こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
昨日と同じような蒸し暑い日になりました。ラジオやＴＶの天気予報によると、明日、明後日に梅雨が明けるようですが、未だに太平洋高気圧が現れないので、いつもと違った夏になりそうです。
さて、今回は２００９年ジュニア数学オリンピック予選に出題された図形問題です。
問題は、
「一辺の長さが１の小立方体が８つある。これらを重ねて、下図のように一辺の長さが２の立方体を作った。このとき、もとの小立方体の頂点と一致する点を２点以上通るような直線は空間内に何本あるか。」
です。
▲問題図
早速、取り掛かりましょう。
小立方体の頂点を２点以上通る直線は、小立方体の頂点を２点通るものと３点通るものだけで、４点以上通るものはありません。
そこで、一辺の長さ２の立方体（以下、大立方体）の頂点、辺の中点、面の中点から、その他の１点および２点を通る直線をそれぞれ勘定することにしましょう。
●大立方体の頂点とその他の１点を通る直線の数
図１のように、大立方体の頂点●と●を結ぶ直線は小立方体の２点を通る直線になり、その数は１２本です。
▲図１．大立方体の頂点とその他の１点を通る場合
一方、大立方体の頂点は８個あるので、この条件を満たす直線の数は、１２×８＝９６本です。
●大立方体の頂点とその他の２点を通る直線の数
図２のように、●と●を結ぶ直線は小立方体の３点を通る直線になり、その数は７本です。
▲図２．大立方体の頂点とその他の２点を通る場合
したがって、この条件を満たす直線の数は、７×８＝５６本です。
●大立方体の辺の中点とその他の１点を通る直線の数
図３のように、大立方体の辺の中点●と●を結ぶ直線は小立方体の２点を通る直線になり、その数は１８本です。
▲図３．大立方体の辺の中点とその他の１点を通る場合
一方、大立方体の辺の中点は１２個あるので、この条件を満たす直線の数は、１８×１２＝２１６本です。
●大立方体の辺の中点とその他の２点を通る直線の数
図４のように、●と●を結ぶ直線は小立方体の３点を通る直線になり、その数は３本です。
▲図４．大立方体の辺の中点とその他の２点を通る場合
したがって、この条件を満たす直線の数は、３×１２＝３６本です。
●大立方体の面の中点とその他の１点を通る直線の数
図５のように、大立方体の面の中点●と●を結ぶ直線は小立方体の２点を通る直線になり、その数は１６本です。
▲図５．大立方体の面の中点とその他の１点を通る場合
一方、大立方体の面の中点は６個あるので、この条件を満たす直線の数は、１６×６＝９６本です。
●大立方体の面の中点とその他の２点を通る直線の数
図６のように、●と●を結ぶ直線は小立方体の３点を通る直線になり、その数は１本です。
▲図６．大立方体の面の中点とその他の２点を通る場合
したがって、この条件を満たす直線の数は、１×６＝６本です。
以上を合計すると、直線の数は、９６＋５６＋２１６＋３６＋９６＋６＝５０６本になりますが、これは２度重複して数えているので、求める答えは、５０６÷２＝２５３本になります。
２７個の小立方体の頂点から２点選ぶ場合の数から重複するものを差し引く解き方もあります。興味のある人は調べてみてください。
昨日と同じような蒸し暑い日になりました。ラジオやＴＶの天気予報によると、明日、明後日に梅雨が明けるようですが、未だに太平洋高気圧が現れないので、いつもと違った夏になりそうです。
さて、今回は２００９年ジュニア数学オリンピック予選に出題された図形問題です。
問題は、
「一辺の長さが１の小立方体が８つある。これらを重ねて、下図のように一辺の長さが２の立方体を作った。このとき、もとの小立方体の頂点と一致する点を２点以上通るような直線は空間内に何本あるか。」
です。
▲問題図
早速、取り掛かりましょう。
小立方体の頂点を２点以上通る直線は、小立方体の頂点を２点通るものと３点通るものだけで、４点以上通るものはありません。
そこで、一辺の長さ２の立方体（以下、大立方体）の頂点、辺の中点、面の中点から、その他の１点および２点を通る直線をそれぞれ勘定することにしましょう。
●大立方体の頂点とその他の１点を通る直線の数
図１のように、大立方体の頂点●と●を結ぶ直線は小立方体の２点を通る直線になり、その数は１２本です。
▲図１．大立方体の頂点とその他の１点を通る場合
一方、大立方体の頂点は８個あるので、この条件を満たす直線の数は、１２×８＝９６本です。
●大立方体の頂点とその他の２点を通る直線の数
図２のように、●と●を結ぶ直線は小立方体の３点を通る直線になり、その数は７本です。
▲図２．大立方体の頂点とその他の２点を通る場合
したがって、この条件を満たす直線の数は、７×８＝５６本です。
●大立方体の辺の中点とその他の１点を通る直線の数
図３のように、大立方体の辺の中点●と●を結ぶ直線は小立方体の２点を通る直線になり、その数は１８本です。
▲図３．大立方体の辺の中点とその他の１点を通る場合
一方、大立方体の辺の中点は１２個あるので、この条件を満たす直線の数は、１８×１２＝２１６本です。
●大立方体の辺の中点とその他の２点を通る直線の数
図４のように、●と●を結ぶ直線は小立方体の３点を通る直線になり、その数は３本です。
▲図４．大立方体の辺の中点とその他の２点を通る場合
したがって、この条件を満たす直線の数は、３×１２＝３６本です。
●大立方体の面の中点とその他の１点を通る直線の数
図５のように、大立方体の面の中点●と●を結ぶ直線は小立方体の２点を通る直線になり、その数は１６本です。
▲図５．大立方体の面の中点とその他の１点を通る場合
一方、大立方体の面の中点は６個あるので、この条件を満たす直線の数は、１６×６＝９６本です。
●大立方体の面の中点とその他の２点を通る直線の数
図６のように、●と●を結ぶ直線は小立方体の３点を通る直線になり、その数は１本です。
▲図６．大立方体の面の中点とその他の２点を通る場合
したがって、この条件を満たす直線の数は、１×６＝６本です。
以上を合計すると、直線の数は、９６＋５６＋２１６＋３６＋９６＋６＝５０６本になりますが、これは２度重複して数えているので、求める答えは、５０６÷２＝２５３本になります。
２７個の小立方体の頂点から２点選ぶ場合の数から重複するものを差し引く解き方もあります。興味のある人は調べてみてください。