（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
３ （４） ～Ｐ Ａ
１ ３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆ Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） Ｑ １＆Ｅ
７（８） ～Ｑ Ａ
１ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア） ～（Ｐ＆ Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ） ～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
１２ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）＆
～（Ｐ＆ Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～（～Ｐ∨～Ｑ） ２ウＲＡＡ
２ （〃） ～（Ｐ＆ Ｑ） １ウＲＡＡ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ＆ Ｑ
② ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
① と ② は、「矛盾」する。
然るに、
（03）
① Ｐ＆ Ｑ
② ～Ｐ∨～Ｑ
のやうに、「２つの命題が矛盾」する場合、「その、どちらか一方を否定」すると、「両者の真理値は、同値」になる。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）～（ Ｐ＆ Ｑ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（ⅱ） （ Ｐ＆ Ｑ）⇔ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）～（ Ｐ＆ Ｑ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（ⅱ） （ Ｐ＆ Ｑ）⇔ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
（ⅲ）～（～Ｐ＆ Ｑ）⇔ ～～Ｐ∨～Ｑ
（ⅳ） （～Ｐ＆ Ｑ）⇔ ～（～～Ｐ∨～Ｑ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（05）により、
（06）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
（ⅲ）～（～Ｐ＆ Ｑ）⇔ Ｐ∨～Ｑ
（ⅳ） （～Ｐ＆ Ｑ）⇔ ～（ Ｐ∨～Ｑ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（06）により、
（07）
（ⅲ）～（～Ｐ＆ Ｑ）⇔ Ｐ∨～Ｑ
（ⅳ） （～Ｐ＆ Ｑ）⇔ ～（ Ｐ∨～Ｑ）
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
（ⅴ）～（～～Ｐ＆～Ｑ）⇔ ～Ｐ∨～～Ｑ
（ⅵ） （～～Ｐ＆～Ｑ）⇔ ～（～Ｐ∨～～Ｑ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（07）により、
（08）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
（ⅴ）～（ Ｐ＆～Ｑ）⇔ ～Ｐ∨ Ｑ
（ⅵ） （ Ｐ＆～Ｑ）⇔ ～（～Ｐ∨ Ｑ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（08）により、
（09）
（ⅴ）～（ Ｐ＆～Ｑ）⇔ ～Ｐ∨ Ｑ
（ⅵ） （ Ｐ＆～Ｑ）⇔ ～（～Ｐ∨ Ｑ）
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
（ⅶ）～（～Ｐ＆～Ｑ）⇔ ～～Ｐ∨ Ｑ
（ⅷ） （～Ｐ＆～Ｑ）⇔ ～（～～Ｐ∨ Ｑ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（09）により、
（10）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
（ⅶ）～（～Ｐ＆～Ｑ）⇔ Ｐ∨ Ｑ
（ⅷ） （～Ｐ＆～Ｑ）⇔ ～（ Ｐ∨ Ｑ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（01）～（10）により、
（11）
① ～（ Ｐ＆ Ｑ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
② Ｐ＆ Ｑ ⇔ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
③ ～（～Ｐ＆ Ｑ）⇔ Ｐ∨～Ｑ
④ ～Ｐ＆ Ｑ ⇔ ～（ Ｐ∨～Ｑ）
⑤ ～（ Ｐ＆～Ｑ）⇔ ～Ｐ∨ Ｑ
⑥ Ｐ＆～Ｑ ⇔ ～（～Ｐ∨ Ｑ）
⑦ ～（～Ｐ＆～Ｑ）⇔ Ｐ∨ Ｑ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ ⇔ ～（ Ｐ∨ Ｑ）
といふ「８つの等式（ド・モルガンの法則）」が成立する。
然るに、
（12）
（ａ）
１ （１）～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
２（２） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２（５） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ４∨Ｉ
１２（６）～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＆
（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） １５＆
１ （７） ～Ｐ ２６ＲＡＡ
２（８） Ｑ ２＆Ｅ
２（９） Ｐ∨ Ｑ ８∨Ｉ
２（ア） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ９∨Ｉ
１２（イ）～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＆
（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） １ア＆Ｉ
１ （ウ） ～Ｑ ２イＲＡＡ
２（エ） Ｒ ２＆Ｅ
２（オ） Ｑ∨ Ｒ エ∨Ｉ
２（カ） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
１２（キ）～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＆
（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） １カ＆Ｉ
１ （ク） ～Ｒ ２キＲＡＡ
１ （ケ） ～Ｐ＆～Ｑ ７ウ＆Ｉ
１ （コ） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ クケ＆Ｉ
（ｂ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ Ａ
２ （３） Ｐ∨（Ｑ∨ Ｒ） ２結合法則
４ （４） Ｐ Ａ
１ （５） ～Ｐ １＆Ｅ
１ ４ （６） Ｐ＆～Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ∨ Ｒ Ａ
９ （９） Ｑ Ａ
１ （ア） ～Ｑ １＆Ｅ
１ ９ （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １イＲＡＡ
エ（エ） Ｒ Ａ
１ （オ） ～Ｒ １＆Ｅ
１ エ（カ） Ｒ＆～Ｒ オエ＆Ｉ
エ（キ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １カＲＡＡ
８ （ク）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ８９ウエキ∨Ｅ
２ （ケ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ３４７８ク∨Ｅ
１２ （コ） （～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １ケ＆Ｉ
１ （サ） ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２コＲＡＡ
従って、
（03）（12）により、
（13）
⑨ ～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑩ Ｐ∨Ｑ∨Ｒ ⇔ ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）
といふ「等式」 も、「ド・モルガンの法則」と言ふに、違ひない。
然るに、
（14）
（ｃ）
１ （１）～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝ Ａ
１ （２） ～（～Ｐ＆～Ｑ）＆ Ｒ １ド・モルガンの法則
１ （３） ～（～Ｐ＆～Ｑ） ２＆Ｅ
１ （４） Ｐ∨ Ｑ ３ド・モルガンの法則
１ （５） Ｒ ２＆Ｅ
１ （６） （Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ ４５＆Ｉ
（ｄ）
１ （１） （Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ Ａ
２ （２） （～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ Ａ
１ （３） （Ｐ∨ Ｑ） １＆Ｅ
４ （４） （～Ｐ＆～Ｑ） Ａ
４ （５） ～（Ｐ∨ Ｑ） ４ド・モルガンの法則
１ ４ （６） （Ｐ∨ Ｑ）＆
～（Ｐ∨ Ｑ） ３５＆Ｉ
４ （７） ～｛（Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ｝ １６ＲＡＡ
１ （８） Ｒ １＆Ｅ
９（９） ～Ｒ Ａ
１ ９（ア） Ｒ＆～Ｒ ８９＆Ｉ
９（イ） ～｛（Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ｝ １アＲＡＡ
２ （ウ） ～｛（Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ｝ ２４７９イ∨Ｉ
１２ （エ） ｛（Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ｝＆
～｛（Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ｝ １ウ＆Ｉ
１ （オ）～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝ ２エＲＡＡ
従って、
（03）（14）により、
（15）
⑪ ～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝⇔ （Ｐ∨Ｑ）＆Ｒ
⑫ ｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝⇔ ～｛（Ｐ∨Ｑ）＆Ｒ｝
といふ「等式」 も、「ド・モルガンの法則」と言ふに、違ひない。
然るに、
（16）
（ｅ）
１ （１）～｛～Ｐ＆ （～Ｑ∨～Ｒ）｝ Ａ
１ （２） Ｐ∨～（～Ｑ∨～Ｒ） １ド・モルガンの法則
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ （ Ｑ＆ Ｒ） ３∨Ｉ
５（５） ～（～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
５（６） Ｑ＆ Ｒ ５ド・モルガンの法則
５（７） Ｐ∨ （ Ｑ＆ Ｒ） ５∨Ｉ
１ （８） Ｐ∨ （ Ｑ＆ Ｒ） ２３４５７∨Ｅ
（ｆ）
１ （１） ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ） Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ（２選言項左）
１ ４ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６）～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ １５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｑ∨～Ｒ １＆Ｅ
８ （８） Ｑ＆ Ｒ Ａ（２選言項右）
９ （９） ～Ｑ Ａ（７選言項左）
８ （ア） Ｑ ８＆Ｅ
８９ （イ） ～Ｑ＆Ｑ ９ア
９ （ウ） ～（Ｑ＆ Ｒ） ８イＲＡＡ
エ（エ） ～Ｒ Ａ（７選言項右）
８ （オ） Ｒ ８＆Ｅ
８ エ（カ） ～Ｒ＆Ｒ エオ＆Ｉ
エ（キ） ～（Ｑ＆ Ｒ） ８カＲＡＡ
１ （ク） ～（Ｑ＆ Ｒ） ７９ウエキ∨Ｉ
１ ８ （ケ） Ｑ＆ Ｒ）＆
～（Ｑ＆ Ｒ） ８ク＆Ｉ
８ （コ）～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ １ケＲＡＡ
２ （サ）～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ ２４６８コ∨Ｉ
１２ （シ） ｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝＆
～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ １サ＆Ｉ
２ （ス）～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ １シＲＡＡ
従って、
（03）（16）により、
（17）
⑬ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝⇔ Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）
⑭ ｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝⇔ ～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝
といふ「等式」 も、「ド・モルガンの法則」と言ふに、違ひない。
従って、
（15）（17）により、
（18）
いづれにせよ、
⑪ ～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝⇔ （Ｐ∨Ｑ）＆Ｒ
⑫ ｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝⇔ ～｛（Ｐ∨Ｑ）＆Ｒ｝
⑬ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝⇔ Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）
⑭ ｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝⇔ ～｛Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）｝
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（18）により、
（19）
「計算の結果」だけからすれば、
⑫（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ
⑬ ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）
に於ける、「括弧の位置」を、「区別」する「必要」はない。
従って、
（18）（19）により、
（20）
⑪ ～（～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ）⇔ Ｐ∨Ｑ＆Ｒ
⑫ ～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ ⇔ ～（Ｐ∨Ｑ＆Ｒ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（11）（13）（22）により、
（21）
① ～（ Ｐ＆ Ｑ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
② Ｐ＆ Ｑ ⇔ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
③ ～（～Ｐ＆ Ｑ）⇔ Ｐ∨～Ｑ
④ ～Ｐ＆ Ｑ ⇔ ～（ Ｐ∨～Ｑ）
⑤ ～（ Ｐ＆～Ｑ）⇔ ～Ｐ∨ Ｑ
⑥ Ｐ＆～Ｑ ⇔ ～（～Ｐ∨ Ｑ）
⑦ ～（～Ｐ＆～Ｑ）⇔ Ｐ∨ Ｑ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ ⇔ ～（ Ｐ∨ Ｑ）
⑨ ～（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑩ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ⇔ ～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）
⑪ ～（～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ）⇔ Ｐ∨ Ｑ＆ Ｒ
⑫ ～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ ⇔ ～（ Ｐ∨ Ｑ＆ Ｒ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（21）により、
（22）
（ⅰ）「（ ）の前にある、～を除くと、（ ）も除かれ、□は、～□に変はり、～□は、□に変はり、＆は、∨に変はり、∨は、＆に変はる。」
（ⅱ）「連言命題、選言命題、連言・選言命題を、（ ）で括り、その（ ）の前の～を置くと、□は、～□に変はり、～□は、□に変はり、＆は、∨に変はり、＆は、∨に変はる。」
といふ「規則」を、「ド・モルガンの法則」といふのであれば、「（21）の１２個の等式」は、「ド・モルガンの法則」である。