合の数の問題です。
問題は、
「次の条件をみたすように正の整数の列を書く方法は何通りあるか。
条件：最初に２０１２を書き、最後に１を書く。 ｎを書いた次には√ｎ未満の正の整数を書く。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
様子が判りづらいので、少し小さな数で調べてみましょう。
例えば、最初の数が２のとき、√２＝１．４１４・・・なので、次にくる数は１になり、このときの整数列は、［２，１］で１通りです。
最初の数が３と４のときも、√３＝１．７３２・・・と√４＝２なので、このときの整数列は、それぞれ［３，１］で［４，１］で、どちらも１通りです。
それでは最初の数を５にしてみると、√５＝２．２３６・・・なので、このときの整数列は、［５，２，１］、［５，１］の２通りになります。
次に、少し飛んで最初の数が１０のとき、√１０＝３．１６２・・・なので、このときの整数列は、［１０，３，１］、［１０，２，１］、［１０，１］で、３通りです。
ここで少し考えをめぐらしてみると、
・２^2＝４以下の数が最初の数の場合、次にくる数は１
・最初の数が４より大きくて９以下の数の場合、次にくる数は２または１
・最初の数が１０の場合、次にくる数は３、２または１
と、平方数を境にして、次にくる数の個数が増えていくことが判ります。
さらに、最初の数が１０のときの整数列［１０，３，１］と［１０，２，１］の個数は、それぞれ整数列［３，１］と［２，１］の個数に等しくなります。
以上から、問題に与えられた条件を満たす整数列の個数の規則が判りました。
そこで、最初の数をｋとして、条件を満たす整数列の個数をＡkとしましょう。このとき、√２０１２＝４４．８５５・・・なので、最初の数が２０１２の場合、次にくる数は４４以下になります。つまり、Ａ44までを調べればＯＫです。
すると、
Ａ1＝Ａ2＝Ａ3＝Ａ4＝１
Ａ5＝Ａ6＝Ａ7＝Ａ8＝Ａ9＝Ａ1＋Ａ2＝２
Ａ10＝Ａ11＝・・・＝Ａ16＝Ａ1＋Ａ2＋Ａ3＝３
Ａ17＝Ａ18＝・・・＝Ａ25＝Ａ1＋Ａ2＋Ａ3＋Ａ4＝４
Ａ26＝Ａ27＝・・・＝Ａ36＝Ａ1＋Ａ2＋Ａ3＋Ａ4＋Ａ5＝６
Ａ37＝Ａ38＝・・・＝Ａ44＝Ａ1＋Ａ2＋Ａ3＋Ａ4＋Ａ5＋Ａ6＝８
になり、
Ａ2012＝Ａ1＋Ａ2＋・・・＋Ａ44
＝ （Ａ1＋Ａ2＋・・・＋Ａ4）
＋（Ａ5＋Ａ6＋・・・＋Ａ9）
＋（Ａ10＋Ａ11＋・・・＋Ａ16）
＋（Ａ17＋Ａ18＋・・・＋Ａ25）
＋（Ａ26＋Ａ27＋・・・＋Ａ36）
＋（Ａ37＋Ａ38＋・・・＋Ａ44）
＝１×４＋２×５＋３×７＋４×９＋６×１１＋８×８
＝４＋１０＋２１＋３６＋６６＋６４
＝２０１
です。
したがって、問題に与えられた条件を満たす整数列は２０１通りです。
簡単な具体例を調べてみると見通しが良くなります。意味の判りづらいときは試してみてください。
空には夏らしい雲が見られますが、相変わらず太平洋高気圧は現れず、いつもの夏とは少し違った様相です。しばらく気温が３０℃前後の日が続き、暑さが増すのは少し先のようです。
さて、今回は２０１２年日本数学オリンピック予選に出題された場合の数の問題です。
問題は、
「次の条件をみたすように正の整数の列を書く方法は何通りあるか。
条件：最初に２０１２を書き、最後に１を書く。 ｎを書いた次には√ｎ未満の正の整数を書く。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
様子が判りづらいので、少し小さな数で調べてみましょう。
例えば、最初の数が２のとき、√２＝１．４１４・・・なので、次にくる数は１になり、このときの整数列は、［２，１］で１通りです。
最初の数が３と４のときも、√３＝１．７３２・・・と√４＝２なので、このときの整数列は、それぞれ［３，１］で［４，１］で、どちらも１通りです。
それでは最初の数を５にしてみると、√５＝２．２３６・・・なので、このときの整数列は、［５，２，１］、［５，１］の２通りになります。
次に、少し飛んで最初の数が１０のとき、√１０＝３．１６２・・・なので、このときの整数列は、［１０，３，１］、［１０，２，１］、［１０，１］で、３通りです。
ここで少し考えをめぐらしてみると、
・２^2＝４以下の数が最初の数の場合、次にくる数は１
・最初の数が４より大きくて９以下の数の場合、次にくる数は２または１
・最初の数が１０の場合、次にくる数は３、２または１
と、平方数を境にして、次にくる数の個数が増えていくことが判ります。
さらに、最初の数が１０のときの整数列［１０，３，１］と［１０，２，１］の個数は、それぞれ整数列［３，１］と［２，１］の個数に等しくなります。
以上から、問題に与えられた条件を満たす整数列の個数の規則が判りました。
そこで、最初の数をｋとして、条件を満たす整数列の個数をＡkとしましょう。このとき、√２０１２＝４４．８５５・・・なので、最初の数が２０１２の場合、次にくる数は４４以下になります。つまり、Ａ44までを調べればＯＫです。
すると、
Ａ1＝Ａ2＝Ａ3＝Ａ4＝１
Ａ5＝Ａ6＝Ａ7＝Ａ8＝Ａ9＝Ａ1＋Ａ2＝２
Ａ10＝Ａ11＝・・・＝Ａ16＝Ａ1＋Ａ2＋Ａ3＝３
Ａ17＝Ａ18＝・・・＝Ａ25＝Ａ1＋Ａ2＋Ａ3＋Ａ4＝４
Ａ26＝Ａ27＝・・・＝Ａ36＝Ａ1＋Ａ2＋Ａ3＋Ａ4＋Ａ5＝６
Ａ37＝Ａ38＝・・・＝Ａ44＝Ａ1＋Ａ2＋Ａ3＋Ａ4＋Ａ5＋Ａ6＝８
になり、
Ａ2012＝Ａ1＋Ａ2＋・・・＋Ａ44
＝ （Ａ1＋Ａ2＋・・・＋Ａ4）
＋（Ａ5＋Ａ6＋・・・＋Ａ9）
＋（Ａ10＋Ａ11＋・・・＋Ａ16）
＋（Ａ17＋Ａ18＋・・・＋Ａ25）
＋（Ａ26＋Ａ27＋・・・＋Ａ36）
＋（Ａ37＋Ａ38＋・・・＋Ａ44）
＝１×４＋２×５＋３×７＋４×９＋６×１１＋８×８
＝４＋１０＋２１＋３６＋６６＋６４
＝２０１
です。
したがって、問題に与えられた条件を満たす整数列は２０１通りです。
簡単な具体例を調べてみると見通しが良くなります。意味の判りづらいときは試してみてください。