（01）
数学の命題は、大抵の場合、定数を表す記号と関数を表す記号と述語記号を定めて、
変数および論理記号を用いて書き表すことができる。
例えば、「正の実数の相乗平均は相加平均以下である」は、
∀ｘ∀ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝
と書ける（上江洲忠弘、述語論理入門、2007年、１４頁）
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ∀ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～∀ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝ １量化子の関係
１ （３）∃ｘ∃ｙ～｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝ ２量化子の関係
４ （４） ∃ｙ～｛（０＜ａ∧０＜ｙ）⊃√ａ・ｙ≦（ａ＋ｙ）｝ Ａ
５（５） ～｛（０＜ａ∧０＜ｂ）⊃√ａ・ｂ≦（ａ＋ｂ）｝ Ａ
５（６） ～｛～（０＜ａ∧０＜ｂ）∨√ａ・ｂ≦（ａ＋ｂ）｝ ５含意の定義
５（７） （０＜ａ∧０＜ｂ）∧～｛√ａ・ｂ≦（ａ＋ｂ） ６ド・モルガンの法則
５（８） （０＜ａ∧０＜ｂ） ７∧Ｅ
５（９） ～｛√ａ・ｂ≦（ａ＋ｂ） ７∧Ｅ
５（ア） √ａ・ｂ＞（ａ＋ｂ） ９ＤＮ
５（イ） （０＜ａ∧０＜ｂ）∧√ａ・ｂ＞（ａ＋ｂ） ８ア∧Ｉ
５（ウ） ∃ｙ｛（０＜ａ∧０＜ｙ）∧√ａ・ｙ＞（ａ＋ｙ）｝ イＥＩ
４ （エ） ∃ｙ｛（０＜ａ∧０＜ｙ）∧√ａ・ｙ＞（ａ＋ｙ）｝ ４５ウＥＥ
４ （オ） ∃ｘ∃ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）∧√ｘ・ｙ＞（ｘ＋ｙ）｝ エＥＩ
１ （カ） ∃ｘ∃ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）∧√ｘ・ｙ＞（ｘ＋ｙ）｝ １４オＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ∃ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）∧√ｘ・ｙ＞（ｘ＋ｙ）｝ Ａ
２ （２） ∃ｙ｛（０＜ａ∧０＜ｙ）∧√ａ・ｙ＞（ａ＋ｙ）｝ Ａ
３（３） （０＜ａ∧０＜ｂ）∧√ａ・ｂ＞（ａ＋ｂ） Ａ
３（４） （０＜ａ∧０＜ｂ） ３∧Ｅ
３（５） √ａ・ｂ＞（ａ＋ｂ） ３∧Ｅ
３（６） ～｛√ａ・ｂ≦（ａ＋ｂ）｝ ５ＤＮ
３（７） （０＜ａ∧０＜ｂ）＆～｛√ａ・ｂ≦（ａ＋ｂ）｝ ４６∧Ｉ
３（８） ～｛～（０＜ａ∧０＜ｂ）∨√ａ・ｂ≦（ａ＋ｂ）｝ ７ド・モルガンの法則
３（９） ～｛（０＜ａ∧０＜ｂ）⊃√ａ・ｂ≦（ａ＋ｂ）｝ ８含意の定義
３（ア） ∃ｙ～｛（０＜ａ∧０＜ｙ）⊃√ａ・ｙ≦（ａ＋ｙ）｝ ９ＥＩ
２ （イ） ∃ｙ～｛（０＜ａ∧０＜ｙ）⊃√ａ・ｙ≦（ａ＋ｙ）｝ ２３アＥＥ
２ （ウ）∃ｘ∃ｙ～｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝ イＥＩ
１ （エ）∃ｘ∃ｙ～｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝ １２ウＥＥ
１ （オ）∃ｘ～∀ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝ エ量化子の関係
１ （カ）～∀ｘ∀ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝ オ量化子の関係
従って、
（02）により、
（03）
① ～∀ｘ∀ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝
② ∃ｘ∃ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）∧√ｘ・ｙ＞（ｘ＋ｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
① ～～∀ｘ∀ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝
② ～∃ｘ∃ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）∧√ｘ・ｙ＞（ｘ＋ｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
「二重否定律」により、
① ∀ｘ∀ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝
② ～∃ｘ∃ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）∧√ｘ・ｙ＞（ｘ＋ｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（05）により、
（06）
①「正の実数の相乗平均は相加平均以下である。」
② ～∃ｘ∃ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）∧√ｘ・ｙ＞（ｘ＋ｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
①「正の実数の相乗平均は相加平均以下である。」
②「正の実数の相乗平均が相加平均以下よりも大きい」といふことは無い。
に於いて、
①＝② ある。