こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
関東地方も梅雨明けになりました。しかし、天気図には夏の太平洋高気圧が見当たらず、その代わりにオホーツク海高気圧が元気なので、しばらく猛暑にはならないようです。
さて、今回は２０１３年ジュニア数学オリンピック予選に出題された場合の数の問題を取り上げます。
問題は、
「下図のように１０個の点が並んでおり、このうち相異なる５個の点に印がついている。１０個の点のうち４個を通るような直線は５本あり、下図において実線で示されている。このうちどの直線についても、直線上にある４点のうち、印がついているものはちょうど２個であった。このような印のつき方は全部で何通りあるか。ただし、回転や裏返しで一致するものも区別して数える。」
です。
▲問題図
早速、取り掛かりましょう。
例えば図１のように、問題図の星形の外側の５点に印がついた場合、５本のすべての直線について、それらの上の４点のうち２点に印がついているので、これは条件を満たしています。（印を●、４点中２点に印がついた直線を青色線で示しました）
つまり、条件を満たす印のつき方は１通りです。
▲図１．星形の外側の５点に印がついた場合
一方、図２のように、星形の内側の５個の点に印がついた場合、これも条件を満たし、印のつき方は１通りです。
▲図２．星形の内側の５点に印がついた場合
そうすると、あとは星形の外側の５点のなかに、（１）印が４点の場合、（２）印が３点の場合、（３）印が２点の場合、（４）印が１点の場合、の４通りを調べれば良さそうです。
（１）印が４点の場合
図３のように、内側の５点のどこに印をつけても、４点中３点に印がついた直線ができるので、この場合は条件を満たしません。
したｇって、印のつき方は０通りです。
▲図３．外側の４点に印がついた場合
（２）印が３点の場合
外側の３点の印のつけ方は、（２-１）３点が互いに隣り合う場合と（２-２）２点が隣り合い、１点が離れている場合に分けられます。
（２-１）３点が互いに隣り合う場合
図４のように、内側に２点に印（●）をつけることにより、条件を満たします。
このとき、外側の５点から３点が互いに隣り合う選び方は５通りなので、条件を満たす印のつき方は５通りです。
▲図４．３点が互いに隣り合う場合
（２-２）２点が隣り合い、１点が離れている場合
図５のように、条件を満たすことはできないので、印のつき方は０通りです。
▲図５．２点が隣り合い、１点が離れている場合
（３）印が２点の場合
外側の２点の印の付け方は、（３-１）２点が隣り合う場合と（３-２）２点が離れている場合に分けられます。
（３-１）２点が隣り合う場合
図６のように、内側に３点記しをつけることにより、条件を満たします。
このとき、外側の５点から２点が隣り合う選び方は５通りなので、条件を満たす印のつき方は５通りです。
▲図６．２点が隣り合う場合
（３-２）２点が離れている場合
図７のように、条件を満たすことができないので、印のつき方は０通りです。
▲図７．２点が離れている場合
（４）印が１点の場合
図８のように、条件をみたすことができないので、印のつき方は０通りです。
▲図８．印が１点の場合
以上をまとめると、条件を満たす印のつき方の合計は、１＋１＋５＋５＝１２通りで、これが答えです。
図を描いて調べれば簡単な問題です。
関東地方も梅雨明けになりました。しかし、天気図には夏の太平洋高気圧が見当たらず、その代わりにオホーツク海高気圧が元気なので、しばらく猛暑にはならないようです。
さて、今回は２０１３年ジュニア数学オリンピック予選に出題された場合の数の問題を取り上げます。
問題は、
「下図のように１０個の点が並んでおり、このうち相異なる５個の点に印がついている。１０個の点のうち４個を通るような直線は５本あり、下図において実線で示されている。このうちどの直線についても、直線上にある４点のうち、印がついているものはちょうど２個であった。このような印のつき方は全部で何通りあるか。ただし、回転や裏返しで一致するものも区別して数える。」
です。
▲問題図
早速、取り掛かりましょう。
例えば図１のように、問題図の星形の外側の５点に印がついた場合、５本のすべての直線について、それらの上の４点のうち２点に印がついているので、これは条件を満たしています。（印を●、４点中２点に印がついた直線を青色線で示しました）
つまり、条件を満たす印のつき方は１通りです。
▲図１．星形の外側の５点に印がついた場合
一方、図２のように、星形の内側の５個の点に印がついた場合、これも条件を満たし、印のつき方は１通りです。
▲図２．星形の内側の５点に印がついた場合
そうすると、あとは星形の外側の５点のなかに、（１）印が４点の場合、（２）印が３点の場合、（３）印が２点の場合、（４）印が１点の場合、の４通りを調べれば良さそうです。
（１）印が４点の場合
図３のように、内側の５点のどこに印をつけても、４点中３点に印がついた直線ができるので、この場合は条件を満たしません。
したｇって、印のつき方は０通りです。
▲図３．外側の４点に印がついた場合
（２）印が３点の場合
外側の３点の印のつけ方は、（２-１）３点が互いに隣り合う場合と（２-２）２点が隣り合い、１点が離れている場合に分けられます。
（２-１）３点が互いに隣り合う場合
図４のように、内側に２点に印（●）をつけることにより、条件を満たします。
このとき、外側の５点から３点が互いに隣り合う選び方は５通りなので、条件を満たす印のつき方は５通りです。
▲図４．３点が互いに隣り合う場合
（２-２）２点が隣り合い、１点が離れている場合
図５のように、条件を満たすことはできないので、印のつき方は０通りです。
▲図５．２点が隣り合い、１点が離れている場合
（３）印が２点の場合
外側の２点の印の付け方は、（３-１）２点が隣り合う場合と（３-２）２点が離れている場合に分けられます。
（３-１）２点が隣り合う場合
図６のように、内側に３点記しをつけることにより、条件を満たします。
このとき、外側の５点から２点が隣り合う選び方は５通りなので、条件を満たす印のつき方は５通りです。
▲図６．２点が隣り合う場合
（３-２）２点が離れている場合
図７のように、条件を満たすことができないので、印のつき方は０通りです。
▲図７．２点が離れている場合
（４）印が１点の場合
図８のように、条件をみたすことができないので、印のつき方は０通りです。
▲図８．印が１点の場合
以上をまとめると、条件を満たす印のつき方の合計は、１＋１＋５＋５＝１２通りで、これが答えです。
図を描いて調べれば簡単な問題です。