(01)
① いかなる矛でも陥せない盾が存在する。⇔
① ∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)}⇔
① あるxは盾であり、すべてのyについて、yが矛ならば、yはxを陥さない。
② いかなる盾をも陥す矛が存在する。⇔
② ∃y{矛y&∀x(盾x→ 陥yx)}⇔
② あるyは矛であり、すべてのxについて、xが盾ならば、yはxを陥す。
然るに、
(02)
1 (1) ∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)} A
2 (2) 盾a&∀y(矛y→~陥ya) A
2 (3) 盾a 2&E
2 (4) ∀y(矛y→~陥ya) 2&E
2 (5) 矛b→~陥ba 4UE
6 (6) ∃y{矛y&∀x(盾x→ 陥yx)} A
7(7) 矛b&∀x(盾x→ 陥bx) A
7(8) 矛b 7&E
7(9) ∀x(盾x→ 陥bx) 7&E
7(ア) 盾a→ 陥ba 9UE
2 7(イ) 陥ba 3アMPP
2 7(ウ) ~陥ba 58MPP
2 7(エ) 陥ba&~陥ba イウ&I
26 (オ) 陥ba&~陥ba 67エEE
1 6 (カ) 陥ba&~陥ba 12オEE
1 (キ)~∃y{矛y&∀x(盾x→ 陥yx)} 6カRAA
6 (ク)~∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)} 1キRAA
従って、
(02)により、
(03)
① ∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)}├ ~∃y{矛y&∀x(盾x→ 陥yx)}
② ∃y{矛y&∀x(盾x→ 陥yx)}├ ~∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)}
といふ「連式(Sequents)」、すなはち、
① いかなる矛でも陥せない盾が存在する。故に、いかなる盾をも陥す矛は存在しない。
② いかなる盾をも陥す矛が存在する。 故に、いかなる矛でも陥せない盾は存在しない。
といふ「連式(Sequents)」は「妥当(Valid)」である。
然るに、
(04)
1 (1) ∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)} A
2 (2) 盾a&∀y(矛y→~陥ya) A
2 (3) 盾a 2&E
2 (4) ∀y(矛y→~陥ya) 2&E
2 (5) 矛b→~陥ba 4UE
6 (6) ∃y{矛y&∀x(盾x→ 陥yx)} A
7 (7) 矛b&∀x(盾x→ 陥bx) A
7 (8) 矛b 7&E
7 (9) ∀x(盾x→ 陥bx) 7&E
7 (ア) 盾a→ 陥ba 9UE
2 7 (イ) 陥ba 3アMPP
2 7 (ウ) ~陥ba 58MPP
2 7 (エ) 陥ba&~陥ba イウ&I
26 (オ) 陥ba&~陥ba 67エEE
1 6 (カ) 陥ba&~陥ba 12オEE
1 (キ)~∃y{矛y&∀x(盾x→ 陥yx)} 6カRAA
1 (ク)∀y~{矛y&∀x(盾x→ 陥yx)} キ量化子の関係
1 (ケ) ~{矛b&∀x(盾x→ 陥bx)} クUE
1 (コ) ~矛b∨~∀x(盾x→ 陥bx) ケ、ド・モルガンの法則
1 (サ) 矛b→~∀x(盾x→ 陥bx) コ含意の定義
シ (シ) 矛b A
1 シ (ス) ~∀x(盾x→ 陥bx) サシMPP
1 シ (セ) ∃x~(盾x→ 陥bx) ス量化子の関係
ソ(ソ) ~(盾a→ 陥ba) A
ソ(タ) ~(~盾a∨陥ba) ソ含意の定義
ソ(チ) 盾a&~陥ba タ、ド・モルガンの法則
ソ(ツ) ∃x(盾x&~陥bx) チEI
1 シ (テ) ∃x(盾x&~陥bx) セソツEE
1 (ト) 矛b→ ∃x(盾x&~陥bx) シテCP
1 (ナ)∀y{矛y→ ∃x(盾x&~陥yx)} トUI
1 (ニ)すべてのyについて、yが矛ならば、あるxは盾であって、yはxを陥さない。トUI
従って、
(04)により、
(05)
③ ∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)}├ ∀y{矛y→∃x(盾x&~陥yx)}
といふ「連式(Sequents)」、すなはち、
③ いかなる矛でも陥せない盾が存在する。故に、すべての矛は、ある盾を陥せない。
といふ「連式」も、「妥当(Valid)」である。
従って、
(04)(05)により、
(06)
④ ∃y{矛y&∀x(盾x→陥yx)}├ ∀x{盾x→∃y(矛y&陥yx)}
といふ「連式(Sequents)」、すなはち、
④ いかなる盾でも陥す矛が存在する。故に、すべての盾を、ある矛は陥す。
といふ「連式」も、「妥当(Valid)」である。
然るに、
(04)(06)により、
(07)
③ いかなる矛でも陥せない盾が存在する。故に、すべての矛は、ある盾を陥せない。
④ いかなる盾でも陥す矛が存在する。 故に、すべての盾を、ある矛は陥す。
に於いて、
③ と ④ は、「矛盾」する。
(01)
― 矛盾・韓非子 ―
楚人有鬻盾与矛者。誉之曰、吾盾之堅、莫能陥也。又誉其矛曰、矛之利、於物無不陥也。或曰、以子之矛、陥子之盾、何如。其人弗能応也=
楚人有[鬻〔盾与(矛)〕者]。誉(之)曰、吾盾之堅、莫(能陥)也。又誉(其矛)曰、矛之利、於(物)無〔不(陥)〕也。或曰、以(子之矛)、陥(子之盾)、何如。其人弗〔能(応)〕也⇒
楚人に[〔盾と(矛)とを〕鬻ぐ者]有り。(之を)誉めて曰く、吾が盾の堅きこと、(能く陥す)莫きなり。又た(其の矛を誉めて)曰く、吾が矛の利なること、(物に)於いて〔(陥さ)不る〕無きなり。或ひと曰く、(子の矛を)以て、(子の盾を)陥さば、何如ん。其の人〔(応ふる)能は〕ざるなり=
楚の国の人で盾と矛とを売る者がゐた。自分の盾を誉めて言った。 私の盾を突き通すことができるものはない。 又其の矛を誉めて言った。 私の矛の鋭いことには、どんな物でも突き通すことができないものはない。或るひとが言った。 あなたの矛で、あなたの盾を突いたらどうなるのか。 其の(盾と矛を売る)人は、答へることが、出来なかった。
従って、
(01)により、
(02)
① いかなる矛でも陥せない盾が存在する。⇔
① ∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)}⇔
① あるxは盾であり、すべてのyについて、yが矛ならば、yはxを陥さない。
② いかなる盾をも陥す矛が存在する。⇔
② ∃y{矛y&∀x(盾x→ 陥yx)}⇔
② あるyは矛であり、すべてのxについて、xが盾ならば、yはxを陥す。
然るに、
(03)
1 (1) ∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)} A
2 (2) 盾a&∀y(矛y→~陥ya) A
2 (3) 盾a 2&E
2 (4) ∀y(矛y→~陥ya) 2&E
2 (5) 矛b→~陥ba 4UE
6 (6) ∃y{矛y&∀x(盾x→ 陥yx)} A
7(7) 矛b&∀x(盾x→ 陥bx) A
7(8) 矛b 7&E
7(9) ∀x(盾x→ 陥bx) 7&E
7(ア) 盾a→ 陥ba 9UE
2 7(イ) 陥ba 3アMPP
2 7(ウ) ~陥ba 58MPP
2 7(エ) 陥ba&~陥ba イウ&I
26 (オ) 陥ba&~陥ba 67エEE
1 6 (カ) 陥ba&~陥ba 12オEE
1 (キ)~∃y{矛y&∀x(盾x→ 陥yx)} 6カRAA
6 (ク)~∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)} 1キRAA
従って、
(03)により、
(04)
① ∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)}├ ~∃y{矛y&∀x(盾x→ 陥yx)}
② ∃y{矛y&∀x(盾x→ 陥yx)}├ ~∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)}
といふ「連式(Sequents)」、すなはち、
① いかなる矛でも陥せない盾が存在する。故に、いかなる盾をも陥す矛は存在しない。
② いかなる盾をも陥す矛が存在する。 故に、いかなる矛でも陥せない盾は存在しない。
といふ「連式(Sequents)」は「妥当(Valid)」である。
然るに、
(05)
夫不可陷之盾与無不陷之矛、不可同世而立。今堯舜之不可両譽、矛盾之説也=
夫不〔可(陷)〕之盾與[無〔不(陷)〕之矛]、不[可〔同(世)而立〕]。今堯舜之不〔可(両譽)〕、矛盾之説也⇒
夫れ〔(陷す)可がら〕不るの盾と[〔(陷さ)不る〕無きの矛]とは、[〔(世を)同じくして立つ〕可から]不。今堯舜の〔(両つながら譽む)可から〕不るは、矛盾の説なり=
いかなる矛であっても、突き通すことが出来ない「盾」と、いかなる盾であってあっても、突き通さないことが無い「矛」とは、同時に存在することはできない。堯と舜とを同時に誉めたたへることが出来ないのは、この「盾と矛の例へ」と同じである。
従って、
(03)(04)(05)により、
(06)
「韓非の言ってゐること」は、「漢文」としても、「日本語」としても、「述語論理」としても、「正しい」。
cf.
儒教思想を批判した韓非は、儒者が堯・舜を、万人を感化した聖人であるとして賞賛するのを反対して、堯が万人を感化したなら、もはや舜はその後をうけて人民を感化する必要はないし、舜が堯にかわって万人を感化する必要があったとするならば、堯は聖人として不十分であったという証拠になる。という。したがって堯・舜ふたりとも聖人であるというのは矛盾であるとして、この話を引用したのである。
(旺文社、漢文の基礎、1973年、34頁)
(01)
1 (1) ∃x(吾盾x)&∃y(吾矛y) A
1 (2) ∃x(吾盾x) 1&E
3 (3) 吾盾a A
1 (4) ∃y(吾矛y) 1&E
5 (5) 吾矛b A
6 (6) ~∃x{吾盾x&∃y(吾矛y& 陥yx)} A
6 (7) ∀x~{吾盾x&∃y(吾矛y& 陥yx)} 6量化子の関係
6 (8) ~{吾盾a&∃y(吾矛y& 陥ya) 7UE
6 (9) ~吾盾a∨~∃y(吾矛y& 陥ya) 8ド・モルガンの法則
6 (ア) 吾盾a→~∃y(吾矛y& 陥ya) 9ド・モルガンの法則
3 6 (イ) ~∃y(吾矛y& 陥ya) 3アMPP
3 6 (ウ) ∀y~(吾矛y& 陥ya) イ量化子の関係
3 6 (エ) ~(吾矛b& 陥ba) ウUE
3 6 (カ) ~吾矛b∨~陥ba エ、ド・モルガンの法則
3 6 (キ) 吾矛b→~陥ba カ含意の定義
356 (ク) ~陥ba 5キMPP
ケ(ケ) ~∃y{吾矛y&∃x(吾盾x&~陥yx)} A
ケ(コ) ∀y~{吾矛y&∃x(吾盾x&~陥yx)} ケ量化子の関係
ケ(サ) ~{吾矛b&∃x(吾盾x&~陥bx)} コUE
ケ(シ) ~吾矛b∨~∃x(吾盾x&~陥bx) サ含意の定義
ケ(ス) 吾矛b→~∃x(吾盾x&~陥bx) シ含意の定義
5 ケ(セ) ~∃x(吾盾x&~陥bx) 5スMPP
5 ケ(ソ) ∀x~(吾盾x&~陥bx) セ量化子の関係
5 ケ(タ) ~(吾盾a&~陥ba) ソUE
5 ケ(チ) ~吾盾a∨ 陥ba タ含意の定義
5 ケ(ツ) 吾盾a→ 陥ba チ含意の定義
35 ケ(テ) 陥ba 3ツMPP
356ケ(ト) ~陥ba&陥ba クテ&I
1 56ケ(ナ) ~陥ba&陥ba 13トEE
1 6ケ(ニ) ~陥ba&陥ba 15ナEE
1 6 (ヌ)~~∃y{吾矛y&∃x(吾盾x&~陥yx)} ケニRAA
1 ケ(ネ) ∃y{吾矛y&∃x(吾盾x&~陥yx)} ヌDN
1 ケ(ノ)~~∃x{吾盾x&∃y(吾矛y& 陥yx)} 6ニRAA
1 ケ(ハ) ∃x{吾盾x&∃y(吾矛y& 陥yx)} ノDN
1 6ケ(ヒ) ∃y{吾矛y&∃x(吾盾x&~陥yx)}&
∃x{吾盾x&∃y(吾矛y& 陥yx)} ネハ&I
6ケ(フ) ∃x(吾盾x)&∃y(吾矛y)→
∃y{吾矛y&∃x(吾盾x&~陥yx)}&
∃x{吾盾x&∃y(吾矛y& 陥yx)} 1ヒCP
従って、
(01)により、
(02)
~∃x{吾盾x&∃y(吾矛y&陥yx)},~∃y{吾矛y&∃x(吾盾x&~陥yx)}├
∃x(吾盾x)&∃y(吾矛y)→∃y{吾矛y&∃x(吾盾x&~陥yx)}&∃x{吾盾x&∃y(吾矛y&陥yx)}.
といふ「連式(Sequent)」は、「妥当(Valid)」である。
従って、
(02)により、
(03)
「日本語」で言ふと、
「あるxは私の盾であって、あるyが私の矛であって、yはxを陥すこと」が無く、「あるyは私の矛であって、あるxは私の盾であって、yはxを陥さないこと」が無い。が故に、
「あるxが私の盾であって、あるyが私の矛である」ならば「あるyは私の矛であって、あるxは私の盾であるが、yはxを陥さず、あるxは私の盾であって、あるyは私の矛であって、yはxを陥す」。
といふことになる。
従って、
(03)により、
(04)
「私の矛(y)は、私の盾(x)突き通すが、突き通さない。」
といふことになって、それ故、「矛盾する」。
然るに、
(05)
― 矛盾・韓非子 ―
楚人有鬻盾与矛者。誉之曰、吾盾之堅、莫能陥也。又誉其矛曰、矛之利、於物無不陥也。或曰、以子之矛、陥子之盾、何如。其人弗能応也=
楚人有[鬻〔盾与(矛)〕者]。誉(之)曰、吾盾之堅、莫(能陥)也。又誉(其矛)曰、矛之利、於(物)無〔不(陥)〕也。或曰、以(子之矛)、陥(子之盾)、何如。其人弗〔能(応)〕也⇒
楚人に[〔盾と(矛)とを〕鬻ぐ者]有り。(之を)誉めて曰く、吾が盾の堅きこと、(能く陥す)莫きなり。又た(其の矛を誉めて)曰く、吾が矛の利なること、(物に)於いて〔(陥さ)不る〕無きなり。或ひと曰く、(子の矛を)以て、(子の盾を)陥さば、何如ん。其の人〔(応ふる)能は〕ざるなり=
楚の国の人で盾と矛とを売る者がゐた。自分の盾を誉めて言った。 私の盾を突き通すことができるものはない。 又其の矛を誉めて言った。 私の矛の鋭いことには、どんな物でも突き通すことができないものはない。或るひとが言った。 あなたの矛で、あなたの盾を突いたらどうなるのか。 其の(盾と矛を売る)人は、答へることが、出来なかった。
従って、
(01)~(05)により、
(06)
① 吾盾之堅、莫能陥也(吾が盾の堅きこと、能く陥す莫きなり)。
② 矛之利、於物無不陥也(吾が矛の利なること、物に於いて陥さ不る無きなり)。
といふ「命題」は、
① ~∃x{吾盾x&∃y(吾矛y& 陥yx)}
② ~∃y{吾矛y&∃x(吾盾x&~陥yx)}
といふ「命題」を、「含意」し、それ故、
③(陥yx&~陥yx)≡(yはxを突き通すが、突き通さない。)
といふ「矛盾」を生むことになる。