（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（ Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨ Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨ Ｑ カ∨Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ８キ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（ Ｐ＆～Ｑ）＆
（ Ｐ＆～Ｑ） ８コ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨ Ｑ サＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② であるが、この「等式」を、「含意の定義」とする。
従って、
（02）により、
（03）
「含意の定義」により、
①（ Ｐ→Ｑ）＆（ Ｑ→Ｐ）
②（～Ｐ∨Ｑ）＆（～Ｑ∨Ｐ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
「日本語」で言ふと、
①（ＰならばＱである。）尚且つ（ＱならばＰである。）
②（Ｐでないか、または、Ｑである。）尚且つ（Ｑでないか、または、Ｐである。）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
①（ＰならばＱである。）尚且つ（ＱならばＰである。）
といふことは、
② ＰとＱは等しい。
といふ、ことである。
ｃｆ.
同値、必要十分条件。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ＰとＱは等しい。
②（Ｐでないか、または、Ｑである。）尚且つ（Ｑでないか、または、Ｐである。）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
②（Ｐでないか、または、Ｑである。）尚且つ（Ｑでないか、または、Ｐである。）
といふのであれば、
②（Ｐでなくて、Ｑでない。）のかも知れないし、
②（Ｐであって、Ｑである。）のかも知れない。
従って、
（06）（07）により、
（08）
①「ＰとＱは等しい。」からと言って、
②「Ｐでなくて、Ｑでない。」とは言へないし、
③「Ｐであって、Ｑである。」とは言へない。
従って、
（08）により、
（09）
「記号」で書くと、
① （Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
②（～Ｐ＆～Ｑ）
③（ Ｐ＆ Ｑ）
に於いて、
① であるからと言って、
② であるとは限らないし、
③ であるとは限らない。
従って、
（08）（09）により、
（10）
②（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（～Ｐ＆～Ｑ）
③（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（ Ｐ＆ Ｑ）
といふ「連式（Sequent）」、すなはち、
② ＰとＱは等しい。故に、Ｐでなくて、Ｑでない。
③ ＰとＱは等しい。故に、Ｐであって、Ｑである。
といふ「連式（Sequent）」は「妥当（Valid）」ではない。
然るに、
（11）
（ⅳ）
１（１）～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２）～Ｐ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
１（５） ～Ｑ １＆Ｅ
１（６）～Ｑ∨ Ｐ ５∨Ｉ
１（７） Ｑ→ Ｐ ６含意の定義
１（８）（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｑ→ Ｐ） ４７＆Ｉ
１（９） ～Ｑ １＆Ｅ
１（ア）～Ｐ ４９ＭＴＴ
１（イ） ～Ｑ １＆Ｅ
１（ウ）～Ｐ ７イＭＴＴ
１（エ）～Ｐ＆～Ｑ ウア＆Ｉ
（ⅴ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
１（５） Ｐ １＆Ｅ
１（６）～Ｑ∨ Ｐ ５∨Ｉ
１（７） Ｑ→ Ｐ ６含意の定義
１（８）（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｑ→ Ｐ） ４７＆Ｉ
１（９） Ｐ １＆Ｅ
１（ア） Ｑ ４９ＭＰＰ
１（イ） Ｑ １＆Ｅ
１（ウ） Ｐ ７イＭＰＰ
１（エ） Ｐ＆ Ｑ ウア＆Ｉ
従って、
（11）により、
（12）
④（～Ｐ＆～Ｑ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（～Ｐ＆～Ｑ）
⑤（ Ｐ＆ Ｑ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（ Ｐ＆ Ｑ）
といふ「連式（Sequent）」、すなはち、
④ Ｐでなくて、Ｑでない。故に、ＰとＱは等しい。故に、Ｐでなくて、Ｑでない。
⑤ Ｐであって、Ｑである。故に、ＰとＱは等しい。故に、Ｐであって、Ｑである。
といふ「連式（Sequent）」は「妥当（Valid）」である。
従って、
（10）（12）により、
（13）
② （Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（～Ｐ＆～Ｑ）
③ （Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（ Ｐ＆ Ｑ）
④（～Ｐ＆～Ｑ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（～Ｐ＆～Ｑ）
⑤（ Ｐ＆ Ｑ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（ Ｐ＆ Ｑ）
に於いて、
② は「妥当」ではなく、
③ も「妥当」ではなく、
④ は「妥当」であり、
⑤ も「妥当」である。
然るに、
（13）により、
（14）
② は「妥当」ではなく、
③ も「妥当」ではなく、
④ は「妥当」であり、
⑤ も「妥当」である。
といふことは、
②（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
③（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
④（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
⑤（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
に於いて、
② と ③ の「それ」と、
④ と ⑤ の「それ」は、「同じ」ではない。
といふことを、「意味」してゐる。
従って、
（13）（14）により、
（15）
② （Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（～Ｐ＆～Ｑ）
③ （Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（ Ｐ＆ Ｑ）
④（～Ｐ＆～Ｑ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（～Ｐ＆～Ｑ）
⑤（ Ｐ＆ Ｑ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（ Ｐ＆ Ｑ）
に於ける、
②（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
③（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
④（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
⑤（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
を、「一律」に、
② ＰとＱは等しい。
③ ＰとＱは等しい。
④ ＰとＱは等しい。
⑤ ＰとＱは等しい。
といふ「意味」であると捉へることは、「マチガイ」である。
従って、
（10）（12）（15）により、
（16）
④（～Ｐ＆～Ｑ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（～Ｐ＆～Ｑ）
⑤（ Ｐ＆ Ｑ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（ Ｐ＆ Ｑ）
④ Ｐでなくて、Ｑでない。故に、ＰとＱは等しい。故に、Ｐでなくて、Ｑでない。
⑤ Ｐであって、Ｑである。故に、ＰとＱは等しい。故に、Ｐであって、Ｑである。
であるにも拘らず、
④（～Ｐ＆～Ｑ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
⑤（ Ｐ＆ Ｑ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
④ Ｐでなくて、Ｑでない。故に、ＰとＱは等しい。
⑤ Ｐであって、Ｑである。故に、ＰとＱは等しい。
だけを「切り取って」、「どうして、さうなるのであらう。」と、「頭を悩ます必要」は無い。
―「昨日（令和０２年０５月０７日）記事」の続きを書きます。―
然るに、
（20）
（ａ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
１（５） Ｐ １＆Ｅ
１（６）～Ｑ∨ Ｐ ５∨Ｉ
１（７） Ｑ→ Ｐ ６含意の定義
１（８）（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｑ→ Ｐ） ４７＆Ｉ
１（９） Ｐ １＆Ｅ
１（ア） Ｑ ４９ＭＰＰ
１（イ） Ｑ １＆Ｅ
１（ウ） Ｐ ７イＭＰＰ
１（エ） Ｐ＆ Ｑ ウア＆Ｉ
（ｃ）
１（１）～Ｐ＆～Ｑ Ａ
１（２）～Ｐ １＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
１（５） ～Ｑ １＆Ｅ
１（６）～Ｑ∨ Ｐ ５∨Ｉ
１（７） Ｑ→ Ｐ ６含意の定義
１（８）（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｑ→ Ｐ） ４７＆Ｉ
１（９） ～Ｑ １＆Ｅ
１（ア）～Ｐ ４９ＭＴＴ
１（イ） ～Ｑ １＆Ｅ
１（ウ）～Ｐ ７イＭＴＴ
１（エ）～Ｐ＆～Ｑ ウア＆Ｉ
従って、
（18）（20）により、
（21）
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├ Ｐ＆ Ｑ
（ｂ）～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├ ～Ｐ＆～Ｑ
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「ＰとＱは等しい。」故に、「Ｐであって、Ｑである。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」故に、「ＰとＱは等しい。」故に、「Ｐでなくて、Ｑでない。」
然るに、
（22）
１（１）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
従って、
（22）により、
（23）
（ｄ）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
（ｄ）「ＰとＱは等しい。」故に、「ＰとＱは等しい。」
従って、
（21）（23）により、
（24）
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├ Ｐ＆ Ｑ
（ｂ）～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├ ～Ｐ＆～Ｑ
（ｄ）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「ＰとＱは等しい。」故に、「Ｐであって、Ｑである。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」故に、「ＰとＱは等しい。」故に、「Ｐでなくて、Ｑでない。」
（ｄ）「ＰとＱは等しい。」故に、「ＰとＱは等しい。」
従って、
（24）により、
（25）
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├ Ｐ＆ Ｑ
（ｂ）～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├ ～Ｐ＆～Ｑ
（ｄ）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
から、
（ａ）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
（ｃ）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
（ｄ）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
を「除く」と、
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ＆ Ｑ
（ｂ）～Ｐ＆～Ｑ├ ～Ｐ＆～Ｑ
（ｄ） ├
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「Ｐであって、Ｑである。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」故に、「Ｐでなくて、Ｑでない。」
（ｄ） 故に、
然るに、
（26）
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├ Ｐ＆ Ｑ
（ｂ）～Ｐ＆～Ｑ├ ～Ｐ＆～Ｑ
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「Ｐであって、Ｑである。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」故に、「Ｐでなくて、Ｑでない。」
に対して、
（ｄ） ├
（ｄ） 故に、
は、「意味」をなさない。
従って、
（24）（25）（26）により、
（27）
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├ Ｐ＆ Ｑ
（ｂ）～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├ ～Ｐ＆～Ｑ
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「ＰとＱは等しい。」故に、「Ｐであって、Ｑである。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」故に、「ＰとＱは等しい。」故に、「Ｐでなくて、Ｑでない。」
に於ける、
（ａ） （Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
（ｂ） （Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
（ａ） 「ＰとＱは等しい。」
（ｃ） 「ＰとＱは等しい。」
に対して、
（ｄ）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
（ｄ）「ＰとＱは等しい。」故に、「ＰとＱは等しい。」
に於ける、
（ｄ）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
（ｄ）「ＰとＱは等しい。」
は、「同じ意味」ではない。
然るに、
（28）
（ｄ）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
（ｄ）「ＰとＱは等しい。」故に、「ＰとＱは等しい。」
に於いては、「文字通り」、
（ｄ）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
（ｄ）「ＰとＱは等しい。」
といふ「意味」である。
従って、
（27）（28）により、
（29）
（ａ） Ｐ＆ Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├ Ｐ＆ Ｑ
（ｂ）～Ｐ＆～Ｑ├（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）├ ～Ｐ＆～Ｑ
（ａ）「Ｐであって、Ｑである。」故に、「ＰとＱは等しい。」故に、「Ｐであって、Ｑである。」
（ｃ）「Ｐでなくて、Ｑでない。」故に、「ＰとＱは等しい。」故に、「Ｐでなくて、Ｑでない。」
に於ける、
（ａ） （Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
（ｂ） （Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
の場合は、実際には、
（ａ） 「ＰとＱは等しい。」
（ｃ） 「ＰとＱは等しい。」
といふ「意味」ではない。