（01）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝偽
であるならば、
① は「偽」である。
② も「偽」である。
（02）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝真
であって、
Ｑ＝真
であるならば、
① は「真」である。
② も「真」である。
（03）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝真
であって、
Ｒ＝真
であるならば、
① は「真」である。
② も「真」である。
（04）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
Ｐ＝真
であって、
Ｑ＝真
Ｒ＝真
であるならば、
① は「真」である。
② も「真」である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
① が「偽」であれば、
② も「偽」であり、
① が「真」であれば、
② も「真」である。
従って、
（05）により、
（06）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
といふ、「命題の分配法則」は、「正しい」。
従って、
（07）
Ｐ＝（ｘは集合Ａの要素である。）
Ｑ＝（ｘは集合Ｂの要素である。）
Ｒ＝（ｘは集合Ｃの要素である。）
とするならば、
① ｘはＡであって（ｘはＢであるか、または、ｘはＣである）。
②（ｘはＡであってＢである）か、または（ｘはＡであってＣである）。
といふ「命題関数」に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① Ａ∩（Ｂ∪Ｃ）
②（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ）
に於いて、
①＝② である。
といふ、「集合の分配法則」も、「正しい」。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） Ａ
１ （２） Ｐ １＆Ｅ
１ （３） Ｑ∨Ｒ １＆Ｅ
４ （４） Ｑ Ａ
１４ （５） Ｐ＆Ｑ ２３＆Ｉ
１４ （６）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） ５∨Ｉ
７（７） Ｒ Ａ
１ ７（８） Ｐ＆Ｒ ２７
１ ７（９）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） ８∨Ｉ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） ３４６７９∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
２ （４） Ｑ ２＆Ｅ
２ （５） Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
２ （６）Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） ３５＆Ｉ
７（７） Ｐ＆Ｒ Ａ
７（８） Ｐ ７＆Ｅ
７（９） Ｒ ７＆Ｅ
７（ア） Ｑ∨Ｒ ９∨Ｉ
７（イ） Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） ８ア＆Ｉ
１ （ウ） Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） １２６７イ∨Ｅ
従って、
（09）により、
（10）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
といふ、「命題の分配法則」は、「命題計算」としても「正しい」。
然るに、
（11）
（ⅲ）
１ （１）～｛Ｐ＆ （Ｑ∨Ｒ）｝ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ） １ド・モルガンの法則
１ （３） Ｐ→～（Ｑ∨Ｒ） ２含意の定義
４（４） Ｐ Ａ
１４（５） ～（Ｑ∨Ｒ） ３４ＭＰＰ
１４（６） ～Ｑ＆～Ｒ ５ド・モルガンの法則
１ （７） Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ） ４６ＣＰ
１ （８） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ７含意の定義
（ⅴ）
１ （１） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ７含意の定義
１ （２） Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ） １含意の定義
３（３） Ｐ Ａ
１３（４） ～Ｑ＆～Ｒ ２３ＭＰＰ
１３（５） ～（Ｑ∨Ｒ） ４ド・モルガンの法則
１ （６） Ｐ→～（Ｑ∨Ｒ） ３５ＣＰ
１ （７） ～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ） ６含意の定義
１ （８）～｛Ｐ＆ （Ｑ∨Ｒ）｝ ７ド・モルガンの法則
従って、
（11）により、
（12）
③ ～｛Ｐ＆ （Ｑ∨Ｒ）｝
⑤ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
③＝⑤ である。
然るに、
（13）
（ⅳ）
１ （１）～｛（Ｐ＆Ｑ）∨ （Ｐ＆Ｒ）｝ Ａ
１ （２） ～（Ｐ＆Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｒ） １ド・モルガンの法則
１ （３） ～（Ｐ＆Ｑ） ２＆Ｅ
１ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
１ （５） Ｐ→～Ｑ ４含意の定義
１ （６） ～（Ｐ＆Ｒ） ２＆Ｅ
１ （７） ～Ｐ∨～Ｒ ６ド・モルガンの法則
１ （８） Ｐ→～Ｒ ７含意の定義
９（９） Ｐ Ａ
１９（ア） ～Ｑ ５９ＭＰＰ
１９（イ） ～Ｒ ８９ＭＰＰ
１９（ウ） ～Ｑ＆～Ｒ アイ＆Ｉ
１ （エ） Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ） ９ウＣＰ
１ （オ）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） エ含意の定義
（ⅴ）
１ （１）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
１ （２） Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ） １含意の定義
３（３） Ｐ Ａ
１３（４） ～Ｑ＆～Ｒ ２３ＭＰＰ
１３（５） ～Ｑ ４＆Ｅ
１ （６） Ｐ→～Ｑ ３５ＣＰ
１ （７）～Ｐ∨～Ｑ ６含意の定義
１ （８）～（Ｐ＆Ｑ） ７ド・モルガンの法則
１３（９） ～Ｒ ４＆Ｅ
１ （ア） Ｐ→～Ｒ ３９ＣＰ
１ （イ） ～Ｐ∨～Ｒ ア含意の定義
１ （ウ） ～（Ｐ＆Ｒ） イ、ド・モルガンの法則
１ （エ）～（Ｐ＆Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｒ） ８ウ＆Ｉ
１ （オ）～｛（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）｝ エ、ド・モルガンの法則
従って、
（13）により、
（14）
④ ～｛（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）｝
⑤ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（12）（14）により、
（15）
③ ～｛Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）｝
④ ～｛（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）｝
⑤ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
従って、
（10）（15）により、
（16）
① Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
①＝② であるため、
① の「否定」と、
② の「否定」は、両方とも、
⑤ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
である。
従って、
（16）により、
（17）
① Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）
⑤ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
① と ⑤ は「矛盾」する。
然るに、
（18）
「含意の定義」により、
① Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）
⑤ Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝⑤ である。
従って、
（17）（18）により、
（19）
① Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）
⑤ Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
① と ⑤ は「矛盾」する。
然るに、
（20）
１ （１） Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
１２ （４） ～Ｑ＆～Ｒ ２３ＭＰＰ
１ （５） Ｑ∨ Ｒ １＆Ｅ
６ （６） Ｑ Ａ
１２ （７） ～Ｑ ４＆Ｅ
１２６ （８） Ｑ＆～Ｑ ６７＆Ｉ
２６ （９）～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ １８ＲＡＡ
ア（ア） Ｒ Ａ
１２ （イ） ～Ｒ ４＆Ｅ
１２ ア（ウ） Ｒ＆～Ｒ アイ＆Ｉ
２ ア（エ）～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ １ウＲＡＡ
１２ （オ）～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ ５６９アエ
１２ （カ） ｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝＆
～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ １オ＆Ｉ
従って、
（20）により、
（21）
① Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）
⑤ Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、確かに、
① と ⑤ は「矛盾」する。
従って、
（19）（20）（21）により、
（22）
Ｐ＝（ｘは集合Ａの要素である。）
Ｑ＝（ｘは集合Ｂの要素である。）
Ｒ＝（ｘは集合Ｃの要素である。）
とするならば、
① Ａ∩（ Ｂ∪ Ｃ）
⑤ Ａ→（～Ｂ∩～Ｃ）
に於いて、
① と ⑤ は「矛盾」する。
然るに、
（23）
⑤ Ａ→（～Ｂ∩～Ｃ）
といふことは、
⑤ ｘが集合Ａの要素であるならば（ｘは集合Ｂの要素ではなく、ｘは集合Ｃの要素でもない）。
といふ「意味」である。
然るに、
（24）
⑤ ｘが集合Ａの要素であるならば（ｘは集合Ｂの要素ではなく、ｘは集合Ｃの要素でもない）。
といふことは、
⑤（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ）
といふ「集合」が、「空集合」である。
といふ「意味」である。