(01)
(ⅰ)
1 (1) P→ Q A
2 (2) P&~Q A
2 (3) P 2&E
12 (4) Q 13MPP
2 (5) ~Q 2&E
12 (6) Q&~Q 45&I
1 (7) ~( P&~Q) 26RAA
8 (8) ~(~P∨ Q) A
9 (9) ~P A
9 (ア) ~P∨ Q 9∨I
89 (イ) ~(~P∨ Q)&
(~P∨ Q) 8ア&I
8 (ウ) ~~P 9イRAA
8 (エ) P ウDN
オ(オ) Q A
オ(カ) ~P∨ Q カ∨I
8 オ(キ) ~(~P∨ Q)&
(~P∨ Q) 8キ&I
8 (ク) ~Q オキRAA
8 (ケ) P&~Q エク&I
1 8 (コ) ~( P&~Q)&
( P&~Q) 8コ&I
1 (サ)~~(~P∨ Q) 8コRAA
1 (シ) ~P∨ Q サDN
(ⅱ)
1 (1) ~P∨ Q A
2 (2) P&~Q A
3 (3) ~P A
2 (4) P 2&E
23 (5) ~P&P 34&I
3 (6) ~(P&~Q) 25RAA
7 (7) Q A
2 (8) ~Q 2&E
2 7 (9) Q&~Q 78&I
7 (ア) ~(P&~Q) 29RAA
1 (イ) ~(P&~Q) 1367ア∨E
ウ (ウ) P A
エ(エ) ~Q A
ウエ(オ) P&~Q ウエ&I
1 ウエ(カ) ~(P&~Q)&
(P&~Q) イオ&I
1 ウ (キ) ~~Q エRAA
1 ウ (ク) Q キDN
1 (ケ) P→ Q ウクCP
従って、
(01)により、
(02)
① P→Q
② ~P∨Q
に於いて、
①=② であるが、この「等式」を、「含意の定義」とする。
従って、
(02)により、
(03)
「含意の定義」により、
①( P→Q)&( Q→P)
②(~P∨Q)&(~Q∨P)
に於いて、
①=② である。
従って、
(03)により、
(04)
「日本語」で言ふと、
①(PならばQである。)尚且つ(QならばPである。)
②(Pでないか、または、Qである。)尚且つ(Qでないか、または、Pである。)
に於いて、
①=② である。
然るに、
(05)
①(PならばQである。)尚且つ(QならばPである。)
といふことは、
② PとQは等しい。
といふ、ことである。
cf.
同値、必要十分条件。
従って、
(04)(05)により、
(06)
① PとQは等しい。
②(Pでないか、または、Qである。)尚且つ(Qでないか、または、Pである。)
に於いて、
①=② である。
然るに、
(07)
②(Pでないか、または、Qである。)尚且つ(Qでないか、または、Pである。)
といふのであれば、
②(Pでなくて、Qでない。)のかも知れないし、
②(Pであって、Qである。)のかも知れない。
従って、
(06)(07)により、
(08)
①「PとQは等しい。」からと言って、
②「Pでなくて、Qでない。」とは言へないし、
③「Pであって、Qである。」とは言へない。
従って、
(08)により、
(09)
「記号」で書くと、
① (P→Q)&(Q→P)
②(~P&~Q)
③( P& Q)
に於いて、
① であるからと言って、
② であるとは限らないし、
③ であるとは限らない。
従って、
(08)(09)により、
(10)
②(P→Q)&(Q→P)├(~P&~Q)
③(P→Q)&(Q→P)├( P& Q)
といふ「連式(Sequent)」、すなはち、
② PとQは等しい。故に、Pでなくて、Qでない。
③ PとQは等しい。故に、Pであって、Qである。
といふ「連式(Sequent)」は「妥当(Valid)」ではない。
然るに、
(11)
(ⅳ)
1(1)~P&~Q A
1(2)~P 1&E
1(3)~P∨ Q 2∨I
1(4) P→ Q 3含意の定義
1(5) ~Q 1&E
1(6)~Q∨ P 5∨I
1(7) Q→ P 6含意の定義
1(8)(P→ Q)&
(Q→ P) 47&I
1(9) ~Q 1&E
1(ア)~P 49MTT
1(イ) ~Q 1&E
1(ウ)~P 7イMTT
1(エ)~P&~Q ウア&I
(ⅴ)
1(1) P& Q A
1(2) Q 1&E
1(3)~P∨ Q 2∨I
1(4) P→ Q 3含意の定義
1(5) P 1&E
1(6)~Q∨ P 5∨I
1(7) Q→ P 6含意の定義
1(8)(P→ Q)&
(Q→ P) 47&I
1(9) P 1&E
1(ア) Q 49MPP
1(イ) Q 1&E
1(ウ) P 7イMPP
1(エ) P& Q ウア&I
従って、
(11)により、
(12)
④(~P&~Q)├(P→Q)&(Q→P)├(~P&~Q)
⑤( P& Q)├(P→Q)&(Q→P)├( P& Q)
といふ「連式(Sequent)」、すなはち、
④ Pでなくて、Qでない。故に、PとQは等しい。故に、Pでなくて、Qでない。
⑤ Pであって、Qである。故に、PとQは等しい。故に、Pであって、Qである。
といふ「連式(Sequent)」は「妥当(Valid)」である。
従って、
(10)(12)により、
(13)
② (P→Q)&(Q→P)├(~P&~Q)
③ (P→Q)&(Q→P)├( P& Q)
④(~P&~Q)├(P→Q)&(Q→P)├(~P&~Q)
⑤( P& Q)├(P→Q)&(Q→P)├( P& Q)
に於いて、
② は「妥当」ではなく、
③ も「妥当」ではなく、
④ は「妥当」であり、
⑤ も「妥当」である。
然るに、
(13)により、
(14)
② は「妥当」ではなく、
③ も「妥当」ではなく、
④ は「妥当」であり、
⑤ も「妥当」である。
といふことは、
②(P→Q)&(Q→P)
③(P→Q)&(Q→P)
④(P→Q)&(Q→P)
⑤(P→Q)&(Q→P)
に於いて、
② と ③ の「それ」と、
④ と ⑤ の「それ」は、「同じ」ではない。
といふことを、「意味」してゐる。
従って、
(13)(14)により、
(15)
② (P→Q)&(Q→P)├(~P&~Q)
③ (P→Q)&(Q→P)├( P& Q)
④(~P&~Q)├(P→Q)&(Q→P)├(~P&~Q)
⑤( P& Q)├(P→Q)&(Q→P)├( P& Q)
に於ける、
②(P→Q)&(Q→P)
③(P→Q)&(Q→P)
④(P→Q)&(Q→P)
⑤(P→Q)&(Q→P)
を、「一律」に、
② PとQは等しい。
③ PとQは等しい。
④ PとQは等しい。
⑤ PとQは等しい。
といふ「意味」であると捉へることは、「マチガイ」である。
従って、
(10)(12)(15)により、
(16)
④(~P&~Q)├(P→Q)&(Q→P)├(~P&~Q)
⑤( P& Q)├(P→Q)&(Q→P)├( P& Q)
④ Pでなくて、Qでない。故に、PとQは等しい。故に、Pでなくて、Qでない。
⑤ Pであって、Qである。故に、PとQは等しい。故に、Pであって、Qである。
であるにも拘らず、
④(~P&~Q)├(P→Q)&(Q→P)
⑤( P& Q)├(P→Q)&(Q→P)
④ Pでなくて、Qでない。故に、PとQは等しい。
⑤ Pであって、Qである。故に、PとQは等しい。
だけを「切り取って」、「どうして、さうなるのであらう。」と、「頭を悩ます必要」は無い。
―「昨日(令和02年05月07日)記事」の続きを書きます。―
然るに、
(20)
(a)
1(1) P& Q A
1(2) Q 1&E
1(3)~P∨ Q 2∨I
1(4) P→ Q 3含意の定義
1(5) P 1&E
1(6)~Q∨ P 5∨I
1(7) Q→ P 6含意の定義
1(8)(P→ Q)&
(Q→ P) 47&I
1(9) P 1&E
1(ア) Q 49MPP
1(イ) Q 1&E
1(ウ) P 7イMPP
1(エ) P& Q ウア&I
(c)
1(1)~P&~Q A
1(2)~P 1&E
1(3)~P∨ Q 2∨I
1(4) P→ Q 3含意の定義
1(5) ~Q 1&E
1(6)~Q∨ P 5∨I
1(7) Q→ P 6含意の定義
1(8)(P→ Q)&
(Q→ P) 47&I
1(9) ~Q 1&E
1(ア)~P 49MTT
1(イ) ~Q 1&E
1(ウ)~P 7イMTT
1(エ)~P&~Q ウア&I
従って、
(18)(20)により、
(21)
(a) P& Q├(P→Q)&(Q→P)├ P& Q
(b)~P&~Q├(P→Q)&(Q→P)├ ~P&~Q
(a)「Pであって、Qである。」故に、「PとQは等しい。」故に、「Pであって、Qである。」
(c)「Pでなくて、Qでない。」故に、「PとQは等しい。」故に、「Pでなくて、Qでない。」
然るに、
(22)
1(1)(P→Q)&(Q→P)
従って、
(22)により、
(23)
(d)(P→Q)&(Q→P)├(P→Q)&(Q→P)
(d)「PとQは等しい。」故に、「PとQは等しい。」
従って、
(21)(23)により、
(24)
(a) P& Q├(P→Q)&(Q→P)├ P& Q
(b)~P&~Q├(P→Q)&(Q→P)├ ~P&~Q
(d)(P→Q)&(Q→P)├(P→Q)&(Q→P)
(a)「Pであって、Qである。」故に、「PとQは等しい。」故に、「Pであって、Qである。」
(c)「Pでなくて、Qでない。」故に、「PとQは等しい。」故に、「Pでなくて、Qでない。」
(d)「PとQは等しい。」故に、「PとQは等しい。」
従って、
(24)により、
(25)
(a) P& Q├(P→Q)&(Q→P)├ P& Q
(b)~P&~Q├(P→Q)&(Q→P)├ ~P&~Q
(d)(P→Q)&(Q→P)├(P→Q)&(Q→P)
から、
(a)(P→Q)&(Q→P)
(c)(P→Q)&(Q→P)
(d)(P→Q)&(Q→P)
を「除く」と、
(a) P& Q├ P& Q
(b)~P&~Q├ ~P&~Q
(d) ├
(a)「Pであって、Qである。」故に、「Pであって、Qである。」
(c)「Pでなくて、Qでない。」故に、「Pでなくて、Qでない。」
(d) 故に、
然るに、
(26)
(a) P& Q├ P& Q
(b)~P&~Q├ ~P&~Q
(a)「Pであって、Qである。」故に、「Pであって、Qである。」
(c)「Pでなくて、Qでない。」故に、「Pでなくて、Qでない。」
に対して、
(d) ├
(d) 故に、
は、「意味」をなさない。
従って、
(24)(25)(26)により、
(27)
(a) P& Q├(P→Q)&(Q→P)├ P& Q
(b)~P&~Q├(P→Q)&(Q→P)├ ~P&~Q
(a)「Pであって、Qである。」故に、「PとQは等しい。」故に、「Pであって、Qである。」
(c)「Pでなくて、Qでない。」故に、「PとQは等しい。」故に、「Pでなくて、Qでない。」
に於ける、
(a) (P→Q)&(Q→P)
(b) (P→Q)&(Q→P)
(a) 「PとQは等しい。」
(c) 「PとQは等しい。」
に対して、
(d)(P→Q)&(Q→P)├(P→Q)&(Q→P)
(d)「PとQは等しい。」故に、「PとQは等しい。」
に於ける、
(d)(P→Q)&(Q→P)
(d)「PとQは等しい。」
は、「同じ意味」ではない。
然るに、
(28)
(d)(P→Q)&(Q→P)├(P→Q)&(Q→P)
(d)「PとQは等しい。」故に、「PとQは等しい。」
に於いては、「文字通り」、
(d)(P→Q)&(Q→P)
(d)「PとQは等しい。」
といふ「意味」である。
従って、
(27)(28)により、
(29)
(a) P& Q├(P→Q)&(Q→P)├ P& Q
(b)~P&~Q├(P→Q)&(Q→P)├ ~P&~Q
(a)「Pであって、Qである。」故に、「PとQは等しい。」故に、「Pであって、Qである。」
(c)「Pでなくて、Qでない。」故に、「PとQは等しい。」故に、「Pでなくて、Qでない。」
に於ける、
(a) (P→Q)&(Q→P)
(b) (P→Q)&(Q→P)
の場合は、実際には、
(a) 「PとQは等しい。」
(c) 「PとQは等しい。」
といふ「意味」ではない。