ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（２６）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨夕の雷雨のあと、ぐっと涼しくなり、今日昼過ぎの東久留米の気温も２３℃で快適です。天気図では梅雨前線が頑張っていて、しばらくぐずついた天気が続くようです。

さて、今回は２０１２年ジュニア数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「Ａ君は１歩につき２段ずつ階段を昇り、Ｂ君は１歩につき５段ずつ階段を昇る。ただし２人とも、階段の最後の何段かがこの段数に満たない場合は１歩で昇る。ある階段をＡ君とＢ君が昇ったところ、かかった歩数の差は６歩であった。この階段の段数として考えられる値をすべて求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

階段を、Ａ君は１歩で２段、Ｂ君は１歩で５段昇るので、階段の段数Ｎを、Ｎ＝１０ｎ＋ｋ　（０≦ｋ≦９、ｎとｋは非負の整数）とすると都合がよさそうです。

そこでｋについて場合分けして、Ａ君とＢ君の歩数を調べると、

（１）Ｎ＝１０ｎの場合
Ａ君の歩数：１０ｎ/２＝５ｎ
Ｂ君の歩数：１０ｎ/５＝２ｎ

（２）Ｎ＝１０ｎ＋１の場合
Ａ君の歩数：５ｎ＋１
Ｂ君の歩数：２ｎ＋１

（３）Ｎ＝１０ｎ＋２の場合
Ａ君の歩数：５ｎ＋１
Ｂ君の歩数：２ｎ＋１

（４）Ｎ＝１０ｎ＋３の場合
Ａ君の歩数：５ｎ＋２
Ｂ君の歩数：２ｎ＋１

（５）Ｎ＝１０ｎ＋４の場合
Ａ君の歩数：５ｎ＋２
Ｂ君の歩数：２ｎ＋１

（６）Ｎ＝１０ｎ＋５の場合
Ａ君の歩数：５ｎ＋３
Ｂ君の歩数：２ｎ＋１

（７）Ｎ＝１０ｎ＋６の場合
Ａ君の歩数：５ｎ＋３
Ｂ君の歩数：２ｎ＋２

（８）Ｎ＝１０ｎ＋７の場合
Ａ君の歩数：５ｎ＋４
Ｂ君の歩数：２ｎ＋２

（９）Ｎ＝１０ｎ＋８の場合
Ａ君の歩数：５ｎ＋４
Ｂ君の歩数：２ｎ＋２

（１０）Ｎ＝１０ｎ＋９の場合
Ａ君の歩数：５ｎ＋５
Ｂ君の歩数：２ｎ＋２

になります。

続いて（１）から（１０）の場合について、Ａ君とＢ君の歩数の差が６を使ってｎおよびＮを計算すると、
（１）　５ｎ－２ｎ＝３ｎ＝６　　　　　　　　　　⇒　ｎ＝２　⇒　Ｎ＝２０
（２）　５ｎ＋１－（２ｎ＋１）＝３ｎ＝６　　　 ⇒　ｎ＝２　⇒　Ｎ＝２１
（３）　５ｎ＋１－（２ｎ＋１）＝３ｎ＝６　　　 ⇒　ｎ＝２　⇒　Ｎ＝２２
（４）　５ｎ＋２－（２ｎ＋１）＝３ｎ＋１＝６　⇒　ｎ＝５/３　←不適
（５）　５ｎ＋２－（２ｎ＋１）＝３ｎ＋１＝６　⇒　ｎ＝５/３　←不適
（６）　５ｎ＋３－（２ｎ＋１）＝３ｎ＋２＝６　⇒　ｎ＝４/３　←不適
（７）　５ｎ＋３－（２ｎ＋２）＝３ｎ＋１＝６　⇒　ｎ＝５/３　←不適
（８）　５ｎ＋４－（２ｎ＋２）＝３ｎ＋２＝６　⇒　ｎ＝４/３　←不適
（９）　５ｎ＋４－（２ｎ＋２）＝３ｎ＋２＝６　⇒　ｎ＝４/３　←不適
（１０）５ｎ＋５－（２ｎ＋２）＝３ｎ＋３＝６　⇒　ｎ＝１　⇒　Ｎ＝１９
です。

したがって、この階段の段数として考えられるのは、１９、２０、２１、２２段で、これが答えです。


場合分けしてしまえば、紛れがなく簡単な問題です。