こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
朝から気温が高めで、昼過ぎには３１℃になりました。空には夏雲が見られ、夕方あたりに一雨ありそうな雰囲気です。明日からしばらく、ぐずついた天気になるようで、梅雨はまだ続きます。
さて、今回は２０１２年ジュニア数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。
問題は、
「Ａ君は１桁の正の整数を３つ選んだ（同じ整数を２つ以上選んでもよい）。同じようにＢ君も１桁の正の整数を３つ選んだ。すると、Ａ君が選んだ３つの数の和はＢ君が選んだ３つの数の積と等しく、Ａ君の選んだ３つの数の積はＢ君が選んだ３つの数の和と等しくなった。このとき、Ａ君が選んだ３つの数の組としてありうるものは何通りあるか。ただし、順番を並べ替えただけのものは区別しないとする。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
まず、Ａ君とＢ君が選んだ３つの整数をそれぞれ、ａ、ｂ、ｃ （９≧ａ≧ｂ≧ｃ≧１）とｄ、ｅ、ｆ （９≧ｄ≧ｅ≧ｆ≧１）としましょう。
すると、与えられた条件は、
ａ＋ｂ＋ｃ＝ｄｅｆ （１）
９≧ａ≧ｂ≧ｃ≧１ （２）
ａｂｃ＝ｄ＋ｅ＋ｆ （３）
９≧ｄ≧ｅ≧ｆ≧１ （４）
になります。
そして、これらの（１）（２）（３）（４）を満たすａ、ｂ、ｃの組の個数を求めることになります。
そこで、まず（４）から
１≦ｄ＋ｅ＋ｆ≦９＋９＋９＝２７
で、これに（３）を代入して、
１≦ａｂｃ≦２７ （５）
を得ます。
一方、（２）から
ｃ^3≦ａｂｃ
なので、（５）から
ｃ^3≦２７
つまり、
ｃ≦３
で、（２）から
１≦ｃ≦３ （６）
です。
ここで、ｃについて場合分けします。
・ｃ＝３のとき
（５）から
１/３≦ａｂ≦９
で、（２）から
ａ≧ｂ≧３
なので、これらを満たすａ、ｂ、ｃの組（ａ，ｂ，ｃ/和/積）は、
（３，３，３/９/２７）
になります。
・ｃ＝２のとき
（５）から
１/２≦ａｂ≦２７/２＝１３．５
で、（２）から
ａ≧ｂ≧２
なので、
（２，２，２/６/８） （３，２，２/７/１２） （４，２，２/８/１６）
（５，２，２/９/２０） （６，２，２/１０/２４） （３，３，２/８/１８）
（４，３，２/９/２４）
になります。
・ｃ＝１のとき
（５）から
１≦ａｂ≦２７
で、（２）から
ａ≧ｂ≧１
なので、
（１，１，１/３/１） （２，１，１/４/２） （３，１，１/５/３）
（４，１，１/６/４） （５，１，１/７/５） （６，１，１/８/６）
（７，１，１/９/７） （８，１，１/１０/８） （９，１，１/１１/９）
（１０，１，１/１２/１０） （１１，１，１/１３/１１） （１２，１，１/１４/１２）
（１３，１，１/１５/１３） （１４，１，１/１６/１４） （１５，１，１/１７/１５）
（１６，１，１/１８/１６） （１７，１，１/１９/１７） （１８，１，１/２０/１８）
（１９，１，１/２１/１９） （２０，１，１/２２/１０） （２１，１，１/２３/２１）
（２２，１，１/２４/２２２５/２３） （２４，１，１/２６/２４）
（２５，１，１/２７/２５） （２６，１，１/２８/２６） （２７，１，１/２９/２７）
（２，２，１/５/４） （３，２，１/６/６） （４，２，１/７/８）
（５，２，１/８/１０） （６，２，１/９/１２） （７，２，１/１０/１４）
（８，２，１/１１/１６） （９，２，１/１２/１８） （１０，２，１/１３/２０）
（１１，２，１/１４/２２） （１２，２，１/１５/２４） （１３，２，１/１６/２６）
（３，３，１/７/９） （４，３，１/８/１２） （５，３，１/９/１５）
（６，３，１/１０/１８） （７，３，１/１１/２１） （８，３，１/１２/２４）
（９，３，１/１３/２７）
（４，４，１/９/１６） （５，４，１/１０/２０） （６，４，１/１１/２４）
（５，５，１/１１/２５）
になります。
一方、（１）と（４）を満たすｄ、ｅ、ｆ の組合せも上に挙げた（ａ，ｂ，ｃ）と同じになるので、それらのなかで、和と積がお互いに等しい組合せの個数を勘定すればお仕舞いです。
そこで、注意深く探していくと、
（２，２，２/６/８） と （６，１，１/８/６）
（７，１，１/９/７） と （３，３，１/７/９）
（８，１，１/１０/８） と （５，２，１/８/１０）
（３，２，１/６/６） と （３，２，１/６/６）
を見つけることができます。
したがって、Ａ君の選んだ数の組は、
（２，２，２/６/８） （６，１，１/８/６） （７，１，１/９/７） （３，３，１/７/９） （８，１，１/１０/８） （５，２，１/８/１０） （３，２，１/６/６）
の７通りになります。
候補の組合せを、もっと絞り込みたいところですね。興味のある人は調べてみてください。
朝から気温が高めで、昼過ぎには３１℃になりました。空には夏雲が見られ、夕方あたりに一雨ありそうな雰囲気です。明日からしばらく、ぐずついた天気になるようで、梅雨はまだ続きます。
さて、今回は２０１２年ジュニア数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。
問題は、
「Ａ君は１桁の正の整数を３つ選んだ（同じ整数を２つ以上選んでもよい）。同じようにＢ君も１桁の正の整数を３つ選んだ。すると、Ａ君が選んだ３つの数の和はＢ君が選んだ３つの数の積と等しく、Ａ君の選んだ３つの数の積はＢ君が選んだ３つの数の和と等しくなった。このとき、Ａ君が選んだ３つの数の組としてありうるものは何通りあるか。ただし、順番を並べ替えただけのものは区別しないとする。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
まず、Ａ君とＢ君が選んだ３つの整数をそれぞれ、ａ、ｂ、ｃ （９≧ａ≧ｂ≧ｃ≧１）とｄ、ｅ、ｆ （９≧ｄ≧ｅ≧ｆ≧１）としましょう。
すると、与えられた条件は、
ａ＋ｂ＋ｃ＝ｄｅｆ （１）
９≧ａ≧ｂ≧ｃ≧１ （２）
ａｂｃ＝ｄ＋ｅ＋ｆ （３）
９≧ｄ≧ｅ≧ｆ≧１ （４）
になります。
そして、これらの（１）（２）（３）（４）を満たすａ、ｂ、ｃの組の個数を求めることになります。
そこで、まず（４）から
１≦ｄ＋ｅ＋ｆ≦９＋９＋９＝２７
で、これに（３）を代入して、
１≦ａｂｃ≦２７ （５）
を得ます。
一方、（２）から
ｃ^3≦ａｂｃ
なので、（５）から
ｃ^3≦２７
つまり、
ｃ≦３
で、（２）から
１≦ｃ≦３ （６）
です。
ここで、ｃについて場合分けします。
・ｃ＝３のとき
（５）から
１/３≦ａｂ≦９
で、（２）から
ａ≧ｂ≧３
なので、これらを満たすａ、ｂ、ｃの組（ａ，ｂ，ｃ/和/積）は、
（３，３，３/９/２７）
になります。
・ｃ＝２のとき
（５）から
１/２≦ａｂ≦２７/２＝１３．５
で、（２）から
ａ≧ｂ≧２
なので、
（２，２，２/６/８） （３，２，２/７/１２） （４，２，２/８/１６）
（５，２，２/９/２０） （６，２，２/１０/２４） （３，３，２/８/１８）
（４，３，２/９/２４）
になります。
・ｃ＝１のとき
（５）から
１≦ａｂ≦２７
で、（２）から
ａ≧ｂ≧１
なので、
（１，１，１/３/１） （２，１，１/４/２） （３，１，１/５/３）
（４，１，１/６/４） （５，１，１/７/５） （６，１，１/８/６）
（７，１，１/９/７） （８，１，１/１０/８） （９，１，１/１１/９）
（１０，１，１/１２/１０） （１１，１，１/１３/１１） （１２，１，１/１４/１２）
（１３，１，１/１５/１３） （１４，１，１/１６/１４） （１５，１，１/１７/１５）
（１６，１，１/１８/１６） （１７，１，１/１９/１７） （１８，１，１/２０/１８）
（１９，１，１/２１/１９） （２０，１，１/２２/１０） （２１，１，１/２３/２１）
（２２，１，１/２４/２２２５/２３） （２４，１，１/２６/２４）
（２５，１，１/２７/２５） （２６，１，１/２８/２６） （２７，１，１/２９/２７）
（２，２，１/５/４） （３，２，１/６/６） （４，２，１/７/８）
（５，２，１/８/１０） （６，２，１/９/１２） （７，２，１/１０/１４）
（８，２，１/１１/１６） （９，２，１/１２/１８） （１０，２，１/１３/２０）
（１１，２，１/１４/２２） （１２，２，１/１５/２４） （１３，２，１/１６/２６）
（３，３，１/７/９） （４，３，１/８/１２） （５，３，１/９/１５）
（６，３，１/１０/１８） （７，３，１/１１/２１） （８，３，１/１２/２４）
（９，３，１/１３/２７）
（４，４，１/９/１６） （５，４，１/１０/２０） （６，４，１/１１/２４）
（５，５，１/１１/２５）
になります。
一方、（１）と（４）を満たすｄ、ｅ、ｆ の組合せも上に挙げた（ａ，ｂ，ｃ）と同じになるので、それらのなかで、和と積がお互いに等しい組合せの個数を勘定すればお仕舞いです。
そこで、注意深く探していくと、
（２，２，２/６/８） と （６，１，１/８/６）
（７，１，１/９/７） と （３，３，１/７/９）
（８，１，１/１０/８） と （５，２，１/８/１０）
（３，２，１/６/６） と （３，２，１/６/６）
を見つけることができます。
したがって、Ａ君の選んだ数の組は、
（２，２，２/６/８） （６，１，１/８/６） （７，１，１/９/７） （３，３，１/７/９） （８，１，１/１０/８） （５，２，１/８/１０） （３，２，１/６/６）
の７通りになります。
候補の組合せを、もっと絞り込みたいところですね。興味のある人は調べてみてください。