(01)
(ⅰ)
1 (1) ∀x∀y(Fx&Fy→ x=y) A
1 (2) ∀y(Fa&Fy→ a=y) 1UE
1 (3) Fa&Fb→ a=b 2UE
4(4) ~(~Fa∨~Fb) A
4(5) Fa&Fb 4ド・モルガンの法則
14(6) a=b 35MPP
1 (7) ~(~Fa∨~Fb)→a=b 46CP
1 (8) ~Fa∨~Fb∨(a=b) 7含意の定義
1 (9) ∀y{~Fa∨~Fy∨(a=y)} 8UI
1 (ア)∀x∀y{~Fx∨~Fy∨(x=y)} 9UI
(ⅱ)
1 (1)∀x∀y{~Fx∨~Fy∨(x=y)} A
1 (2) ∀y{~Fa∨~Fy∨(a=y)} 1UE
1 (3) ~Fa∨~Fb∨(a=b) 2UE
1 (4) ~(~Fa∨~Fb)→a=b 3含意の定義
5(5) Fa&Fb A
5(6) ~(~Fa∨~Fb) 5ド・モルガンの法則
15(7) a=b 46MPP
1 (8) Fa&Fb→ a=b 57CP
1 (9) ∀y(Fa&Fy→ a=y) 8UI
1 (ア) ∀x∀y(Fx&Fy→ x=y) 9UI
従って、
(01)により、
(02)
① ∀x∀y(Fx&Fy→x=y)
② ∀x∀y{~Fx∨~Fy∨(x=y)}
に於いて、すなはち、
① すべてのxとyについて(xがFであって、yもFであるならば、xとyは「同一」である)。
② すべてのxとyについて{xはFでないか、yはFでないか、または、xとyは「同一」である}。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(02)により、
(03)
② すべてのxとyについて{xはFでないか、yはFでないか、または、xとyは「同一」である}。
といふのであれば、
② Fであるモノの「個数」は、「0個、または、1個である」。
従って、
(02)(03)により、
(04)
① ∀x∀y(Fx&Fy→x=y)
② ∀x∀y{~Fx∨~Fy∨(x=y)}
であるならば、両方とも、
① Fであるモノの「個数」は、「0個、または、1個」である。
② Fであるモノの「個数」は、「0個、または、1個」である。
従って、
(04)により、
(05)
① ∀x∀y(Fx&Fy→x=y)
の「否定」である、
① ~∀x∀y(Fx&Fy→x=y)
であるならば、
① Fであるモノの「個数」は、「2個以上」である。
然るに、
(06)
(ⅰ)
1 (1)~∀x∀y(Fx&Fy→x=y) A
1 (2)∃x~∀y(Fx&Fy→x=y) 1量化子の関係
1 (3)∃x∃y~(Fx&Fy→x=y) 2量化子の関係
4 (4) ∃y~(Fa&Fy→a=y) A
5(5) ~(Fa&Fb→a=b) A
5(6) ~{~(Fa&Fb)∨a=b} 5含意の定義
5(7) Fa&Fb&(a≠b) 6ド・モルガンの法則
5(8) ∃y{Fa&Fy&(a≠y)} 7EI
4 (9) ∃y{Fa&Fy&(a≠y)} 458EE
4 (ア) ∃x∃y{Fx&Fy&(x≠y)} 9EI
4 (イ) ∃x∃y{Fx&Fy&(x≠y)} アEI
1 (ウ) ∃x∃y{Fx&Fy&(x≠y)} 34イEE
(ⅱ)
1 (1) ∃x∃y{Fx&Fy&(x≠y)} A
2 (2) ∃y{Fa&Fy&(a≠y)} A
3(3) Fa&Fb&(a≠b) A
3(4) ~{~(Fa&Fb)∨a=b} 3ド・モルガンの法則
3(5) ~(Fa&Fb→a=b) 4含意の定義
3(6) ∃y~(Fa&Fb→a=b) 5EI
2 (7) ∃y~(Fa&Fy→a=y) 236EE
2 (8)∃x∃y~(Fx&Fy→x=y) 7EI
1 (9)∃x∃y~(Fx&Fy→x=y) 128EE
1 (ア)∃x~∀y(Fx&Fy→x=y) 9量化子の関係
1 (イ)~∀x∀y(Fx&Fy→x=y) ア量化子の関係
従って、
(06)により、
(07)
① ~∀x∀y(Fx&Fy→ x=y)
② ∃x∃y{Fx&Fy&(x≠y)}
に於いて、
①=② である。
従って、
(05)(06)(07)により、
(08)
① ~∀x∀y(Fx&Fy→ x=y)
② ∃x∃y{Fx&Fy&(x≠y)}
であるならば、両方とも、
① Fであるモノの「個数」は、「2個以上」である。
② Fであるモノの「個数」は、「2個以上」である。
然るに、
(09)
① Fであるモノの「個数」は、「2個以上」である。
② Fであるモノの「個数」は、「2個以上」である。
といふことは、
① 性質Fをもつ少なくとも2つの対象が存在する。
② 性質Fをもつ少なくとも2つの対象が存在する。
といふことである。
従って、
(08)(09)により、
(10)
② ∃x∃y{Fx&Fy&(x≠y)}
ではなく、
③ ∃x∃y(Fx&Fy)
であるならば、
① 性質Fをもつ少なくとも2つの対象が存在する。
といふことには、ならない。
然るに、
(11)
142 ∃x(Fx)├ ∃x∃y(Fx&Fy)
1 (1) ∃x(Fx) A
2(2) Fa A
2(3) Fa&Fa 22&I
2(4) ∃y(Fa&Fy) 3EI
2(5)∃x∃y(Fa&Fy) 4EI
1 (6)∃x∃y(Fa&Fy) 125EE
(この結果は事実上、強化して相互導出可能にすることができる。)この連式の妥当性から、
ひとつだけの対象がFをもっているならば、∃x∃y(Fx&Fy)ということが帰結する。
(E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英、1973年、210頁)
従って、
(10)(11)により、
(12)
① 性質Fをもつ少なくとも2つの対象が存在する。
といふことを、「示したい」のであれば、
② ∃x∃y{Fx&Fy&(x≠y)}
といふ「論理式」を、
③ ∃x∃y(Fx&Fy)
といふ風に、「書き換へ」ては、ならない。
然るに、
(13)
∀z(Fz→z=x∨z=y)
といふことは、
{a,b,c}が{変域(ドメイン)」であるとして、
① Fa&Fb
② Fa&Fc
③ Fb&Fc
といふことは、有り得ても、
④ Fa&Fb&Fc
⑤ Fa&Fc&Fb
⑥ Fb&Fc&Fa
といふことは、「有り得ない」。
といふ「意味」である。
従って、
(12)(13)により、
(14)
ところで、Fをもつ正確に2つのものが存在すると言いたいならば、幾つかの道が開かれている。
恐らく最も簡単なのはつぎのように書くことであろう。
(19)∃x∃y{Fx&Fy&(x≠y)&∀z(Fz→z=x∨z=y)}
(E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英、1973年、212頁)
従って、
(14)により、
(15)
① ∃x∃y{Fx&Fy&(x≠y)&∀z(Fz→z=x∨z=y)}
を「書き換へる」と、
② ∃y∃z[y≠z&私y&彼z&理事yx&理事zx&∀u(理事ux→u=y∨u=z)]
といふ「命題関数」は、すなはち、
② あるyとあるzについて[yとzは同一ではなく、yは私、zは彼であって、yはxの理事であって、zもxの理事であって、すべてのuについて(uがxの理事であるならば、uはyであるか、または、zである)]。
といふ「命題関数」は、
② xの理事は、私と彼だけある。
といふ、「意味」になる。
従って、
(15)により、
(16)
③ ∀x{T会の会員x→∃y∃z[y≠z&私y&彼z&理事yx&理事zx&∀u(理事ux→u=y∨u=z)]}。
といふ「命題」、すなはち、
③ すべてのxについて{xがタゴール記念会の会員であるならば、あるyとあるzについて[yとzは同一ではなく、yは私、zは彼であって、yはxの理事であって、zもxの理事であって、すべてのuについて(uがxの理事であるならば、uはyであるか、または、zである)]}。
といふ「命題」は、
③ タゴール記念会は、私と彼だけが理事である。
といふ、「意味」になる。