(01)
述語論理の公理系は次のように与えられる。ここにP,Q,Rは任意の論理式とする。
― 述語論理の公理系 ―
A1: P→(Q→P)
A2:(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
A3:(~P→~Q)→((~P→Q)→P)
A4:∀xP[x]→P[y]
P[x]はPが論理変項xもつことを意味し、P[y]はP[x]のxをyにかえた論理式を意味する。
(長尾真・淵一博、論理と意味、1983年、59頁)
然るに、
(02)
A1:
1 (1) P A
1 (2) ~Q∨ P A
3 (3) Q&~P A
4 (4) ~Q A
3 (5) Q 3&E
34 (6) ~Q&Q 45&I
4 (7)~(Q&~P) 36RAA
8 (8) P A
3 (9) ~P 3&E
3 8 (ア) P&~P 89&I
8 (イ)~(Q&~P) 3アRAA
1 (ウ)~(Q&~P) 2478イ∨E
エ (エ) Q A
カ(カ) ~P A
エカ(キ) Q&~P エカ&I
1 エカ(ク)~(Q&~P)&
(Q&~P) イキ&I
1 エ (ケ) ~~P カクRAA
1 エ (コ) P ケDN
1 (サ) Q→P エコCP
(シ)P→(Q→P) 1サCP
A2:
1 (1) P→(Q→R) A
2 (2) P→ Q A
3(3) P A
1 3(4) Q→R 13MPP
23(5) Q 23MPP
123(6) R 45MPP
12 (7) P→R 36CP
1 (8)(P→Q)→(P→R) 27CP
(9)(P→(Q→R))→
((P→Q)→(P→R)) 18CP
A3:
1 (1) ~P→~Q A
2 (2) ~P→ Q A
3(3) ~P A
1 3(4) ~Q 13MPP
23(5) Q 23MPP
123(6) ~Q&Q 45&
12 (7)~~P 36RAA
12 (8) P 7DN
1 (9)(~P→Q)→P
(ア)(~P→~Q)→
((~P→Q)→P) 19CP
従って、
(02)により、
(03)
① ├ P→(Q→P)
② ├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
③ ├(~P→~Q)→((~P→Q)→P)
といふ「連式」は、「妥当」である。
然るに、
(04)
定理とは仮定の数がゼロの証明可能な連式の結論である。― 中略 ―
興味のある定理の大ていのものは、事実上 CPを適用することによって導かれる。たとえば、
38 ├ P→P
1(1)P A
(2)P→P 1,1CP
(E.j.レモン 著、竹尾治一郎・楢英 訳、1973年、64頁)
従って、
(04)により、
(05)
④ ├ P→P(同一律)
がさうであるやうに、
① ├ P→(Q→P)
② ├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
③ ├(~P→~Q)→((~P→Q)→P)
といふ「仮定の数がゼロの証明可能な連式の結論」は、「3つとも、定理(恒真式)」である。
従って、
(01)(05)により、
(06)
― 述語論理の公理系 ―
A1: P→(Q→P)
A2:(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
A3:(~P→~Q)→((~P→Q)→P)
A4:∀xP[x]→P[y]
といふ「述語論理の、4つの公理」の内の「3つ」は、「命題論理の恒真式」である。
(01)
夫子曰「少子識レ之。苛政猛二於虎一也。」
夫子曰く「少子之を識せ。苛政は虎よりも猛なり。」と、
孔子は(門人たちにむかって)言った。「おまえたち、このことよく覚えておきなさい。きびしい政治は、(人間を食い殺す)虎よりも恐ろしものなのだ。」
(赤塚忠・遠藤哲夫、漢文の基礎、1973年、52頁)
(02)
―「含意の定義(公式)」と「ド・モルガンの法則(公式)」を用ひずに、わざと「複雑な計算」をします。―
(ⅰ)
1 (1)~∀x∀y{(苛政x&虎y)→ 猛xy} A
1 (2)∃x~∀y{(苛政x&虎y)→ 猛xy} 1量化子の関係
1 (3)∃x∃y~{(苛政x&虎y)→ 猛xy} 2量化子の関係
4 (4) ∃y~{(苛政a&虎y)→ 猛ay} A
5 (5) ~{(苛政a&虎b)→ 猛ab} A
6 (6) ~(苛政a&虎b)∨ 猛ab A
7 (7) (苛政a&虎b)&~猛ab A
8 (8) ~(苛政a&虎b) A
7 (9) (苛政a&虎b) 7&E
78 (ア) ~(苛政a&虎b)&(苛政a&虎b) 89&I
8 (イ) ~{(苛政a&虎b)&~猛ab} 7アRAA
ウ (ウ) 猛ab A
7 (エ) ~猛ab 7&E
7 ウ (オ) 猛ab&~猛ab ウエ&I
ウ (カ) ~{(苛政a&虎b)&~猛ab} 7オRAA
6 (キ) ~{(苛政a&虎b)&~猛ab} 68イウカ∨E
ク (ク) (苛政a&虎b) A
ケ (ケ) ~猛ab A
クケ (コ) (苛政a&虎b)&~猛ab クケ&I
6 クケ (サ) ~{(苛政a&虎b)&~猛ab}&
{(苛政a&虎b)&~猛ab} キコ&I
6 ク (シ) ~~猛ab ケサRAA
6 ク (ス) 猛ab クRAA
6 (セ) (苛政a&虎b)→ 猛ab クスC(苛政a&虎b)
56 (ソ) ~{(苛政a&虎b)→ 猛ab}&
{(苛政a&虎b)→ 猛ab} 5セ&I
5 (タ) ~{~(苛政a&虎b)∨ 猛ab} 6ソRAA
チ (チ) ~{(苛政a&虎b)&~猛ab} A
ツ (ツ) ~(苛政a&虎b) A
ツ (テ) ~(苛政a&虎b)∨ 猛ab ツ∨I
5 ツ (ト) ~{(苛政a&虎b)∨ 猛ab}&
{(苛政a&虎b)∨ 猛ab} タテ&I
5 (ナ) ~~(苛政a&虎b) ツトRAA
5 (ニ) (苛政a&虎b) ナDN
ヌ(ヌ) 猛ab A
ヌ(ネ) ~(苛政a&虎b)∨ 猛ab ヌ∨I
5 ヌ(ノ) ~{(苛政a&虎b)∨ 猛ab}&
{(苛政a&虎b)∨ 猛ab} タネ&I
5 (ハ) ~猛ab ヌノRAA
5 (ヒ) (苛政a&虎b)&~猛ab ニハ&I
5 チ (ヘ) ~{(苛政a&虎b)&~猛ab}&
{(苛政a&虎b)&~猛ab} チヒ&I
5 (ホ) ~~{(苛政a&虎b)&~猛ab} チヘRAA
5 (マ) (苛政a&虎b)&~猛ab ホDN
5 (ミ) ∃y{(苛政a&虎y)&~猛ay} 5EI
4 (メ) ∃y{(苛政a&虎y)&~猛ay} 45ミEE
4 (モ) ∃x∃y{(苛政x&虎y)&~猛xy} メEI
1 (ヤ) ∃x∃y{(苛政x&虎y)&~猛xy} 14モEE
(03)
―「普通」に「計算」します。―
(ⅱ)
1 (1) ∃x∃y{(苛政x&虎y)&~猛xy} A
2 (2) ∃y{(苛政a&虎y)&~猛ay} A
3 (3) (苛政a&虎b)&~猛ab A
4(4) (苛政a&虎b)→ 猛ab A
3 (5) (苛政a&虎b) 3&I
34(6) 猛ab 45MPP
3 (7) ~猛ab 3&E
34(8) 猛ab&~猛ab 67&I
3 (9) ~{(苛政a&虎b)→ 猛ab} 48RAA
3 (ア) ∃y~{(苛政a&虎y)→ 猛ay} 9EI
2 (イ) ∃y~{(苛政a&虎y)→ 猛ay} 23アEE
2 (ウ)∃x∃y~{(苛政x&虎y)→ 猛xy} イEI
1 (エ)∃x∃y~{(苛政x&虎y)→ 猛xy} 12ウEE
1 (オ)∃x~∀y{(苛政x&虎y)→ 猛xy} エ量化子の関係
1 (カ)~∀x∀y{(苛政x&虎y)→ 猛xy} オ量化子の関係
従って、
(02)(03)により、
(04)
① ~∀x∀y{(苛政x&虎y)→ 猛xy}
② ∃x∃y{(苛政x&虎y)&~猛xy}
に於いて、すなはち、
① すべてのxとすべてのyについて{xが苛政であってyが虎であるならば、xはyよりも猛である。}といふことはない。
② あるxと あるyについて{xは苛政であってyは虎であって、 xはyよりも猛ではない。}
に於いて、
①=② である。
従って、
(01)~(04)により、
(05)
① ~(苛政は虎よりも猛なり。)
② (ある苛政は、必ずしも、虎よりも猛ではない。)
に於いて、
①=② である。
(06)
―「計算(02)」を、「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」を用ゐて行ふと、次のやうに「簡単」になります。―
(ⅰ)
1 (1)~∀x∀y{ (苛政x&虎y)→ 猛xy} A
1 (2)∃x~∀y{ (苛政x&虎y)→ 猛xy} 1量化子の関係
1 (3)∃x∃y~{ (苛政x&虎y)→ 猛xy} 2量化子の関係
4 (4) ∃y~{ (苛政a&虎y)→ 猛ay} A
5(5) ~{ (苛政a&虎b)→ 猛ab} A
5(6) ~{~(苛政a&虎b)∨ 猛ab} 5含意の定義
5(7) (苛政a&虎b)&~猛ab 6ド・モルガンの法則
5(8) ∃y{(苛政a&虎y)&~猛ay} 7EI
4 (9) ∃y{(苛政a&虎y)&~猛ay} 458EE
4 (ア) ∃x∃y{(苛政x&虎y)&~猛xy} 9EI
1 (イ) ∃x∃y{(苛政x&虎y)&~猛xy} 14アEE
(07)
(ⅰ)
1 (1)~∀x∀y{ (苛政x&虎y)→ 猛xy} A
1 (2)∃x~∀y{ (苛政x&虎y)→ 猛xy} 1量化子の関係
1 (3)∃x∃y~{ (苛政x&虎y)→ 猛xy} 2量化子の関係
4 (4) ∃y~{ (苛政a&虎y)→ 猛ay} A
5(5) ~{ (苛政a&虎b)→ 猛ab} A
5(6) ~{~(苛政a&虎b)∨ 猛ab} 5含意の定義
5(7) (苛政a&虎b)&~猛ab 6ド・モルガンの法則
5(8) ∃y{(苛政a&虎y)&~猛ay} 7EI
4 (9) ∃y{(苛政a&虎y)&~猛ay} 458EE
4 (ア) ∃x∃y{(苛政x&虎y)&~猛xy} 9EI
1 (イ) ∃x∃y{(苛政x&虎y)&~猛xy} 14アEE
といふ「計算」の、
5(5) ~{ (苛政a&虎b)→ 猛ab} A
5(6) ~{~(苛政a&虎b)∨ 猛ab} 5含意の定義
5(7) (苛政a&虎b)&~猛ab 6ド・モルガンの法則
の「部分」は、
5(5) ~{ (P&Q)→ R} A
5(6) ~{~(P&Q)∨ R} 5含意の定義
5(7) (P&Q)&~R 6ド・モルガンの法則
と「同じ」であるため、実質的には、「述語計算」ではなく、「命題計算」である。
従って、
(07)により、
(08)
「述語計算の基礎」にあるのは、「命題計算」であって、そのため、「述語論理」は「命題論理の拡張」である。