(01)
1 (1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} A
2 (2)∀x{象x→∃z(耳zx&~鼻zx)} A
1 (3) 象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z) 1UE
2 (4) 象a→∃z(耳za&~鼻za) 2UE
5 (5) 象a A
1 5 (6) ∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z) 35MPP
1 5 (7) ∃y(鼻ya&長y) 6&E
1 5 (8) ∀z(~鼻za→~長z) 6&E
1 5 (9) ~鼻ca→~長c 8UE
25 (ア) ∃z(耳za&~鼻za) 45MPP
イ(イ) 耳ca&~鼻ca A
イ(ウ) 耳ca イ&E
イ(エ) ~鼻ca イ&E
1 5イ(オ) ~長c 9エMPP
1 5イ(カ) 耳ca&~長c エオ&I
1 5イ(キ) ∃z(耳za&~長z) カEI
125 (ク) ∃z(耳za&~長z) アイキEE
125 (ケ) ∃y(鼻ya& 長y)&∃z(耳za&~長z) 7ク&I
12 (コ) 象a→∃y(鼻ya& 長y)&∃z(耳za&~長z) 5ケCP
12 (サ)∀x{象x→∃y(鼻yx& 長y)&∃z(耳zx&~長z)} コUI
(02)
1 (1) ∀x{象x→∃y(鼻yx& 長y)&∃z(耳zx&~長z)} A
2 (2) ∃x{象x&∀y(鼻yx→~長y)∨∀z(耳zx→ 長z)} A
1 (3) 象a→∃y(鼻ya& 長y)&∃z(耳za&~長z) 1UE
4 (4) 象a&∀y(鼻ya→~長y)∨∀z(耳za→ 長z) A
4 (5) 象a 4&E
1 4 (6) ∃y(鼻ya& 長y)&∃z(耳za&~長z) 35MPP
4 (7) ∀y(鼻ya→~長y)∨∀z(耳za→ 長z) 4&E
1 4 (8) ∃y(鼻ya& 長y) 6&E
9 (9) ∀y(鼻ya→~長y) A
ア (ア) 鼻ba& 長b A
9 (イ) 鼻ba→~長b 9UE
9 (ウ) 鼻ba ア&E
9ア (エ) ~長b イウMPP
ア (オ) 長b ア&E
9ア (カ) ~長b&長b エオ&I
1 4 (キ) ∃z(耳za&~長z) 6&E
ク (ク) ∀z(耳za→ 長z) A
ケ(ケ) 耳ba&~長b A
ク (コ) 耳ba→ 長b クUE
ケ(サ) 耳ba ケ&E
クケ(シ) 長b コサMPP
ケ(ス) ~長b ケ&E
クケ(ソ) ~長b&長b シス&I
1 4 ア ケ(タ) ~長b&長b 79カクケ∨E
1 4 ケ(チ) ~長b&長b 8アタEE
1 4 (ツ) ~長b&長b キケチEE
12 (テ) ~長b&長b 24ツEE
1 (ト)~∃x{象x&∀y(鼻yx→~長y)∨∀z(耳zx→ 長z)} 2テRAA
従って、
(01)(02)により、
(03)
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。然るに、
② ∀x{象x→∃z(耳zx&~鼻zx)}。 従って、
③ ∀x{象x→∃y(鼻yx& 長y)&∃z(耳zx&~長z)}。従って、
④ ~∃x{象x&∀y(鼻yx→~長y)∨∀z(耳zx→ 長z)}。
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのxについて{xが象であるならば、あるyは(xの鼻であって、長く)、すべてのzについて(zがxの鼻でないならば、zは長くない)}。然るに、
② すべてのxについて{xが象であるならば、あるzは(xの耳であって、鼻ではない)}。従って、
③ すべてのxについて{xが象であるならば、あるyは(xの鼻であって、長く)、あるzは(xの耳であって、長くない)}。従って、
④ あるxが{象であって、すべてのyについて(yがxの鼻であるならば、yは長くないか)、または、すべてのzについて(zがxの耳であるならば、zは長い)}といふことはない。
といふ「推論」、すなはち、
① 象は、鼻は長いが、鼻以外は長くない。然るに、
② 象は、鼻は耳ではない。 従って、
③ 象は、鼻は長いが、耳は長くない。 従って、
④ 象であって、鼻が長くないか、耳が長い、といふことはない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
(03)により、
(04)
① 象は、鼻は長いが、鼻以外も長い。然るに、
② 象は、鼻は耳ではない。 従って、
③ 象は、鼻は長いが、耳は長くない。 従って、
④ 象であって、鼻が長くないか、耳が長い、といふことはない。
といふ「推論」は、「妥当」でない。
然るに、
(05)
① 象は、鼻が長い。 然るに、
② 象は、鼻は耳ではない。 従って、
③ 象は、鼻は長いが、耳は長くない。従って、
④ 象であって、鼻が長くないか、耳が長い、といふことはない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
(03)(04)(05)により、
(06)
① 象は、鼻は長いが、鼻以外は長くない。
② 象は、鼻は長いが、鼻以外も長い。
③ 象は、鼻が長い。
に於いて、
①=② ではなくて、
①=③ である。
令和5年4月29日、毛利太。