（01）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ ａ＝ｙ） １ＵＥ
１ （３） Ｆａ＆Ｆｂ→ ａ＝ｂ ２ＵＥ
４（４） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ） Ａ
４（５） Ｆａ＆Ｆｂ ４ド・モルガンの法則
１４（６） ａ＝ｂ ３５ＭＰＰ
１ （７） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ）→ａ＝ｂ ４６ＣＰ
１ （８） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ） ７含意の定義
１ （９） ∀ｙ｛～Ｆａ∨～Ｆｙ∨（ａ＝ｙ）｝ ８ＵＩ
１ （ア）∀ｘ∀ｙ｛～Ｆｘ∨～Ｆｙ∨（ｘ＝ｙ）｝ ９ＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ｛～Ｆｘ∨～Ｆｙ∨（ｘ＝ｙ）｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ｛～Ｆａ∨～Ｆｙ∨（ａ＝ｙ）｝ １ＵＥ
１ （３） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ） ２ＵＥ
１ （４） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ）→ａ＝ｂ ３含意の定義
５（５） Ｆａ＆Ｆｂ Ａ
５（６） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ） ５ド・モルガンの法則
１５（７） ａ＝ｂ ４６ＭＰＰ
１ （８） Ｆａ＆Ｆｂ→ ａ＝ｂ ５７ＣＰ
１ （９） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ ａ＝ｙ） ８ＵＩ
１ （ア） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ ｘ＝ｙ） ９ＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
② ∀ｘ∀ｙ｛～Ｆｘ∨～Ｆｙ∨（ｘ＝ｙ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘとｙについて（ｘがＦであって、ｙもＦであるならば、ｘとｙは「同一」である）。
② すべてのｘとｙについて｛ｘはＦでないか、ｙはＦでないか、または、ｘとｙは「同一」である｝。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）により、
（03）
② すべてのｘとｙについて｛ｘはＦでないか、ｙはＦでないか、または、ｘとｙは「同一」である｝。
といふのであれば、
② Ｆであるモノの「個数」は、「０個、または、１個である」。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
② ∀ｘ∀ｙ｛～Ｆｘ∨～Ｆｙ∨（ｘ＝ｙ）｝
であるならば、両方とも、
① Ｆであるモノの「個数」は、「０個、または、１個」である。
② Ｆであるモノの「個数」は、「０個、または、１個」である。
従って、
（04）により、
（05）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
の「否定」である、
① ～∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
であるならば、
① Ｆであるモノの「個数」は、「２個以上」である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘ～∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １量化子の関係
１ （３）∃ｘ∃ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ２量化子の関係
４ （４） ∃ｙ～（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
５（５） ～（Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ） Ａ
５（６） ～｛～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ｝ ５含意の定義
５（７） Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ） ６ド・モルガンの法則
５（８） ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）｝ ７ＥＩ
４ （９） ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）｝ ４５８ＥＥ
４ （ア） ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝ ９ＥＩ
４ （イ） ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝ アＥＩ
１ （ウ） ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝ ３４イＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝ Ａ
２ （２） ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）｝ Ａ
３（３） Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ） Ａ
３（４） ～｛～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ｝ ３ド・モルガンの法則
３（５） ～（Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ） ４含意の定義
３（６） ∃ｙ～（Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ） ５ＥＩ
２ （７） ∃ｙ～（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２３６ＥＥ
２ （８）∃ｘ∃ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ７ＥＩ
１ （９）∃ｘ∃ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １２８ＥＥ
１ （ア）∃ｘ～∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ９量化子の関係
１ （イ）～∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ア量化子の関係
従って、
（06）により、
（07）
① ～∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ ｘ＝ｙ）
② ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① ～∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ ｘ＝ｙ）
② ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝
であるならば、両方とも、
① Ｆであるモノの「個数」は、「２個以上」である。
② Ｆであるモノの「個数」は、「２個以上」である。
然るに、
（09）
① Ｆであるモノの「個数」は、「２個以上」である。
② Ｆであるモノの「個数」は、「２個以上」である。
といふことは、
① 性質Ｆをもつ少なくとも２つの対象が存在する。
② 性質Ｆをもつ少なくとも２つの対象が存在する。
といふことである。
従って、
（08）（09）により、
（10）
② ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝
ではなく、
③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
であるならば、
① 性質Ｆをもつ少なくとも２つの対象が存在する。
といふことには、ならない。
然るに、
（11）
１４２ ∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３） Ｆａ＆Ｆａ ２２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
（この結果は事実上、強化して相互導出可能にすることができる。）この連式の妥当性から、
ひとつだけの対象がＦをもっているならば、∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）ということが帰結する。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英、1973年、２１０頁）
従って、
（10）（11）により、
（12）
① 性質Ｆをもつ少なくとも２つの対象が存在する。
といふことを、「示したい」のであれば、
② ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝
といふ「論理式」を、
③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
といふ風に、「書き換へ」ては、ならない。
然るに、
（13）
∀ｚ（Ｆｚ→ｚ＝ｘ∨ｚ＝ｙ）
といふことは、
｛ａ，ｂ，ｃ｝が｛変域（ドメイン）」であるとして、
① Ｆａ＆Ｆｂ
② Ｆａ＆Ｆｃ
③ Ｆｂ＆Ｆｃ
といふことは、有り得ても、
④ Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
⑤ Ｆａ＆Ｆｃ＆Ｆｂ
⑥ Ｆｂ＆Ｆｃ＆Ｆａ
といふことは、「有り得ない」。
といふ「意味」である。
従って、
（12）（13）により、
（14）
ところで、Ｆをもつ正確に２つのものが存在すると言いたいならば、幾つかの道が開かれている。
恐らく最も簡単なのはつぎのように書くことであろう。
（19）∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ（Ｆｚ→ｚ＝ｘ∨ｚ＝ｙ）｝
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英、1973年、２１２頁）
従って、
（14）により、
（15）
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ（Ｆｚ→ｚ＝ｘ∨ｚ＝ｙ）｝
を「書き換へる」と、
② ∃ｙ∃ｚ［ｙ≠ｚ＆私ｙ＆彼ｚ＆理事ｙｘ＆理事ｚｘ＆∀ｕ（理事ｕｘ→ｕ＝ｙ∨ｕ＝ｚ）］
といふ「命題関数」は、すなはち、
② あるｙとあるｚについて［ｙとｚは同一ではなく、ｙは私、ｚは彼であって、ｙはｘの理事であって、ｚもｘの理事であって、すべてのｕについて（ｕがｘの理事であるならば、ｕはｙであるか、または、ｚである）］。
といふ「命題関数」は、
② ｘの理事は、私と彼だけある。
といふ、「意味」になる。
従って、
（15）により、
（16）
③ ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ∃ｚ［ｙ≠ｚ＆私ｙ＆彼ｚ＆理事ｙｘ＆理事ｚｘ＆∀ｕ（理事ｕｘ→ｕ＝ｙ∨ｕ＝ｚ）］｝。
といふ「命題」、すなはち、
③ すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙとあるｚについて［ｙとｚは同一ではなく、ｙは私、ｚは彼であって、ｙはｘの理事であって、ｚもｘの理事であって、すべてのｕについて（ｕがｘの理事であるならば、ｕはｙであるか、または、ｚである）］｝。
といふ「命題」は、
③ タゴール記念会は、私と彼だけが理事である。
といふ、「意味」になる。