（611）「述語論理の公理（の４分３）」は「命題論理の定理」である。

（01）
述語論理の公理系は次のように与えられる。ここにＰ，Ｑ，Ｒは任意の論理式とする。
― 述語論理の公理系 ―
Ａ１：　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
Ａ２：（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
Ａ３：（～Ｐ→～Ｑ）→（（～Ｐ→Ｑ）→Ｐ）
Ａ４：∀ｘＰ［ｘ］→Ｐ［ｙ］
　　Ｐ［ｘ］はＰが論理変項ｘもつことを意味し、Ｐ［ｙ］はＰ［ｘ］のｘをｙにかえた論理式を意味する。
（長尾真・淵一博、論理と意味、1983年、５９頁）
然るに、
（02）
Ａ１：
１　　　　　（１）　　Ｐ　　　　　　Ａ
１　　　　　（２）　～Ｑ∨　Ｐ　　　Ａ
　３　　　　（３）　　Ｑ＆～Ｐ　　　Ａ
　　４　　　（４）　～Ｑ　　　　　　Ａ
　３　　　　（５）　　Ｑ　　　　　　３＆Ｅ
　３４　　　（６）　～Ｑ＆Ｑ　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（Ｑ＆～Ｐ）　　３６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　Ｐ　　　Ａ
　３　　　　（９）　　　　～Ｐ　　　３＆Ｅ
　３　８　　（ア）　　Ｐ＆～Ｐ　　　８９＆Ｉ
　　　８　　（イ）～（Ｑ＆～Ｐ）　　３アＲＡＡ
１　　　　　（ウ）～（Ｑ＆～Ｐ）　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　（エ）　　Ｑ　　　　　　Ａ
　　　　　カ（カ）　　　　～Ｐ　　　Ａ
　　　　エカ（キ）　　Ｑ＆～Ｐ　　　エカ＆Ｉ
１　　　エカ（ク）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
　　　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　イキ＆Ｉ
１　　　エ　（ケ）　　　～～Ｐ　　　カクＲＡＡ
１　　　エ　（コ）　　　　　Ｐ　　　ケＤＮ
１　　　　　（サ）　　　Ｑ→Ｐ　　　エコＣＰ
　　　　　　（シ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　　１サＣＰ
Ａ２：
１　　（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　Ａ
　　３（３）　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
１　３（４）　　　　Ｑ→Ｒ　　　　　　１３ＭＰＰ
　２３（５）　　　　Ｑ　　　　　　　　２３ＭＰＰ
１２３（６）          　Ｒ　　　　　　４５ＭＰＰ
１２　（７）　　　　　　Ｐ→Ｒ　　　　３６ＣＰ
１　　（８）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）　　２７ＣＰ
　　　（９）（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→
　　　　　（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））　１８ＣＰ
Ａ３：
１　　（１）　～Ｐ→～Ｑ　　　　Ａ
　２　（２）　～Ｐ→　Ｑ　　　　Ａ
　　３（３）　～Ｐ　　　　　　　Ａ
１　３（４）　　　　～Ｑ　　　　１３ＭＰＰ
　２３（５）　　　　　Ｑ　　　　２３ＭＰＰ
１２３（６）　　～Ｑ＆Ｑ　　　　４５＆
１２　（７）～～Ｐ　　　　　　　３６ＲＡＡ
１２　（８）　　Ｐ　　　　　　　７ＤＮ
１　　（９）（～Ｐ→Ｑ）→Ｐ
　　　（ア）（～Ｐ→～Ｑ）→
　　　　　（（～Ｐ→Ｑ）→Ｐ）　１９ＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
① ├  Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
② ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③ ├（～Ｐ→～Ｑ）→（（～Ｐ→Ｑ）→Ｐ）
といふ「連式」は、「妥当」である。
然るに、
（04）
定理とは仮定の数がゼロの証明可能な連式の結論である。― 中略 ―
興味のある定理の大ていのものは、事実上 ＣＰを適用することによって導かれる。たとえば、
３８　├ Ｐ→Ｐ
 １（１）Ｐ　Ａ
 　（２）Ｐ→Ｐ　１，１ＣＰ
（E.j.レモン 著、竹尾治一郎・楢英 訳、1973年、６４頁）
従って、
（04）により、
（05）
④ ├ Ｐ→Ｐ（同一律）
がさうであるやうに、
① ├  Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
② ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③ ├（～Ｐ→～Ｑ）→（（～Ｐ→Ｑ）→Ｐ）
といふ「仮定の数がゼロの証明可能な連式の結論」は、「３つとも、定理（恒真式）」である。
従って、
（01）（05）により、
（06）
― 述語論理の公理系 ―
Ａ１：　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
Ａ２：（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
Ａ３：（～Ｐ→～Ｑ）→（（～Ｐ→Ｑ）→Ｐ）
Ａ４：∀ｘＰ［ｘ］→Ｐ［ｙ］
といふ「述語論理の、４つの公理」の内の「３つ」は、「命題論理の恒真式」である。

（610）「苛政猛於虎也」の「否定」の「述語論理」。

（01）
夫子曰「少子識_レ之。苛政猛_二於虎_一也。」
夫子曰く「少子之を識せ。苛政は虎よりも猛なり。」と、
孔子は（門人たちにむかって）言った。「おまえたち、このことよく覚えておきなさい。きびしい政治は、（人間を食い殺す）虎よりも恐ろしものなのだ。」
（赤塚忠・遠藤哲夫、漢文の基礎、1973年、５２頁）
（02）
　―「含意の定義（公式）」と「ド・モルガンの法則（公式）」を用ひずに、わざと「複雑な計算」をします。―
（ⅰ）
１　　　　　　　　　　　（１）～∀ｘ∀ｙ｛（苛政ｘ＆虎ｙ）→　猛ｘｙ｝　　　　Ａ
１　　　　　　　　　　　（２）∃ｘ～∀ｙ｛（苛政ｘ＆虎ｙ）→　猛ｘｙ｝　　　　１量化子の関係
１　　　　　　　　　　　（３）∃ｘ∃ｙ～｛（苛政ｘ＆虎ｙ）→　猛ｘｙ｝　　　　２量化子の関係
　４　　　　　　　　　　（４）　　∃ｙ～｛（苛政ａ＆虎ｙ）→　猛ａｙ｝　　　　Ａ
　　５　　　　　　　　　（５）　　　　～｛（苛政ａ＆虎ｂ）→　猛ａｂ｝　　　　Ａ
　　　６　　　　　　　　（６）　　　　　～（苛政ａ＆虎ｂ）∨　猛ａｂ　　　　　Ａ
　　　　７　　　　　　　（７）　　　　　　（苛政ａ＆虎ｂ）＆～猛ａｂ　　　　　Ａ
　　　　　８　　　　　　（８）　　　　　～（苛政ａ＆虎ｂ）　　　　　　　　　　Ａ
　　　　７　　　　　　　（９）　　　　　　（苛政ａ＆虎ｂ）　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　　　７８　　　　　　（ア）　　　　　～（苛政ａ＆虎ｂ）＆（苛政ａ＆虎ｂ）　８９＆Ｉ
　　　　　８　　　　　　（イ）　　　　～｛（苛政ａ＆虎ｂ）＆～猛ａｂ｝　　　　７アＲＡＡ
　　　　　　ウ　　　　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　猛ａｂ　　　　　Ａ
　　　　７　　　　　　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　～猛ａｂ　　　　　７＆Ｅ
　　　　７　ウ　　　　　（オ）　　　　　　　　　　　猛ａｂ＆～猛ａｂ　　　　　ウエ＆Ｉ
　　　　　　ウ　　　　　（カ）　　　　～｛（苛政ａ＆虎ｂ）＆～猛ａｂ｝　　　　７オＲＡＡ
　　　６　　　　　　　　（キ）　　　　～｛（苛政ａ＆虎ｂ）＆～猛ａｂ｝　　　　６８イウカ∨Ｅ
　　　　　　　ク　　　　（ク）　　　　　　（苛政ａ＆虎ｂ）　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　　　ケ　　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　～猛ａｂ　　　　　Ａ
　　　　　　　クケ　　　（コ）　　　　　　（苛政ａ＆虎ｂ）＆～猛ａｂ　　　　　クケ＆Ｉ
　　　６　　　クケ　　　（サ）　　　　～｛（苛政ａ＆虎ｂ）＆～猛ａｂ｝＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｛（苛政ａ＆虎ｂ）＆～猛ａｂ｝　　　　キコ＆Ｉ
　　　６　　　ク　　　　（シ）　　　　　　　　　　　　　　～～猛ａｂ　　　　　ケサＲＡＡ
　　　６　　　ク　　　　（ス）　　　　　　　　　　　　　　　　猛ａｂ　　　　　クＲＡＡ
　　　６　　　　　　　　（セ）　　　　　　（苛政ａ＆虎ｂ）→　猛ａｂ　　　　　クスＣ（苛政ａ＆虎ｂ）
　　５６　　　　　　　　（ソ）　　　　～｛（苛政ａ＆虎ｂ）→　猛ａｂ｝＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｛（苛政ａ＆虎ｂ）→　猛ａｂ｝　　　　５セ＆Ｉ
　　５　　　　　　　　　（タ）　　　～｛～（苛政ａ＆虎ｂ）∨　猛ａｂ｝　　　　６ソＲＡＡ
　　　　　　　　　チ　　（チ）　　　　～｛（苛政ａ＆虎ｂ）＆～猛ａｂ｝　　　　Ａ
　　　　　　　　　　ツ　（ツ）　　　　　～（苛政ａ＆虎ｂ）　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　　　　　ツ　（テ）　　　　　～（苛政ａ＆虎ｂ）∨　猛ａｂ　　　　　ツ∨Ｉ
　　５　　　　　　　ツ　（ト）　　　　～｛（苛政ａ＆虎ｂ）∨　猛ａｂ｝＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｛（苛政ａ＆虎ｂ）∨　猛ａｂ｝　　　　タテ＆Ｉ
　　５　　　　　　　　　（ナ）　　　　～～（苛政ａ＆虎ｂ）　　　　　　　　　　ツトＲＡＡ
　　５　　　　　　　　　（ニ）　　　　　　（苛政ａ＆虎ｂ）　　　　　　　　　　ナＤＮ
　　　　　　　　　　　ヌ（ヌ）　　　　　　　　　　　　　　　　猛ａｂ　　　　　Ａ
　　　　　　　　　　　ヌ（ネ）　　　　　～（苛政ａ＆虎ｂ）∨　猛ａｂ　　　　　ヌ∨Ｉ
　　５　　　　　　　　ヌ（ノ）　　　　～｛（苛政ａ＆虎ｂ）∨　猛ａｂ｝＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｛（苛政ａ＆虎ｂ）∨　猛ａｂ｝　　　　タネ＆Ｉ
　　５　　　　　　　　　（ハ）　　　　　　　　　　　　　　　～猛ａｂ　　　　　ヌノＲＡＡ
　　５　　　　　　　　　（ヒ）　　　　　　（苛政ａ＆虎ｂ）＆～猛ａｂ　　　　　ニハ＆Ｉ
　　５　　　　　　チ　　（ヘ）　　　　～｛（苛政ａ＆虎ｂ）＆～猛ａｂ｝＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｛（苛政ａ＆虎ｂ）＆～猛ａｂ｝　　　　チヒ＆Ｉ
　　５　　　　　　　　　（ホ）　　　～～｛（苛政ａ＆虎ｂ）＆～猛ａｂ｝　　　　チヘＲＡＡ
　　５　　　　　　　　　（マ）　　　　　　（苛政ａ＆虎ｂ）＆～猛ａｂ　　　　　ホＤＮ
　　５　　　　　　　　　（ミ）　　　∃ｙ｛（苛政ａ＆虎ｙ）＆～猛ａｙ｝　　　　５ＥＩ
　４　　　　　　　　　　（メ）　　　∃ｙ｛（苛政ａ＆虎ｙ）＆～猛ａｙ｝　　　　４５ミＥＥ
　４　　　　　　　　　　（モ）　∃ｘ∃ｙ｛（苛政ｘ＆虎ｙ）＆～猛ｘｙ｝　　　　メＥＩ
１　　　　　　　　　　　（ヤ）　∃ｘ∃ｙ｛（苛政ｘ＆虎ｙ）＆～猛ｘｙ｝　　　　１４モＥＥ
（03）
　―「普通」に「計算」します。―
（ⅱ）
１　　　（１）　∃ｘ∃ｙ｛（苛政ｘ＆虎ｙ）＆～猛ｘｙ｝　Ａ
　２　　（２）　　　∃ｙ｛（苛政ａ＆虎ｙ）＆～猛ａｙ｝　Ａ
　　３　（３）　　　　　　（苛政ａ＆虎ｂ）＆～猛ａｂ　　Ａ
　　　４（４）　　　　　　（苛政ａ＆虎ｂ）→　猛ａｂ　　Ａ
　　３　（５）　　　　　　（苛政ａ＆虎ｂ）　　　　　　　３＆Ｉ
　　３４（６）　　　　　　　　　　　　　　　　猛ａｂ　　４５ＭＰＰ
　　３　（７）　　　　　　　　　　　　　　　～猛ａｂ　　３＆Ｅ　
　　３４（８）　　　　　　　　　　　猛ａｂ＆～猛ａｂ　　６７＆Ｉ
　　３　（９）　　　　～｛（苛政ａ＆虎ｂ）→　猛ａｂ｝　４８ＲＡＡ
　　３　（ア）　　∃ｙ～｛（苛政ａ＆虎ｙ）→　猛ａｙ｝　９ＥＩ
　２　　（イ）　　∃ｙ～｛（苛政ａ＆虎ｙ）→　猛ａｙ｝　２３アＥＥ
　２　　（ウ）∃ｘ∃ｙ～｛（苛政ｘ＆虎ｙ）→　猛ｘｙ｝　イＥＩ
１　　　（エ）∃ｘ∃ｙ～｛（苛政ｘ＆虎ｙ）→　猛ｘｙ｝　１２ウＥＥ
１　　　（オ）∃ｘ～∀ｙ｛（苛政ｘ＆虎ｙ）→　猛ｘｙ｝　エ量化子の関係
１　　　（カ）～∀ｘ∀ｙ｛（苛政ｘ＆虎ｙ）→　猛ｘｙ｝　オ量化子の関係
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ～∀ｘ∀ｙ｛（苛政ｘ＆虎ｙ）→　猛ｘｙ｝
②   ∃ｘ∃ｙ｛（苛政ｘ＆虎ｙ）＆～猛ｘｙ｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘとすべてのｙについて｛ｘが苛政であってｙが虎であるならば、ｘはｙよりも猛である。｝といふことはない。
② 　　あるｘと　　あるｙについて｛ｘは苛政であってｙは虎であって、　　ｘはｙよりも猛ではない。｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① ～（苛政は虎よりも猛なり。）
② （ある苛政は、必ずしも、虎よりも猛ではない。）
に於いて、
①＝② である。
（06）
　―「計算（02）」を、「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」を用ゐて行ふと、次のやうに「簡単」になります。―
（ⅰ）
１　　（１）～∀ｘ∀ｙ｛　（苛政ｘ＆虎ｙ）→　猛ｘｙ｝　Ａ
１　　（２）∃ｘ～∀ｙ｛　（苛政ｘ＆虎ｙ）→　猛ｘｙ｝　１量化子の関係
１　　（３）∃ｘ∃ｙ～｛　（苛政ｘ＆虎ｙ）→　猛ｘｙ｝　２量化子の関係
　４　（４）　　∃ｙ～｛　（苛政ａ＆虎ｙ）→　猛ａｙ｝　Ａ
　　５（５）　　　　～｛　（苛政ａ＆虎ｂ）→　猛ａｂ｝　Ａ
　　５（６）　　　　～｛～（苛政ａ＆虎ｂ）∨　猛ａｂ｝　５含意の定義
　　５（７）　　　　　　　（苛政ａ＆虎ｂ）＆～猛ａｂ　　６ド・モルガンの法則
　　５（８）　　　　∃ｙ｛（苛政ａ＆虎ｙ）＆～猛ａｙ｝　７ＥＩ
　４　（９）　　　　∃ｙ｛（苛政ａ＆虎ｙ）＆～猛ａｙ｝　４５８ＥＥ
　４　（ア）　　∃ｘ∃ｙ｛（苛政ｘ＆虎ｙ）＆～猛ｘｙ｝　９ＥＩ
１　　（イ）　　∃ｘ∃ｙ｛（苛政ｘ＆虎ｙ）＆～猛ｘｙ｝　１４アＥＥ
（07）
（ⅰ）
１　　（１）～∀ｘ∀ｙ｛　（苛政ｘ＆虎ｙ）→　猛ｘｙ｝　Ａ
１　　（２）∃ｘ～∀ｙ｛　（苛政ｘ＆虎ｙ）→　猛ｘｙ｝　１量化子の関係
１　　（３）∃ｘ∃ｙ～｛　（苛政ｘ＆虎ｙ）→　猛ｘｙ｝　２量化子の関係
　４　（４）　　∃ｙ～｛　（苛政ａ＆虎ｙ）→　猛ａｙ｝　Ａ
　　５（５）　　　　～｛　（苛政ａ＆虎ｂ）→　猛ａｂ｝　Ａ
　　５（６）　　　　～｛～（苛政ａ＆虎ｂ）∨　猛ａｂ｝　５含意の定義
　　５（７）　　　　　　　（苛政ａ＆虎ｂ）＆～猛ａｂ　　６ド・モルガンの法則
　　５（８）　　　　∃ｙ｛（苛政ａ＆虎ｙ）＆～猛ａｙ｝　７ＥＩ
　４　（９）　　　　∃ｙ｛（苛政ａ＆虎ｙ）＆～猛ａｙ｝　４５８ＥＥ
　４　（ア）　　∃ｘ∃ｙ｛（苛政ｘ＆虎ｙ）＆～猛ｘｙ｝　９ＥＩ
１　　（イ）　　∃ｘ∃ｙ｛（苛政ｘ＆虎ｙ）＆～猛ｘｙ｝　１４アＥＥ
といふ「計算」の、
　　５（５）　　　　～｛　（苛政ａ＆虎ｂ）→　猛ａｂ｝　Ａ
　　５（６）　　　　～｛～（苛政ａ＆虎ｂ）∨　猛ａｂ｝　５含意の定義
　　５（７）　　　　　　　（苛政ａ＆虎ｂ）＆～猛ａｂ　　６ド・モルガンの法則
の「部分」は、
　　５（５）　　　　～｛　（Ｐ＆Ｑ）→　Ｒ｝　Ａ
　　５（６）　　　　～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｒ｝　５含意の定義
　　５（７）　　　　　　　（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ　　６ド・モルガンの法則
と「同じ」であるため、実質的には、「述語計算」ではなく、「命題計算」である。
従って、
（07）により、
（08）
「述語計算の基礎」にあるのは、「命題計算」であって、そのため、「述語論理」は「命題論理の拡張」である。