こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
天気予報には久しぶりの晴れマークがでていますが、今のところ、どんよりとした曇り空です。オホーツク海高気圧からの涼しい風のおかげで、気温は高くないのですが、少し蒸し暑く感じます。
さて、今回は２００９年ジュニア数学オリンピック予選に出題された計算問題を取り上げます。
問題は、
「実数ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆが
（ａ＋１９９９）（ｂ－１９９９）（ｃ＋１９９９）＋（ｄ－１９９９）（ｅ＋１９９９）（ｆ－１９９９）＝１
（ａ＋２０００）（ｂ－２０００）（ｃ＋２０００）＋（ｄ－２０００）（ｅ＋２０００）（ｆ－２０００）＝１０
（ａ＋２００１）（ｂ－２００１）（ｃ＋２００１）＋（ｄ－２００１）（ｅ＋２００１）（ｆ－２００１）＝１００
をみたすとき、
（ａ＋２００９）（ｂ－２００９）（ｃ＋２００９）＋（ｄ－２００９）（ｅ＋２００９）（ｆ－２００９）を求めよ。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
与式に、１９９９や２０００など大きい数があるので、ここは、
Ａ＝ａ＋２０００
Ｂ＝ｂ－２０００
Ｃ＝ｃ＋２０００
Ｄ＝ｄ－２０００
Ｅ＝ｅ＋２０００
Ｆ＝ｆ－２０００
とおき、与式を簡単な式に書き換えるのがよいでしょう。
すると、
（Ａ-１）（Ｂ＋１）（Ｃ-１）＋（Ｄ＋１）（Ｅ-１）（Ｆ＋１）＝１ （１）
ＡＢＣ＋ＤＥＦ＝１０ （２）
（Ａ＋１）（Ｂ-１）（Ｃ＋１）＋（Ｄ-１）（Ｅ＋１）（Ｆ-１）＝１００ （３）
のとき、
（Ａ＋９）（Ｂ-９）（Ｃ＋９）＋（Ｄ-９）（Ｅ＋９）（Ｆ-９） （４）
の値を求めることになります。
そこで、
Ｐ（ｘ）＝（Ａ-ｘ）（Ｂ＋ｘ）（Ｃ-ｘ）＋（Ｄ＋ｘ）（Ｅ-ｘ）（Ｆ＋ｘ）
というｘの３次式（実は２次式です）を考えると、（１）（２）（３）は、それぞれ
Ｐ（１）＝１ （５）
Ｐ（０）＝１０ （６）
Ｐ（-１）＝１００ （７）
になり、（４）は
Ｐ（-９）＝（Ａ＋９）（Ｂ-９）（Ｃ＋９）＋（Ｄ-９）（Ｅ＋９）（Ｆ-９）
になります。
一方、Ｐ（ｘ）を展開すると、
Ｐ（ｘ）＝ ｘ^3＋（-Ａ＋Ｂ-Ｃ）ｘ^2＋（-ＡＢ-ＢＣ＋ＣＡ）ｘ＋ＡＢＣ
-ｘ^3＋（-Ｄ＋Ｅ-Ｆ）ｘ^2＋4（ＤＥ＋ＥＦ-ＦＤ）ｘ＋ＤＥＦ
＝（-Ａ＋Ｂ-Ｃ-Ｄ＋Ｅ-Ｆ）ｘ^2＋（-ＡＢ-ＢＣ＋ＣＡ＋ＤＥ＋ＥＦ-ＦＤ）ｘ＋ＡＢＣ＋ＤＥＦ
で、Ｐ（ｘ）はｘの２次式になることが判ります。
そこで、
ｐ＝-Ａ＋Ｂ-Ｃ-Ｄ＋Ｅ-Ｆ
ｑ＝-ＡＢ-ＢＣ＋ＣＡ＋ＤＥ＋ＥＦ-ＦＤ
ｒ＝ＡＢＣ＋ＤＥＦ
とおいて
Ｐ（ｘ）＝ｐｘ^2＋ｑｘ＋ｒ
を作り、これにｘ＝１、０、-１を代入します。
すると、（５）（６）（７）から
Ｐ（１）＝ｐ＋ｑ＋ｒ＝１ （８）
Ｐ（０）＝ｒ＝１０ （９）
Ｐ（-１）＝ｐ-ｑ＋ｒ＝１００ （１０）
が成り立ちます。
続いて（８）（９）（１０）の連立方程式を解いて、ｐ、ｑ、ｒを求めると、
ｐ＝８１/２
ｑ＝-９９/２
ｒ＝１０
で、
Ｐ（ｘ）＝８１/２・ｘ^2-９９/２・ｘ＋１０ （１１）
になります。
ここでは、Ｐ（-９）の値を求めればよいので、（１１）にｘ＝-９を代入して、
Ｐ（-９）＝８１/２・９^2-９９/２・（-９）＋１０
＝６５６１/２＋８９１/２＋１０
＝３７３６
で、これが答えになります。
（１）から（３）を展開してＡＢ＋ＢＣ-ＣＡ-ＤＥ-ＥＦ＋ＦＤ、Ａ-Ｂ＋Ｃ＋Ｄ-Ｅ＋Ｆの値を求め、（４）の展開式に代入しても答えを求めることができます。興味のある人は試してみてください。
天気予報には久しぶりの晴れマークがでていますが、今のところ、どんよりとした曇り空です。オホーツク海高気圧からの涼しい風のおかげで、気温は高くないのですが、少し蒸し暑く感じます。
さて、今回は２００９年ジュニア数学オリンピック予選に出題された計算問題を取り上げます。
問題は、
「実数ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆが
（ａ＋１９９９）（ｂ－１９９９）（ｃ＋１９９９）＋（ｄ－１９９９）（ｅ＋１９９９）（ｆ－１９９９）＝１
（ａ＋２０００）（ｂ－２０００）（ｃ＋２０００）＋（ｄ－２０００）（ｅ＋２０００）（ｆ－２０００）＝１０
（ａ＋２００１）（ｂ－２００１）（ｃ＋２００１）＋（ｄ－２００１）（ｅ＋２００１）（ｆ－２００１）＝１００
をみたすとき、
（ａ＋２００９）（ｂ－２００９）（ｃ＋２００９）＋（ｄ－２００９）（ｅ＋２００９）（ｆ－２００９）を求めよ。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
与式に、１９９９や２０００など大きい数があるので、ここは、
Ａ＝ａ＋２０００
Ｂ＝ｂ－２０００
Ｃ＝ｃ＋２０００
Ｄ＝ｄ－２０００
Ｅ＝ｅ＋２０００
Ｆ＝ｆ－２０００
とおき、与式を簡単な式に書き換えるのがよいでしょう。
すると、
（Ａ-１）（Ｂ＋１）（Ｃ-１）＋（Ｄ＋１）（Ｅ-１）（Ｆ＋１）＝１ （１）
ＡＢＣ＋ＤＥＦ＝１０ （２）
（Ａ＋１）（Ｂ-１）（Ｃ＋１）＋（Ｄ-１）（Ｅ＋１）（Ｆ-１）＝１００ （３）
のとき、
（Ａ＋９）（Ｂ-９）（Ｃ＋９）＋（Ｄ-９）（Ｅ＋９）（Ｆ-９） （４）
の値を求めることになります。
そこで、
Ｐ（ｘ）＝（Ａ-ｘ）（Ｂ＋ｘ）（Ｃ-ｘ）＋（Ｄ＋ｘ）（Ｅ-ｘ）（Ｆ＋ｘ）
というｘの３次式（実は２次式です）を考えると、（１）（２）（３）は、それぞれ
Ｐ（１）＝１ （５）
Ｐ（０）＝１０ （６）
Ｐ（-１）＝１００ （７）
になり、（４）は
Ｐ（-９）＝（Ａ＋９）（Ｂ-９）（Ｃ＋９）＋（Ｄ-９）（Ｅ＋９）（Ｆ-９）
になります。
一方、Ｐ（ｘ）を展開すると、
Ｐ（ｘ）＝ ｘ^3＋（-Ａ＋Ｂ-Ｃ）ｘ^2＋（-ＡＢ-ＢＣ＋ＣＡ）ｘ＋ＡＢＣ
-ｘ^3＋（-Ｄ＋Ｅ-Ｆ）ｘ^2＋4（ＤＥ＋ＥＦ-ＦＤ）ｘ＋ＤＥＦ
＝（-Ａ＋Ｂ-Ｃ-Ｄ＋Ｅ-Ｆ）ｘ^2＋（-ＡＢ-ＢＣ＋ＣＡ＋ＤＥ＋ＥＦ-ＦＤ）ｘ＋ＡＢＣ＋ＤＥＦ
で、Ｐ（ｘ）はｘの２次式になることが判ります。
そこで、
ｐ＝-Ａ＋Ｂ-Ｃ-Ｄ＋Ｅ-Ｆ
ｑ＝-ＡＢ-ＢＣ＋ＣＡ＋ＤＥ＋ＥＦ-ＦＤ
ｒ＝ＡＢＣ＋ＤＥＦ
とおいて
Ｐ（ｘ）＝ｐｘ^2＋ｑｘ＋ｒ
を作り、これにｘ＝１、０、-１を代入します。
すると、（５）（６）（７）から
Ｐ（１）＝ｐ＋ｑ＋ｒ＝１ （８）
Ｐ（０）＝ｒ＝１０ （９）
Ｐ（-１）＝ｐ-ｑ＋ｒ＝１００ （１０）
が成り立ちます。
続いて（８）（９）（１０）の連立方程式を解いて、ｐ、ｑ、ｒを求めると、
ｐ＝８１/２
ｑ＝-９９/２
ｒ＝１０
で、
Ｐ（ｘ）＝８１/２・ｘ^2-９９/２・ｘ＋１０ （１１）
になります。
ここでは、Ｐ（-９）の値を求めればよいので、（１１）にｘ＝-９を代入して、
Ｐ（-９）＝８１/２・９^2-９９/２・（-９）＋１０
＝６５６１/２＋８９１/２＋１０
＝３７３６
で、これが答えになります。
（１）から（３）を展開してＡＢ＋ＢＣ-ＣＡ-ＤＥ-ＥＦ＋ＦＤ、Ａ-Ｂ＋Ｃ＋Ｄ-Ｅ＋Ｆの値を求め、（４）の展開式に代入しても答えを求めることができます。興味のある人は試してみてください。