(01)
① P&(Q∨R)
②(P&Q)∨(P&R)
に於いて、
P=偽
であるならば、
① は「偽」である。
② も「偽」である。
(02)
① P&(Q∨R)
②(P&Q)∨(P&R)
に於いて、
P=真
であって、
Q=真
であるならば、
① は「真」である。
② も「真」である。
(03)
① P&(Q∨R)
②(P&Q)∨(P&R)
に於いて、
P=真
であって、
R=真
であるならば、
① は「真」である。
② も「真」である。
(04)
① P&(Q∨R)
②(P&Q)∨(P&R)
に於いて、
P=真
であって、
Q=真
R=真
であるならば、
① は「真」である。
② も「真」である。
従って、
(01)~(04)により、
(05)
① P&(Q∨R)
②(P&Q)∨(P&R)
に於いて、
① が「偽」であれば、
② も「偽」であり、
① が「真」であれば、
② も「真」である。
従って、
(05)により、
(06)
① P&(Q∨R)
②(P&Q)∨(P&R)
に於いて、
①=② である。
といふ、「命題の分配法則」は、「正しい」。
従って、
(07)
P=(xは集合Aの要素である。)
Q=(xは集合Bの要素である。)
R=(xは集合Cの要素である。)
とするならば、
① xはAであって(xはBであるか、または、xはCである)。
②(xはAであってBである)か、または(xはAであってCである)。
といふ「命題関数」に於いて、
①=② である。
従って、
(06)(07)により、
(08)
① A∩(B∪C)
②(A∩B)∪(A∩C)
に於いて、
①=② である。
といふ、「集合の分配法則」も、「正しい」。
然るに、
(09)
(ⅰ)
1 (1) P&(Q∨R) A
1 (2) P 1&E
1 (3) Q∨R 1&E
4 (4) Q A
14 (5) P&Q 23&I
14 (6)(P&Q)∨(P&R) 5∨I
7(7) R A
1 7(8) P&R 27
1 7(9)(P&Q)∨(P&R) 8∨I
1 (ア)(P&Q)∨(P&R) 34679∨E
(ⅱ)
1 (1)(P&Q)∨(P&R) A
2 (2) P&Q A
2 (3) P 2&E
2 (4) Q 2&E
2 (5) Q∨R 4∨I
2 (6)P&(Q∨R) 35&I
7(7) P&R A
7(8) P 7&E
7(9) R 7&E
7(ア) Q∨R 9∨I
7(イ) P&(Q∨R) 8ア&I
1 (ウ) P&(Q∨R) 1267イ∨E
従って、
(09)により、
(10)
① P&(Q∨R)
②(P&Q)∨(P&R)
に於いて、
①=② である。
といふ、「命題の分配法則」は、「命題計算」としても「正しい」。
然るに、
(11)
(ⅲ)
1 (1)~{P& (Q∨R)} A
1 (2) ~P∨~(Q∨R) 1ド・モルガンの法則
1 (3) P→~(Q∨R) 2含意の定義
4(4) P A
14(5) ~(Q∨R) 34MPP
14(6) ~Q&~R 5ド・モルガンの法則
1 (7) P→(~Q&~R) 46CP
1 (8) ~P∨(~Q&~R) 7含意の定義
(ⅴ)
1 (1) ~P∨(~Q&~R) 7含意の定義
1 (2) P→(~Q&~R) 1含意の定義
3(3) P A
13(4) ~Q&~R 23MPP
13(5) ~(Q∨R) 4ド・モルガンの法則
1 (6) P→~(Q∨R) 35CP
1 (7) ~P∨~(Q∨R) 6含意の定義
1 (8)~{P& (Q∨R)} 7ド・モルガンの法則
従って、
(11)により、
(12)
③ ~{P& (Q∨R)}
⑤ ~P∨(~Q&~R)
に於いて、
③=⑤ である。
然るに、
(13)
(ⅳ)
1 (1)~{(P&Q)∨ (P&R)} A
1 (2) ~(P&Q)&~(P&R) 1ド・モルガンの法則
1 (3) ~(P&Q) 2&E
1 (4) ~P∨~Q 3ド・モルガンの法則
1 (5) P→~Q 4含意の定義
1 (6) ~(P&R) 2&E
1 (7) ~P∨~R 6ド・モルガンの法則
1 (8) P→~R 7含意の定義
9(9) P A
19(ア) ~Q 59MPP
19(イ) ~R 89MPP
19(ウ) ~Q&~R アイ&I
1 (エ) P→(~Q&~R) 9ウCP
1 (オ)~P∨(~Q&~R) エ含意の定義
(ⅴ)
1 (1)~P∨(~Q&~R) A
1 (2) P→(~Q&~R) 1含意の定義
3(3) P A
13(4) ~Q&~R 23MPP
13(5) ~Q 4&E
1 (6) P→~Q 35CP
1 (7)~P∨~Q 6含意の定義
1 (8)~(P&Q) 7ド・モルガンの法則
13(9) ~R 4&E
1 (ア) P→~R 39CP
1 (イ) ~P∨~R ア含意の定義
1 (ウ) ~(P&R) イ、ド・モルガンの法則
1 (エ)~(P&Q)&~(P&R) 8ウ&I
1 (オ)~{(P&Q)∨(P&R)} エ、ド・モルガンの法則
従って、
(13)により、
(14)
④ ~{(P&Q)∨(P&R)}
⑤ ~P∨(~Q&~R)
に於いて、
④=⑤ である。
従って、
(12)(14)により、
(15)
③ ~{P&(Q∨R)}
④ ~{(P&Q)∨(P&R)}
⑤ ~P∨(~Q&~R)
に於いて、
③=④=⑤ である。
従って、
(10)(15)により、
(16)
① P&(Q∨R)
②(P&Q)∨(P&R)
に於いて、
①=② であるため、
① の「否定」と、
② の「否定」は、両方とも、
⑤ ~P∨(~Q&~R)
である。
従って、
(16)により、
(17)
① P&( Q∨ R)
⑤ ~P∨(~Q&~R)
に於いて、
① と ⑤ は「矛盾」する。
然るに、
(18)
「含意の定義」により、
① P&( Q∨ R)
⑤ P→(~Q&~R)
に於いて、
①=⑤ である。
従って、
(17)(18)により、
(19)
① P&( Q∨ R)
⑤ P→(~Q&~R)
に於いて、
① と ⑤ は「矛盾」する。
然るに、
(20)
1 (1) P&( Q∨ R) A
2 (2) P→(~Q&~R) A
1 (3) P 1&E
12 (4) ~Q&~R 23MPP
1 (5) Q∨ R 1&E
6 (6) Q A
12 (7) ~Q 4&E
126 (8) Q&~Q 67&I
26 (9)~{P&( Q∨ R)} 18RAA
ア(ア) R A
12 (イ) ~R 4&E
12 ア(ウ) R&~R アイ&I
2 ア(エ)~{P&( Q∨ R)} 1ウRAA
12 (オ)~{P&( Q∨ R)} 569アエ
12 (カ) {P&( Q∨ R)}&
~{P&( Q∨ R)} 1オ&I
従って、
(20)により、
(21)
① P&( Q∨ R)
⑤ P→(~Q&~R)
に於いて、確かに、
① と ⑤ は「矛盾」する。
従って、
(19)(20)(21)により、
(22)
P=(xは集合Aの要素である。)
Q=(xは集合Bの要素である。)
R=(xは集合Cの要素である。)
とするならば、
① A∩( B∪ C)
⑤ A→(~B∩~C)
に於いて、
① と ⑤ は「矛盾」する。
然るに、
(23)
⑤ A→(~B∩~C)
といふことは、
⑤ xが集合Aの要素であるならば(xは集合Bの要素ではなく、xは集合Cの要素でもない)。
といふ「意味」である。
然るに、
(24)
⑤ xが集合Aの要素であるならば(xは集合Bの要素ではなく、xは集合Cの要素でもない)。
といふことは、
⑤(A∩B)∪(A∩C)
といふ「集合」が、「空集合」である。
といふ「意味」である。