こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
現在の東久留米の気温は２９℃で、それほど蒸し暑くなく過ごしやすい日になりました。夕方には滝山名店会で、今年２回目のビアガーデンがあるので、もう少し気温が上がってもＯＫです。
さて、今回は２０１２年日本数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。
問題は、
「Ａ君とＢ君が黒板に２つずつ正の整数を書いた。Ａ君の書いた数の積はＢ君の書いた数の和の２倍、Ｂ君の書いた数の積はＡ君の書いた数の２倍であり、Ａ君の書いた数の和はＢ君の書いた数の和以上であった。このとき、Ｂ君の書いた数の和として考えられるものをすべて求めよ。ただし、書かれた４つの数は相異なるとは限らない。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
Ａ君が書いた２つの正の整数を、Ｐ、Ｑ （Ｐ≧Ｑ）、Ｂ君の書いた２つの正の整数をＲ、Ｓ （Ｒ≧Ｓ）として、与えられた条件を立式すると、
ＰＱ＝２（Ｒ＋Ｓ） （１）
ＲＳ＝２（Ｐ＋Ｑ） （２）
Ｐ＋Ｑ≧Ｒ＋Ｓ （３）
になります。
これらの３つの式とＰ、Ｑ、Ｒ、Ｓが正の整数という条件から、Ｒ＋ＳまたはＲとＳを求めることになります。
まず、ＸＹ－２Ｘ－２Ｙ＋４＝（Ｘ－２）（Ｙ－２）が頭に浮かべば、（１）＋（２）を作りたくなります。
実際にやってみると、
ＰＱ＋ＲＳ＝２（Ｐ＋Ｑ）＋２（Ｒ＋Ｓ）
ＰＱ－２Ｐ－２Ｑ＋４＋ＲＳ－２Ｒ－２Ｓ＋４＝８
（Ｐ－２）（Ｑ－２）＋（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝８ （４）
を得ました。
この（４）は、Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓ≧２のとき、左辺の第１項目も第２項目も０以上で、それらの和が８という制限なので、これを手掛かりにできそうです。
それでは、まずＱ＝１、Ｓ＝１のときを片付けておきましょう。
●Ｑ＝１のとき
（１）（２）から
Ｐ＝２（Ｒ＋Ｓ） （５）
ＲＳ＝２（Ｐ＋１） （６）
です。
（５）を（６）に代入して、
ＲＳ＝２（２（Ｒ＋Ｓ）＋１）
＝４Ｒ＋４Ｓ＋２
で、これを変形して、
（Ｒ－４）（Ｓ－４）＝１８ （７）
です。
（７）を満たすＲ－４とＳ－４の組は、Ｒ－４≧Ｓ－４なので、
（１８，１）（９，２）（６，３）
の３通りで、ＲとＳの組は、
（２２，５）（１３，６）（１０，７）
になります。
すると、（５）からそれぞれの場合のＰは、５４、３８、３４で、Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓの組合せ（Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ）は、
（５４，１，２２，５）（３３，１，１３，６）（３４，１，１０，７）
で、これらの３つの組は（３）を満たしているので、
Ｒ＋Ｓ＝２７、１９、１７
です。
●Ｓ＝１のとき
（１）（２）から
ＰＱ＝２（Ｒ＋１） （８）
Ｒ＝２（Ｐ＋Ｑ） （９）
です。
（９）を（８）に代入して、
ＰＱ＝２（２（Ｐ＋Ｑ）＋１）
＝４Ｐ＋４Ｑ＋２
で、これを変形して、
（Ｐ－４）（Ｑ－４）＝１８ （１０）
です。
（１０）を満たすＰ－４とＱ－４の組は、Ｐ－４≧Ｑ－４なので、
（１８，１）（９，２）（６，３）
の３通りで、ＰとＱの組は、
（２２，５）（１３，６）（１０，７）
になります。
すると、（９）からそれぞれの場合のＲは、５４、３８、３４で、Ｐ、Ｑ、Ｒ，Ｓの組合せ（Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ）は、
（２２，５，５４，１）（１３，６，３８，１）（１０，７，３４，１）
で、これらの３つの組は（３）を満たしていないので、条件を満たすＲ＋Ｓはありません。
これで、Ｑ＝１とＳ＝１の場合を調べ終わりました。
次は、Ｐ≧Ｑ≧２、Ｒ≧Ｓ≧２の場合です。
この場合、
（Ｐ－２）（Ｑ－２）＋（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝８ （４）
の左辺の第１項も第２項も０以上になります。
ここで、Ｑ≧５とすると、Ｑ－２≧３、Ｐ－２≧３なので、（Ｐ－２）（Ｑ－２）≧９になり、（４）が成り立ちません。
したがって、Ｑ≦４、つまり、Ｑ＝２、３、４になります。
そこで、Ｑについて場合分けしましょう。
●Ｑ＝２のとき
（１）から
２Ｐ＝２（Ｒ＋Ｓ）
Ｐ＝Ｒ＋Ｓ （１１）
です。
（４）から
（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝８ （１２）
で、これを満たすＲ－２とＳ－２の組は、
（８，１）（４，２）
の２通りで、Ｒ、Ｓの組は、
（１０，３）（６，４）
です。
すると、（１１）からそれぞれの場合のＰは、１３，１０で、Ｐ、Ｑ、Ｒ，Ｓの組合せ（Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ）は、
（１３，２，１０，３）（１０，２，６，４）
で、これらの２つの組は（３）を満たしているので、
Ｒ＋Ｓ＝１３、１０
です。
●Ｑ＝３のとき
（１）から
３Ｐ＝２（Ｒ＋Ｓ）
で、これからＰは偶数です。
また、
Ｐ＝２/３・（Ｒ＋Ｓ） （１３）
になります。
（４）から
（Ｐ－２）＋（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝８ （１４）
です。
ここで、Ｐ＝４、６、８、１０で場合分けします。
・Ｐ＝４のとき
（１４）から
２＋（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝８
（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝６ （１５）
です。
（１５）を満たすＲ－２とＳ－２の組は、
（６，１）（３，２）
の２通りで、Ｒ、Ｓの組は
（８，３）（５，４）
です。
すると、（１３）からそれぞれの場合のＰは、２２/３、６ですが、仮定からＰ＝４なので、Ｐ、Ｑ、Ｒ，Ｓの組合せはありません。
・Ｐ＝６のとき
（１４）から
４＋（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝８
（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝４ （１６）
です。
（１６）を満たすＲ－２とＳ－２の組は、
（４，１）（２，２）
の２通りで、Ｒ、Ｓの組は
（６，３）（４，４）
です。
すると（１３）からそれぞれのＰは、６、１６/３で、Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓの組合せ（Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ）は
（６，３，６，３）
で、これは（３）を満たしているので、
Ｒ＋Ｓ＝９
です。
・Ｐ＝８のとき
（１４）から
６＋（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝８
（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝２ （１７）
です。
（１７）を満たすＲ－２とＳ－２の組は、
（２，１）
の１通りで、Ｒ、Ｓの組は
（４，３）
です。
すると（１３）からＰは１４/３ですが、仮定からＰ＝８なので、Ｐ、Ｑ、Ｒ，Ｓの組合せはありません。
・Ｐ＝１０のとき
（１４）から
８＋（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝８
（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝０ （１８）
です。
（１８）を満たすのはＳ＝２で、（２）から
２Ｒ＝２（１０＋３）
Ｒ＝１３
です。
したがって、Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓの組合せ（Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ）は
（１０，３，１３，２）
で、これは（３）を満たしていないので、条件を満たすＲ＋Ｓはありません。
●Ｑ＝４のとき
（１）から
４Ｐ＝２（Ｒ＋Ｓ）、
Ｐ＝１/２・（Ｒ＋Ｓ） （１９）
になります。
（４）から
２（Ｐ－２）＋（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝８ （２０）
です。
ここで、Ｐ＝４、５、６で場合分けします。
・Ｐ＝４のとき
（２０）から
４＋（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝８
（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝４ （２１）
です。
（２１）を満たすＲ－２とＳ－２の組は、
（４，１）（２，２）
の２通りで、Ｒ、Ｓの組は
（６，３）（４，４）
です。
すると、（１９）からそれぞれの場合のＰは、９/２、４で、Ｐ、Ｑ、Ｒ，Ｓの組合せ（Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ）は，
（４，４，４，４）
で、これは（３）を満たしているので、
Ｒ＋Ｓ＝８
です。
・Ｐ＝５のとき
（２０）から
６＋（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝８
（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝２ （２２）
です。
（２２）を満たすＲ－２とＳ－２の組は、
（２，１）
の２通りで、Ｒ、Ｓの組は
（４，３）
です。
すると、（１９）からＰは＝７/２ですが、仮定からＰ＝５なので、Ｐ、Ｑ、Ｒ，Ｓの組合せはありません。
・Ｐ＝６のとき
（２０）から
８＋（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝８
（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝０ （２３）
です。
（２３）を満たすのはＳ＝２で、（２）から
２Ｒ＝２（６＋４）
Ｒ＝１０
です。
したがって、Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓの組合せ（Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ）は
（６，４，１０，２）
で、これは（３）を満たしていないので、条件を満たすＲ＋Ｓはありません。
以上をまとめると、Ｒ＋Ｓとして有り得るのは、２７、１９、１７、１３、１０、９、８で、これが答えです。
思った以上に場合分けが大変な問題でした。
現在の東久留米の気温は２９℃で、それほど蒸し暑くなく過ごしやすい日になりました。夕方には滝山名店会で、今年２回目のビアガーデンがあるので、もう少し気温が上がってもＯＫです。
さて、今回は２０１２年日本数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。
問題は、
「Ａ君とＢ君が黒板に２つずつ正の整数を書いた。Ａ君の書いた数の積はＢ君の書いた数の和の２倍、Ｂ君の書いた数の積はＡ君の書いた数の２倍であり、Ａ君の書いた数の和はＢ君の書いた数の和以上であった。このとき、Ｂ君の書いた数の和として考えられるものをすべて求めよ。ただし、書かれた４つの数は相異なるとは限らない。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
Ａ君が書いた２つの正の整数を、Ｐ、Ｑ （Ｐ≧Ｑ）、Ｂ君の書いた２つの正の整数をＲ、Ｓ （Ｒ≧Ｓ）として、与えられた条件を立式すると、
ＰＱ＝２（Ｒ＋Ｓ） （１）
ＲＳ＝２（Ｐ＋Ｑ） （２）
Ｐ＋Ｑ≧Ｒ＋Ｓ （３）
になります。
これらの３つの式とＰ、Ｑ、Ｒ、Ｓが正の整数という条件から、Ｒ＋ＳまたはＲとＳを求めることになります。
まず、ＸＹ－２Ｘ－２Ｙ＋４＝（Ｘ－２）（Ｙ－２）が頭に浮かべば、（１）＋（２）を作りたくなります。
実際にやってみると、
ＰＱ＋ＲＳ＝２（Ｐ＋Ｑ）＋２（Ｒ＋Ｓ）
ＰＱ－２Ｐ－２Ｑ＋４＋ＲＳ－２Ｒ－２Ｓ＋４＝８
（Ｐ－２）（Ｑ－２）＋（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝８ （４）
を得ました。
この（４）は、Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓ≧２のとき、左辺の第１項目も第２項目も０以上で、それらの和が８という制限なので、これを手掛かりにできそうです。
それでは、まずＱ＝１、Ｓ＝１のときを片付けておきましょう。
●Ｑ＝１のとき
（１）（２）から
Ｐ＝２（Ｒ＋Ｓ） （５）
ＲＳ＝２（Ｐ＋１） （６）
です。
（５）を（６）に代入して、
ＲＳ＝２（２（Ｒ＋Ｓ）＋１）
＝４Ｒ＋４Ｓ＋２
で、これを変形して、
（Ｒ－４）（Ｓ－４）＝１８ （７）
です。
（７）を満たすＲ－４とＳ－４の組は、Ｒ－４≧Ｓ－４なので、
（１８，１）（９，２）（６，３）
の３通りで、ＲとＳの組は、
（２２，５）（１３，６）（１０，７）
になります。
すると、（５）からそれぞれの場合のＰは、５４、３８、３４で、Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓの組合せ（Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ）は、
（５４，１，２２，５）（３３，１，１３，６）（３４，１，１０，７）
で、これらの３つの組は（３）を満たしているので、
Ｒ＋Ｓ＝２７、１９、１７
です。
●Ｓ＝１のとき
（１）（２）から
ＰＱ＝２（Ｒ＋１） （８）
Ｒ＝２（Ｐ＋Ｑ） （９）
です。
（９）を（８）に代入して、
ＰＱ＝２（２（Ｐ＋Ｑ）＋１）
＝４Ｐ＋４Ｑ＋２
で、これを変形して、
（Ｐ－４）（Ｑ－４）＝１８ （１０）
です。
（１０）を満たすＰ－４とＱ－４の組は、Ｐ－４≧Ｑ－４なので、
（１８，１）（９，２）（６，３）
の３通りで、ＰとＱの組は、
（２２，５）（１３，６）（１０，７）
になります。
すると、（９）からそれぞれの場合のＲは、５４、３８、３４で、Ｐ、Ｑ、Ｒ，Ｓの組合せ（Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ）は、
（２２，５，５４，１）（１３，６，３８，１）（１０，７，３４，１）
で、これらの３つの組は（３）を満たしていないので、条件を満たすＲ＋Ｓはありません。
これで、Ｑ＝１とＳ＝１の場合を調べ終わりました。
次は、Ｐ≧Ｑ≧２、Ｒ≧Ｓ≧２の場合です。
この場合、
（Ｐ－２）（Ｑ－２）＋（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝８ （４）
の左辺の第１項も第２項も０以上になります。
ここで、Ｑ≧５とすると、Ｑ－２≧３、Ｐ－２≧３なので、（Ｐ－２）（Ｑ－２）≧９になり、（４）が成り立ちません。
したがって、Ｑ≦４、つまり、Ｑ＝２、３、４になります。
そこで、Ｑについて場合分けしましょう。
●Ｑ＝２のとき
（１）から
２Ｐ＝２（Ｒ＋Ｓ）
Ｐ＝Ｒ＋Ｓ （１１）
です。
（４）から
（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝８ （１２）
で、これを満たすＲ－２とＳ－２の組は、
（８，１）（４，２）
の２通りで、Ｒ、Ｓの組は、
（１０，３）（６，４）
です。
すると、（１１）からそれぞれの場合のＰは、１３，１０で、Ｐ、Ｑ、Ｒ，Ｓの組合せ（Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ）は、
（１３，２，１０，３）（１０，２，６，４）
で、これらの２つの組は（３）を満たしているので、
Ｒ＋Ｓ＝１３、１０
です。
●Ｑ＝３のとき
（１）から
３Ｐ＝２（Ｒ＋Ｓ）
で、これからＰは偶数です。
また、
Ｐ＝２/３・（Ｒ＋Ｓ） （１３）
になります。
（４）から
（Ｐ－２）＋（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝８ （１４）
です。
ここで、Ｐ＝４、６、８、１０で場合分けします。
・Ｐ＝４のとき
（１４）から
２＋（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝８
（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝６ （１５）
です。
（１５）を満たすＲ－２とＳ－２の組は、
（６，１）（３，２）
の２通りで、Ｒ、Ｓの組は
（８，３）（５，４）
です。
すると、（１３）からそれぞれの場合のＰは、２２/３、６ですが、仮定からＰ＝４なので、Ｐ、Ｑ、Ｒ，Ｓの組合せはありません。
・Ｐ＝６のとき
（１４）から
４＋（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝８
（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝４ （１６）
です。
（１６）を満たすＲ－２とＳ－２の組は、
（４，１）（２，２）
の２通りで、Ｒ、Ｓの組は
（６，３）（４，４）
です。
すると（１３）からそれぞれのＰは、６、１６/３で、Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓの組合せ（Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ）は
（６，３，６，３）
で、これは（３）を満たしているので、
Ｒ＋Ｓ＝９
です。
・Ｐ＝８のとき
（１４）から
６＋（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝８
（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝２ （１７）
です。
（１７）を満たすＲ－２とＳ－２の組は、
（２，１）
の１通りで、Ｒ、Ｓの組は
（４，３）
です。
すると（１３）からＰは１４/３ですが、仮定からＰ＝８なので、Ｐ、Ｑ、Ｒ，Ｓの組合せはありません。
・Ｐ＝１０のとき
（１４）から
８＋（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝８
（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝０ （１８）
です。
（１８）を満たすのはＳ＝２で、（２）から
２Ｒ＝２（１０＋３）
Ｒ＝１３
です。
したがって、Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓの組合せ（Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ）は
（１０，３，１３，２）
で、これは（３）を満たしていないので、条件を満たすＲ＋Ｓはありません。
●Ｑ＝４のとき
（１）から
４Ｐ＝２（Ｒ＋Ｓ）、
Ｐ＝１/２・（Ｒ＋Ｓ） （１９）
になります。
（４）から
２（Ｐ－２）＋（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝８ （２０）
です。
ここで、Ｐ＝４、５、６で場合分けします。
・Ｐ＝４のとき
（２０）から
４＋（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝８
（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝４ （２１）
です。
（２１）を満たすＲ－２とＳ－２の組は、
（４，１）（２，２）
の２通りで、Ｒ、Ｓの組は
（６，３）（４，４）
です。
すると、（１９）からそれぞれの場合のＰは、９/２、４で、Ｐ、Ｑ、Ｒ，Ｓの組合せ（Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ）は，
（４，４，４，４）
で、これは（３）を満たしているので、
Ｒ＋Ｓ＝８
です。
・Ｐ＝５のとき
（２０）から
６＋（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝８
（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝２ （２２）
です。
（２２）を満たすＲ－２とＳ－２の組は、
（２，１）
の２通りで、Ｒ、Ｓの組は
（４，３）
です。
すると、（１９）からＰは＝７/２ですが、仮定からＰ＝５なので、Ｐ、Ｑ、Ｒ，Ｓの組合せはありません。
・Ｐ＝６のとき
（２０）から
８＋（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝８
（Ｒ－２）（Ｓ－２）＝０ （２３）
です。
（２３）を満たすのはＳ＝２で、（２）から
２Ｒ＝２（６＋４）
Ｒ＝１０
です。
したがって、Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓの組合せ（Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ）は
（６，４，１０，２）
で、これは（３）を満たしていないので、条件を満たすＲ＋Ｓはありません。
以上をまとめると、Ｒ＋Ｓとして有り得るのは、２７、１９、１７、１３、１０、９、８で、これが答えです。
思った以上に場合分けが大変な問題でした。