こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
これから気温が上がって昼過ぎには３２℃に達し、おまけに湿度も８４％なので蒸し暑い午後になりそうです。明日は少し気温が低めで過ごしやすい日になりそうです。
さて、今回は２０１０年ジュニア数学オリンピック予選に出題された場合の数の問題を取り上げます。
問題は、
「１、２、３、４の数がそれぞれ書かれたスペードのトランプ４枚、１、２、３、・・・、６がそれぞれ書かれたハートのトランプ６枚、１、２、３、・・・、８がそれぞれ書かれたダイヤのトランプ８枚がある。各マークから１枚ずつ計３枚選ぶとき、選んだ３枚のトランプに書かれた数の和が７の倍数となるような選び方は何通りあるか。」です。
早速、取り掛かりましょう。
スペード、ハート、ダイヤから選んだトランプに書かれている数を、それぞれａ、ｂ、ｃとします。
すると、
１≦ａ≦４
１≦ｂ≦６
１≦ｃ≦８
なので、
３≦ａ＋ｂ＋ｃ≦１８
です。
一方、ａ＋ｂ＋ｃが７の倍数になるのですから、ａ＋ｂ＋ｃ＝７または１４です。
ここで、ａ＋ｂ＋ｃ＝７の場合と１４の場合で場合分けします。
・ａ＋ｂ＋ｃ＝７の場合
ａ＝１のとき、ｂ＋ｃ＝６なので、ｂ、ｃの組合せ（ｂ，ｃ）は、（１，５）（２，４）（３，３）（４，２）（５，１）の５通り。
ａ＝２のとき、ｂ＋ｃ＝５なので、（ｂ，ｃ）は、（１，４）（２，３）（３，２）（４，１）の４通り。
ａ＝３のとき、ｂ＋ｃ＝４なので、（ｂ，ｃ）は、（１，３）（２，２）（３，１）の３通り。
ａ＝４のとき、ｂ＋ｃ＝３なので、（ｂ，ｃ）は、（１，２）（２，１）の２通り。
で、合計すると、５＋４＋３＋２＝１４通りです。
・ａ＋ｂ＋ｃ＝１４の場合
ａ＝１のとき、ｂ＋ｃ＝１３なので、（ｂ，ｃ）は、（５，８）（６，７）の２通り。
ａ＝２のとき、ｂ＋ｃ＝１２なので、（ｂ，ｃ）は、（４，８）（５，７）（６，６）の３通り。
ａ＝３のとき、ｂ＋ｃ＝１１なので、（ｂ，ｃ）は、（３，８）（４，７）（５，６）（６，５）の４通り。
ａ＝４のとき、ｂ＋ｃ＝１０なので、（ｂ，ｃ）は、（２，８）（３，７）（４，６）（５，５）（６，４）の５通り。
で、合計すると、２＋３＋４＋５＝１４通りです。
したがって、すべての組合せは、１４＋１４＝２８通りで、これが答えです。
他の解き方としては、ａ、ｂ、ｃを７で割った剰余を利用する方法があります。
ａ、ｂ、ｃを７で割った剰余を、それぞれａ’、ｂ’、ｃ’とすると、
ａ’：１、２、３、４
ｂ’：１、２、３、４、５、６
ｃ’：１、２、３、４、５、６、０、１
です。
ここで、ｂ’は０以外の７の剰余をすべて含んでいるので、ａ’＋ｃ’が７で割り切れない場合、適当なｂ’を選ぶことで、ａ’＋ｂ’＋ｃ’は７で割り切れるようにすることができます。
一方、ｂ’は０を含んでいないので、ａ’＋ｃ’が７で割り切れる場合、ａ’＋ｂ’＋ｃ’は７で割り切れません。
つまり、すべてのａとｃの組合せから、ａ＋ｃが７で割り切れる組合せを引いたものがａ＋ｂ＋ｃが７の倍数になる組合せになります。
ここで、
ａとｃのすべての組合せ：４×８＝３２通り
ａ＋ｃが７で割り切れるａとｃの組合せ：（ａ，ｃ）＝（１，６）（２，５）（３，４）（４，３）の４通り
なので、ａ＋ｂ＋ｃが７の倍数になる組合せは、３２－４＝２８通りです。
７程度であれば、すべて書き上げても手間はかかりませんが、これが大きな数になると２番目の方法を利用するのが楽かもしれません。頭の片隅に入れておくとよいでしょう。
これから気温が上がって昼過ぎには３２℃に達し、おまけに湿度も８４％なので蒸し暑い午後になりそうです。明日は少し気温が低めで過ごしやすい日になりそうです。
さて、今回は２０１０年ジュニア数学オリンピック予選に出題された場合の数の問題を取り上げます。
問題は、
「１、２、３、４の数がそれぞれ書かれたスペードのトランプ４枚、１、２、３、・・・、６がそれぞれ書かれたハートのトランプ６枚、１、２、３、・・・、８がそれぞれ書かれたダイヤのトランプ８枚がある。各マークから１枚ずつ計３枚選ぶとき、選んだ３枚のトランプに書かれた数の和が７の倍数となるような選び方は何通りあるか。」です。
早速、取り掛かりましょう。
スペード、ハート、ダイヤから選んだトランプに書かれている数を、それぞれａ、ｂ、ｃとします。
すると、
１≦ａ≦４
１≦ｂ≦６
１≦ｃ≦８
なので、
３≦ａ＋ｂ＋ｃ≦１８
です。
一方、ａ＋ｂ＋ｃが７の倍数になるのですから、ａ＋ｂ＋ｃ＝７または１４です。
ここで、ａ＋ｂ＋ｃ＝７の場合と１４の場合で場合分けします。
・ａ＋ｂ＋ｃ＝７の場合
ａ＝１のとき、ｂ＋ｃ＝６なので、ｂ、ｃの組合せ（ｂ，ｃ）は、（１，５）（２，４）（３，３）（４，２）（５，１）の５通り。
ａ＝２のとき、ｂ＋ｃ＝５なので、（ｂ，ｃ）は、（１，４）（２，３）（３，２）（４，１）の４通り。
ａ＝３のとき、ｂ＋ｃ＝４なので、（ｂ，ｃ）は、（１，３）（２，２）（３，１）の３通り。
ａ＝４のとき、ｂ＋ｃ＝３なので、（ｂ，ｃ）は、（１，２）（２，１）の２通り。
で、合計すると、５＋４＋３＋２＝１４通りです。
・ａ＋ｂ＋ｃ＝１４の場合
ａ＝１のとき、ｂ＋ｃ＝１３なので、（ｂ，ｃ）は、（５，８）（６，７）の２通り。
ａ＝２のとき、ｂ＋ｃ＝１２なので、（ｂ，ｃ）は、（４，８）（５，７）（６，６）の３通り。
ａ＝３のとき、ｂ＋ｃ＝１１なので、（ｂ，ｃ）は、（３，８）（４，７）（５，６）（６，５）の４通り。
ａ＝４のとき、ｂ＋ｃ＝１０なので、（ｂ，ｃ）は、（２，８）（３，７）（４，６）（５，５）（６，４）の５通り。
で、合計すると、２＋３＋４＋５＝１４通りです。
したがって、すべての組合せは、１４＋１４＝２８通りで、これが答えです。
他の解き方としては、ａ、ｂ、ｃを７で割った剰余を利用する方法があります。
ａ、ｂ、ｃを７で割った剰余を、それぞれａ’、ｂ’、ｃ’とすると、
ａ’：１、２、３、４
ｂ’：１、２、３、４、５、６
ｃ’：１、２、３、４、５、６、０、１
です。
ここで、ｂ’は０以外の７の剰余をすべて含んでいるので、ａ’＋ｃ’が７で割り切れない場合、適当なｂ’を選ぶことで、ａ’＋ｂ’＋ｃ’は７で割り切れるようにすることができます。
一方、ｂ’は０を含んでいないので、ａ’＋ｃ’が７で割り切れる場合、ａ’＋ｂ’＋ｃ’は７で割り切れません。
つまり、すべてのａとｃの組合せから、ａ＋ｃが７で割り切れる組合せを引いたものがａ＋ｂ＋ｃが７の倍数になる組合せになります。
ここで、
ａとｃのすべての組合せ：４×８＝３２通り
ａ＋ｃが７で割り切れるａとｃの組合せ：（ａ，ｃ）＝（１，６）（２，５）（３，４）（４，３）の４通り
なので、ａ＋ｂ＋ｃが７の倍数になる組合せは、３２－４＝２８通りです。
７程度であれば、すべて書き上げても手間はかかりませんが、これが大きな数になると２番目の方法を利用するのが楽かもしれません。頭の片隅に入れておくとよいでしょう。