こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
朝は涼しかったのですが、その後気温がぐんぐん上がって、今日は真夏日になるようです。天気図では、梅雨前線が千切れてきました。梅雨明けも近そうです。
さて、今回は２０１１年ジュニア数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。
問題は、
「５倍しても各桁の和が変わらないような１０００以下の正の整数はいくつあるか。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
まず、１０００の各桁の和が１であるのに対し、それを５倍した５０００の各桁の和は５なので、１０００は与えられた条件を満たしません。
したがって、条件を満たす正の整数ｋは、
ｎ＝１００ａ＋１０ｂ＋ｃ （１）
０≦ａ，ｂ，ｃ≦９、 ａ、ｂ、ｃは整数 （２）
と表すことができます。
次に、ｎの各桁の和をＳ（ｎ）とすると、与えられた条件は、
Ｓ（ｎ）＝Ｓ（５ｎ） （３）
です。
ここで、
５ｎ＝１００・５ａ＋１０・５ｂ＋５ｃ （４）
なので、（１）（４）を（３）に代入して、
Ｓ（１００ａ＋１０ｂ＋ｃ）＝Ｓ（１００・５ａ＋１０・５ｂ＋５ｃ） （５）
が成り立ちます。
続いて、（５）の両辺を調べます。
（５）の左辺は、（２）から
Ｓ（１００ａ＋１０ｂ＋ｃ）＝Ｓ（ａ）＋Ｓ（ｂ）＋Ｓ（ｃ） （６）
です。
次は、（５）の右辺です。
ここで、ある１桁の整数を５倍したときを考えると、その１桁目の数は０または５で、２桁目の数は最大４（９×５＝４５です）なので、繰り上がりは起きません。
つまり、
Ｓ（１００・５ａ＋１０・５ｂ＋５ｃ）＝Ｓ（５ａ）＋Ｓ（５ｂ）＋Ｓ（５ｃ） （７）
が成り立ちます。
したがって、（６）（７）から、与えられた条件を満たすｎ（＝１００ａ＋１０ｂ＋ｃ）は、
Ｓ（ａ）＋Ｓ（ｂ）＋Ｓ（ｃ）＝Ｓ（５ａ）＋Ｓ（５ｂ）＋Ｓ（５ｃ）
（Ｓ（５ａ）－Ｓ（ａ））＋（Ｓ（５ｂ）－Ｓ（ｂ））＋（Ｓ（５ｃ）－Ｓ（Ｃ））＝０ （８）
を満たすことが判りました。
次に、０≦ｋ≦９、（ｋは整数）について、ｋ、Ｓ（ｋ）、５ｋ、Ｓ（５ｋ）およびＳ（５ｋ）－Ｓ（ｋ）を下表のようにまとめましょう。
▲表．ｋ、Ｓ（ｋ）、５ｋ、Ｓ（５ｋ）およびＳ（５ｋ）－Ｓ（ｋ）をまとめました
この表から、ｋが偶数のとき、Ｓ（５ｋ）－Ｓ（ｋ）は０以下、ｋが奇数のとき、Ｓ（５ｋ）－Ｓ（ｋ）は０以上であることが判ります。
つまり、（８）が成り立つのは、
【１】ａ、ｂ、ｃのうち、１つが偶数、２つが奇数
【２】ａ、ｂ、ｃのうち、２つが偶数、１つが奇数
【３】ａ、ｂ、ｃが、すべて０
【４】ａ、ｂ、ｃが、すべて９
のいずれかの場合です。
そこで、これらの【１】から【４】の場合を調べていきましょう。
●【１】の場合
・（１つの偶数）＝０の場合
Ｓ（５・０）－Ｓ（０）＝０で、残りの２つが奇数が９と９のとき、（８）が成り立ちます。
したがって、ｎは、０、９、９の並べ方３！/２！＝３通りです。
・（１つの偶数）＝２の場合
Ｓ（５・２）－Ｓ（２）＝－１で、残りの２つの奇数が７と９のとき、（８）が成り立ちます。
したがって、ｎは、２、７、９の並べ方３！＝６通りです。
・（１つの偶数）＝４の場合
Ｓ（５・４）－Ｓ（４）＝－２で、残りの２つの奇数が５と９、および７と７のとき、（８）が成り立ちます。
したがって、ｎは、４、５、９の並べ方３！＝６通りと、４、７、７の並べ方３！/２！＝３通りの和で９通りです。
・（１つの偶数）＝６の場合
Ｓ（５・６）－Ｓ（６）＝－３で、残りの２つの奇数が３と９、および５と７のとき、（８）が成り立ちます。
したがって、ｎは、３、６、９の並べ方３！＝６通りと、５、６、７の並べ方３！＝６通りの和で１２通りです。
・（１つの偶数）＝８の場合
Ｓ（５・８）－Ｓ（８）＝－４で。残りの２つの奇数が１と９、３と７、および５と５のとき、（８）が成り立ちます。
したがって、ｎは、３、８、９の並べ方３！＝６通りと、３、７、８の並べ方３！＝６通りと、５、５、８の並べ方３！/２！＝３通りの和で１５通りです。
●【２】の場合
・（１つの奇数）＝１の場合
Ｓ（５・１）－Ｓ（１）＝４で、残りの２つの偶数が０と８、２と６、および４と４のとき、（８）が成り立ちます。
したがって、ｎは、０、１、８の並べ方３！＝６通りと、１、２、６の並べ方３！＝６通りと、１、４、４の並べ方３！/２！＝３通りの和で１５通りです。
・（１つの奇数）＝３の場合
Ｓ（５・３）－Ｓ（３）＝３で、残りの２つの偶数が０と６、および２と４のとき、（８）が成り立ちます。
したがって、ｎは、０、３、６の並べ方３！＝６通りと、２、３、４の並べ方３！＝６通りの和で１２通りです。
・（１つの奇数）＝５の場合
Ｓ（５・５）－Ｓ（５）＝２で、残りの２つの偶数が０と４、および２と２のとき、（８）が成り立ちます。
したがって、ｎは、０、４、５の並べ方３！＝６通りと、２、２、５の並べ方３！/２！＝３通りの和で９通りです。
・（１つの奇数）＝７の場合
Ｓ（５・７）－Ｓ（７）＝１で、残りの２つの偶数が０と２のとき、（８）が成り立ちます。
したがって、ｎは、０、２、７の並べ方３！＝６通りです。
・（１つの奇数）＝９の場合
Ｓ（５・９）－Ｓ（９）＝０で、残りの２つの偶数が０と０のとき、（８）が成り立ちます。
したがって、ｎは、０、０、９の並べ方３！/２！＝３通りです。
●【３】の場合
ｎ＝０になり、ｎが正の整数であることに反します。
したがって、ｎは、０通りです。
●【４】の場合
ｎ＝９９９です。
したがって、ｎは、１通りです。
以上をまとめると、ｎの個数は、３＋６＋９＋１２＋１５＋１５＋１２＋９＋６＋３＋１＝９１個で、これが答えです。
ある整数を５倍したとき、繰り上がりが起きないということがポイントです。面白い問題でした。
朝は涼しかったのですが、その後気温がぐんぐん上がって、今日は真夏日になるようです。天気図では、梅雨前線が千切れてきました。梅雨明けも近そうです。
さて、今回は２０１１年ジュニア数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。
問題は、
「５倍しても各桁の和が変わらないような１０００以下の正の整数はいくつあるか。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
まず、１０００の各桁の和が１であるのに対し、それを５倍した５０００の各桁の和は５なので、１０００は与えられた条件を満たしません。
したがって、条件を満たす正の整数ｋは、
ｎ＝１００ａ＋１０ｂ＋ｃ （１）
０≦ａ，ｂ，ｃ≦９、 ａ、ｂ、ｃは整数 （２）
と表すことができます。
次に、ｎの各桁の和をＳ（ｎ）とすると、与えられた条件は、
Ｓ（ｎ）＝Ｓ（５ｎ） （３）
です。
ここで、
５ｎ＝１００・５ａ＋１０・５ｂ＋５ｃ （４）
なので、（１）（４）を（３）に代入して、
Ｓ（１００ａ＋１０ｂ＋ｃ）＝Ｓ（１００・５ａ＋１０・５ｂ＋５ｃ） （５）
が成り立ちます。
続いて、（５）の両辺を調べます。
（５）の左辺は、（２）から
Ｓ（１００ａ＋１０ｂ＋ｃ）＝Ｓ（ａ）＋Ｓ（ｂ）＋Ｓ（ｃ） （６）
です。
次は、（５）の右辺です。
ここで、ある１桁の整数を５倍したときを考えると、その１桁目の数は０または５で、２桁目の数は最大４（９×５＝４５です）なので、繰り上がりは起きません。
つまり、
Ｓ（１００・５ａ＋１０・５ｂ＋５ｃ）＝Ｓ（５ａ）＋Ｓ（５ｂ）＋Ｓ（５ｃ） （７）
が成り立ちます。
したがって、（６）（７）から、与えられた条件を満たすｎ（＝１００ａ＋１０ｂ＋ｃ）は、
Ｓ（ａ）＋Ｓ（ｂ）＋Ｓ（ｃ）＝Ｓ（５ａ）＋Ｓ（５ｂ）＋Ｓ（５ｃ）
（Ｓ（５ａ）－Ｓ（ａ））＋（Ｓ（５ｂ）－Ｓ（ｂ））＋（Ｓ（５ｃ）－Ｓ（Ｃ））＝０ （８）
を満たすことが判りました。
次に、０≦ｋ≦９、（ｋは整数）について、ｋ、Ｓ（ｋ）、５ｋ、Ｓ（５ｋ）およびＳ（５ｋ）－Ｓ（ｋ）を下表のようにまとめましょう。
▲表．ｋ、Ｓ（ｋ）、５ｋ、Ｓ（５ｋ）およびＳ（５ｋ）－Ｓ（ｋ）をまとめました
この表から、ｋが偶数のとき、Ｓ（５ｋ）－Ｓ（ｋ）は０以下、ｋが奇数のとき、Ｓ（５ｋ）－Ｓ（ｋ）は０以上であることが判ります。
つまり、（８）が成り立つのは、
【１】ａ、ｂ、ｃのうち、１つが偶数、２つが奇数
【２】ａ、ｂ、ｃのうち、２つが偶数、１つが奇数
【３】ａ、ｂ、ｃが、すべて０
【４】ａ、ｂ、ｃが、すべて９
のいずれかの場合です。
そこで、これらの【１】から【４】の場合を調べていきましょう。
●【１】の場合
・（１つの偶数）＝０の場合
Ｓ（５・０）－Ｓ（０）＝０で、残りの２つが奇数が９と９のとき、（８）が成り立ちます。
したがって、ｎは、０、９、９の並べ方３！/２！＝３通りです。
・（１つの偶数）＝２の場合
Ｓ（５・２）－Ｓ（２）＝－１で、残りの２つの奇数が７と９のとき、（８）が成り立ちます。
したがって、ｎは、２、７、９の並べ方３！＝６通りです。
・（１つの偶数）＝４の場合
Ｓ（５・４）－Ｓ（４）＝－２で、残りの２つの奇数が５と９、および７と７のとき、（８）が成り立ちます。
したがって、ｎは、４、５、９の並べ方３！＝６通りと、４、７、７の並べ方３！/２！＝３通りの和で９通りです。
・（１つの偶数）＝６の場合
Ｓ（５・６）－Ｓ（６）＝－３で、残りの２つの奇数が３と９、および５と７のとき、（８）が成り立ちます。
したがって、ｎは、３、６、９の並べ方３！＝６通りと、５、６、７の並べ方３！＝６通りの和で１２通りです。
・（１つの偶数）＝８の場合
Ｓ（５・８）－Ｓ（８）＝－４で。残りの２つの奇数が１と９、３と７、および５と５のとき、（８）が成り立ちます。
したがって、ｎは、３、８、９の並べ方３！＝６通りと、３、７、８の並べ方３！＝６通りと、５、５、８の並べ方３！/２！＝３通りの和で１５通りです。
●【２】の場合
・（１つの奇数）＝１の場合
Ｓ（５・１）－Ｓ（１）＝４で、残りの２つの偶数が０と８、２と６、および４と４のとき、（８）が成り立ちます。
したがって、ｎは、０、１、８の並べ方３！＝６通りと、１、２、６の並べ方３！＝６通りと、１、４、４の並べ方３！/２！＝３通りの和で１５通りです。
・（１つの奇数）＝３の場合
Ｓ（５・３）－Ｓ（３）＝３で、残りの２つの偶数が０と６、および２と４のとき、（８）が成り立ちます。
したがって、ｎは、０、３、６の並べ方３！＝６通りと、２、３、４の並べ方３！＝６通りの和で１２通りです。
・（１つの奇数）＝５の場合
Ｓ（５・５）－Ｓ（５）＝２で、残りの２つの偶数が０と４、および２と２のとき、（８）が成り立ちます。
したがって、ｎは、０、４、５の並べ方３！＝６通りと、２、２、５の並べ方３！/２！＝３通りの和で９通りです。
・（１つの奇数）＝７の場合
Ｓ（５・７）－Ｓ（７）＝１で、残りの２つの偶数が０と２のとき、（８）が成り立ちます。
したがって、ｎは、０、２、７の並べ方３！＝６通りです。
・（１つの奇数）＝９の場合
Ｓ（５・９）－Ｓ（９）＝０で、残りの２つの偶数が０と０のとき、（８）が成り立ちます。
したがって、ｎは、０、０、９の並べ方３！/２！＝３通りです。
●【３】の場合
ｎ＝０になり、ｎが正の整数であることに反します。
したがって、ｎは、０通りです。
●【４】の場合
ｎ＝９９９です。
したがって、ｎは、１通りです。
以上をまとめると、ｎの個数は、３＋６＋９＋１２＋１５＋１５＋１２＋９＋６＋３＋１＝９１個で、これが答えです。
ある整数を５倍したとき、繰り上がりが起きないということがポイントです。面白い問題でした。