（01）
練習問題
１ 証明を発見する練習の追加として、またつぎの節でその結果が必要となるので、つぎの連式を証明せよ。
１ As a further exercise in proof-discovery, and because we need the results in the next section, so prove the following sequence.
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ→Ｑ
（ｂ）
（ｃ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→Ｑ
（ｄ）
・・・・・・・・・・・・
（ｌ）
（E.j.レモン 著、竹尾治一郎・楢英 訳、1973年、１０５頁改と、原文）
然るに、
（02）
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ→Ｑ
（ｃ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→Ｑ
といふ「連式」は、
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「ＰならばＱである。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」故に、「ＰならばＱである。」
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」
といふことは、
（ａ）「Ｑであって、Ｐである。」
（ｃ）「Ｑでなくて、Ｐでない。」
といふことである。
従って、
（02）（03）により、
（04）
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ→Ｑ
（ｃ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→Ｑ
といふ「連式」、すなはち、
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「ＰならばＱである。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」故に、「ＰならばＱである。」
が「証明」出来るのであれば、
（ａ） Ｑ＆ Ｐ├ Ｑ→Ｐ
（ｃ）～Ｑ＆～Ｐ├ Ｑ→Ｐ
といふ「連式」、すなはち、
（ａ）「Ｑであって、Ｐである。」故に、「ＱならばＰである。」
（ｃ）「Ｑでなくて、Ｐでない。」故に、「ＱならばＰである。」
が「証明」出来る。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
練習問題
１ 証明を発見する練習の追加として、またつぎの節でその結果が必要となるので、つぎの連式を証明せよ。
１ As a further exercise in proof-discovery, and because we need the results in the next section, so prove the following sequence.
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ→Ｑ
（ｃ）～Ｐ＆～Ｑ├ Ｐ→Ｑ
といふ「問題」は、
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
（ｃ）～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
といふ「連式」、すなはち、
（ａ）「Ｑであって、Ｐである。」故に、「ＰならばＱであり、ＱならばＰである。」
（ｃ）「Ｑでなくて、Ｐでない。」故に、「ＰならばＱであり、ＱならばＰである。」
といふ「連式」を「証明」せよ。
といふ「問題」に、他ならない。
然るに、
（06）
（ａ）Ｐ＆Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１ （２） Ｑ １＆Ｅ
１ （３） ～Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ＆～Ｑ Ａ
５ （５） ～Ｐ Ａ
２ （６） Ｐ ４＆Ｅ
２５ （７） ～Ｐ＆Ｐ ５６＆Ｉ
５ （８）～（Ｐ＆～Ｑ） ２７ＲＡＡ
９ （９） Ｑ Ａ
２ （ア） ～Ｑ ４＆Ｅ
２ ９ （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（Ｐ＆～Ｑ） ２イＲＡＡ
１ （エ）～（Ｐ＆～Ｑ） ３５８９ウ∨Ｅ
オ （オ） Ｐ Ａ
カ （カ） ～Ｑ Ａ
オカ （キ） Ｐ＆～Ｑ オカ＆Ｉ
１ オカ （ク）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ８キ
１ オ （ケ） ～～Ｑ カクＣＰ
１ オ （コ） Ｑ ケＤＮ
１ （サ） Ｐ→ Ｑ オコＣＰ
１ （シ） Ｐ １＆Ｅ
１ （ス） ～Ｑ∨ Ｐ シ∨Ｉ
セ （セ） Ｑ＆～Ｐ Ａ
ソ （ソ） ～Ｑ Ａ
セ （タ） Ｑ セ＆Ｅ
セソ （チ） ～Ｑ＆Ｑ ソタ＆Ｉ
ソ （ツ）～（Ｑ＆～Ｐ） セチＲＡＡ
テ （テ） Ｐ Ａ
セ （ト） ～Ｐ セ＆Ｅ
セ テ （ナ） Ｐ＆～Ｐ テト＆Ｉ
テ （ニ）～（Ｑ＆～Ｐ） セナＲＡＡ
１ （ヌ）～（Ｑ＆～Ｐ） スソツテニ∨Ｅ
ネ （ネ） Ｑ Ａ
ノ（ノ） ～Ｐ Ａ
ネノ（ハ） Ｑ＆～Ｐ ネノ＆Ｉ
１ ネノ（ヒ）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ヌハ＆Ｉ
１ ネ （フ） ～～Ｐ ノヒＲＡＡ
１ ネ （ヘ） Ｐ フＤＮ
１ （ホ） Ｑ→ Ｐ ネヘＣＰ
１ （マ） （Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｑ→ Ｐ） サホ＆Ｉ
（07）
（ｃ）～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１ （２） ～Ｐ １＆Ｅ
１ （３） ～Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
４ （４） Ｐ＆～Ｑ Ａ
５ （５） ～Ｐ Ａ
４ （６） Ｐ ４＆Ｅ
４５ （７） ～Ｐ＆Ｐ ５６＆Ｉ
５ （８）～（Ｐ＆～Ｑ） ４７ＲＡＡ
９ （９） Ｑ Ａ
４ （ア） ～Ｑ ４＆Ｅ
４ ９ （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（Ｐ＆～Ｑ） ４イＲＡＡ
１ （エ）～（Ｐ＆～Ｑ） ３５８９ウ∨Ｅ
オ （オ） Ｐ Ａ
カ （カ） ～Ｑ Ａ
オカ （キ） Ｐ＆～Ｑ オカ＆Ｉ
１ オカ （ク）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） エキ＆Ｉ
１ オ （ケ） ～～Ｑ カクＲＡＡ
１ オ （コ） Ｑ ケＤＮ
１ （サ） Ｐ→ Ｑ オコＣＰ
１ （シ） ～Ｑ １＆Ｅ
１ （ス） ～Ｑ∨ Ｐ シ∨Ｉ
セ （セ） Ｑ＆～Ｐ Ａ
ソ （ソ） ～Ｑ Ａ
セ （タ） Ｑ セ＆Ｅ
セソ （チ） ～Ｑ＆Ｑ ソタ＆Ｉ
ソ （ツ）～（Ｑ＆～Ｐ） セチＲＡＡ
テ （テ） Ｐ Ａ
セ （ト） ～Ｐ セ＆Ｅ
セ テ （ナ） Ｐ＆～Ｐ テト＆Ｉ
テ （ニ）～（Ｑ＆～Ｐ） セナＲＡＡ
１ （ヌ）～（Ｑ＆～Ｐ） スソツテニ∨Ｅ
ネ （ネ） Ｑ Ａ
ノ（ノ） ～Ｐ Ａ
ネノ（ハ） Ｑ＆～Ｐ ネノ＆Ｉ
１ ネノ（ヒ）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ヌハ＆Ｉ
１ ネ （フ） ～～Ｐ ノヒＲＡＡ
１ ネ （ヘ） Ｐ フＤＮ
１ （ホ） Ｑ→ Ｐ ネヘＣＰ
１ （マ） （Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｑ→ Ｐ） サホ＆Ｉ
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
（ｃ）～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
といふ「連式」、すなはち、「日本語」でいふならば、
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「ＰならばＱであり、ＱならばＰである。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」故に、「ＰならばＱであり、ＱならばＰである。」
といふ「連式」は、確かに、「妥当（Valid）」である。
然るに、
（09）
（ａ）「ＰならばＱであり、ＱならばＰである。」
（ｃ）「ＰならばＱであり、ＱならばＰである。」
といふことは、
（ａ）「ＰはＱに等しい。」
（ｃ）「ＰとＱは同じである。」
といふことに、他ならない。
従って、
（08）（09）により、
（10）
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
（ｃ）～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
といふ「連式」は、
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「ＰはＱに等しい。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」故に、「ＰとＱは同じである。」
といふ「意味」である。
然るに、
（11）
例へば、
（ａ）「日本人であって、学生である。」故に、「日本人は学生に、等しい。」
（ｂ）「日本人であって、学生である。」故に、「日本人である。」
（ｃ）「日本人でなくて、学生でない。」故に、「日本人と学生は、同じである。」
といふ「推論」に於いて、
（ａ）は、ヲカシイ。
（ｂ）は当然である。
（ｃ）は、ヲカシイ。
としか、言ひやうがない。
然るに、
（12）
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
（ｃ）～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
といふ「連式」は、「含意の定義」といふ「定理（公式）」を用ひれば、それぞれ、次にやうに、「証明」出来る。
（ａ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
１（５） Ｐ １＆Ｅ
１（６）～Ｑ∨ Ｐ ５∨Ｉ
１（７） Ｑ→ Ｐ ６含意の定義
１（８）（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｑ→ Ｐ） ４７＆Ｉ
（ｃ）
１（１）～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２）～Ｐ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
１（５） ～Ｑ １＆Ｅ
１（６）～Ｑ∨ Ｐ ５∨Ｉ
１（７） Ｑ→ Ｐ ６含意の定義
１（８）（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｑ→ Ｐ） ４７＆Ｉ
従って、
（06）（07）（12）により、
（13）
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
（ｃ）～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
といふ「連式」、すなはち、
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「ＰはＱに等しい。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」故に、「ＰとＱは同じである。」
といふ「連式」が、「妥当」であることは、「疑ふ余地」が無い。
（14）
練習問題
１ 証明を発見する練習の追加として、またつぎの節でその結果が必要となるので、つぎの連式を証明せよ。
１ As a further exercise in proof-discovery, and because we need the results in the next section, so prove the following sequence.
（E.j.レモン 著、竹尾治一郎・楢英 訳、1973年、１０５頁と原文）
でいふ、「次の節（the next section）」といふのは、「命題計算の完全性（The completeness of propositional calculus）」のことをいふ。
従って、
（15）
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「ＰはＱに等しい。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」故に、「ＰとＱは同じである。」
といふ「連式」が、「妥当」でることを、疑ふのであれば、結局は、「命題計算の完全性（The completeness of propositional calculus）」を疑ふことになる。
然るに、
（16）
とはいふものの、「普通」に考へれば、
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「ＰはＱに等しい。」
（ｂ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「Ｐである。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」故に、「ＰとＱは同じである。」
に於いて、「正しい」のは、
（ｂ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「Ｐである。」
だけであって、
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「ＰはＱに等しい。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」故に、「ＰとＱは同じである。」
といふのは、どう考へても「ヲカシイ」。
然るに、
（17）
（ａ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
１（５） Ｐ １＆Ｅ
１（６）～Ｑ∨ Ｐ ５∨Ｉ
１（７） Ｑ→ Ｐ ６含意の定義
１（８）（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｑ→ Ｐ） ４７＆Ｉ
（ｂ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
（ｃ）
１（１）～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２）～Ｐ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
１（５） ～Ｑ １＆Ｅ
１（６）～Ｑ∨ Ｐ ５∨Ｉ
１（７） Ｑ→ Ｐ ６含意の定義
１（８）（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｑ→ Ｐ） ４７＆Ｉ
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
「普通」に考へれば、
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「ＰはＱに等しい。」
（ｂ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「Ｐである。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」故に、「ＰとＱは同じである。」
に於いて、「正しい」のは、
（ｂ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「Ｐである。」
だけであるが、「命題計算」としては、「３つとも正しい」のであって、そのことが、私には、「とても、不思議である。」
（19）分かりました。不思議ではない（５月７日、１９時０６分）。