ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（２２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

予想天気図を見ると、太平洋高気圧が梅雨前線を押し上げて、金曜日には前線が消えています。今週末あたり梅雨明けになるのでしょうか。

さて、今回は２０１３年ジュニア数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「長方形ＡＢＣＤと、辺ＡＢ上の点Ｐ、辺ＣＤ上の点Ｒがあり、
　ＡＰ＝２、ＰＢ＝１、ＢＣ＝４、ＣＲ＝２、ＲＤ＝１、ＤＡ＝４
が成り立っている。直線ＢＲと直線ＣＰの交点をＱとし、直線ＡＲと直線ＤＰの交点をＳとするとき、四角形ＰＱＲＳの面積を求めよ。ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

▲問題図

まず、問題図に与えられた線分の長さを書き入れましょう。（図１）

▲図１．与えられた線分の長さを書き入れました

どうやっても簡単にできそうですが、図２に示した△ＡＢＲ、△ＡＰＳ、△ＰＢＱが相似であることを利用するのが速そうです。

▲図２．△ＡＢＲ、△ＡＰＳ、△ＰＢＱは相似です

それでは、△ＡＢＲ∞△ＡＰＳ∞△ＰＢＱを示しましょう。

ＡＲ//ＰＣで、その錯角は等しいので、
∠ＲＡＢ＝∠ＳＡＰ＝∠ＱＰＢ
です。

ＰＤ//ＢＲで、その錯角は等しいので、
∠ＲＢＡ＝∠ＱＢＰ＝∠ＳＰＡ
です。

以上から、２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＲ∞△ＡＰＳ∞△ＰＢＱ
です。

そして、これらの三角形の相似比は、
△ＡＢＲ：△ＡＰＳ：△ＰＢＱ＝ＡＢ：ＡＰ：ＰＢ＝３：２：１
で、その面積比は、
（△ＡＢＲの面積）：（△ＡＰＳの面積）：（△ＰＢＱの面積）＝９：４：１
です。

ここで、△ＡＢＲの面積は、
（△ＡＢＲの面積）＝ＡＢ・ＡＤ・１/２
　　　　　　　　　＝３・４：１/２
　　　　　　　　　＝６　　　　　　　　　　　　（１）
なので、
（△ＡＰＳの面積）＝６・４/９
　　　　　　　　　＝８/３　　　　　　　　　　 （２）
（△ＰＢＱの面積）＝６・１/９
　　　　　　　　　＝２/３　　　　　　　　　　 （３）
です。

そして、四角形ＰＱＲＳの面積は、
（四角形ＰＱＲＳの面積）＝（△ＡＢＲの面積）－（△ＡＰＳの面積）－（△ＰＢＱの面積）
で、ここに（１）（２）（３）を代入すると、
（四角形ＰＱＲＳの面積）＝６－８/３－２/３
　　　　　　　　　　　　＝８/３
になり、これが答えです。


他にもいろいろな解き方があると思うので、興味のある人は調べてみてください。