（1282）「象は鼻が長い（兎は耳が長い）」の「述語論理」。

（01）
１　　　（１）　　∀ｘ｛象ｘ→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　Ａ
　２　　（２）　　∀ｘ｛兎ｘ→　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　Ａ
１　　　（３）　　　　　象ａ→～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　１ＵＥ
　２　　（４）　　　　　兎ａ→　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　２ＵＥ
　　５　（５）　～∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）　　　　　　　　　　Ａ
　　５　（６）　∃ｘ～（象ｘ→～兎ｘ）　　　　　　　　　　５量化子の関係
　　　７（７）　　　～（象ａ→～兎ａ）　　　　　　　　　　Ａ
　　　７（８）　　～（～象ａ∨～兎ａ）　　　　　　　　　　７含意の定義
　　　７（９）　　　　　象ａ＆　兎ａ　　　　　　　　　　　８ド・モルガンの法則
　　　７（ア）　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ
　　　７（イ）　　　　　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　９＆Ｅ
１　　７（ウ）　　　　　　　　～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　３アＭＰＰ
　２　７（エ）　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　４イＭＰＰ
１２　７（オ）　　　　　　　　～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　イウ＆I
１２５　（カ）　　　　　　　　～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　６７オＥＥ
１２　　（キ）～～∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）　　　　　　　　　　５カＲＡＡ
１２　　（ク）　　∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）　　　　　　　　　　キＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ｛象ｘ→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「演繹推理」は、「妥当」である。
然るに、
（03）
（演繹推理は）前提を追加しても結論は不変でよい。結論は前提が含むものだけを導出するのであるから、
新前提を加えても、これから新結論を引き出す必要はないからである（岩波全書、論理学入門、１５６頁）。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「演繹推理」は、「妥当」である。
然るに、
（02）（04）により、
（05）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「演繹推理」の場合は、「前提を追加した」のではなく「（結論を導く上での）前提を除外してゐる」。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「演繹推理」は、「妥当」であるが、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「演繹推理」は、「妥当」ではない。
従って、
（06）により、
（07）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふ「演繹推理」は、「妥当」であるが、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）｝。従って、
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふ「演繹推理」は、「妥当」ではない。
従って、
（07）により、
（08）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「演繹推理」は、「妥当」であるが、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）｝。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「演繹推理」は、「妥当」ではない。
従って、
（08）により、
（09）
① 象は鼻が長い。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「演繹推理」は、「妥当」であるが、
① 象は鼻が長い。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）｝。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「演繹推理」は、「妥当」ではない。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
といふ「翻訳」に対する、
① 象は鼻が長い＝∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）｝。
といふ「翻訳」、すなはち、
① 象は鼻が長い＝すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い。
といふ「翻訳」は、『誤訳』である。
然るに、
（11）
たとえば「象は鼻が長い」というような表現は、象が主語なのか、鼻が主語なのかはっきりしないから、このままではその論理的構造が明示されていない。
いわば非論理的な文章である、というひともある。しかしこの文の論理的な構造をはっきりと文章にあらわして
「すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い」
といえばいいかもしれない（沢田充茂、現代論理学入門、1962年、２９頁）。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「演繹推理」は、「妥当」であるが、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）｝。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「演繹推理」は、「妥当」ではない。
といふ「意味」に於いて、「沢田先生」による、
① 象は鼻が長い＝すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い。
といふ「翻訳」は、『誤訳』である。