(01)
(ⅰ)
1 (1) ∃x( Fx) A
2 (2) ∀x(~Fx) A
3(3) Fa A
2 (4) ~Fa 2UE
23(5) Fa&~Fa 34&I
1 3(6) Fa&~Fa 135EE
1 (7)~∀x(~Fx) 36RAA
(ⅱ)
1 (1) ~∀x(~Fx) A
2 (2) ~∃x( Fx) A
3(3) Fa A
3(4) ∃x( Fx) 3EI
23(5) ~∃x( Fx)&
∃x( Fx) 24&I
2 (6) ~Fa 35RAA
2 (7) ∀x(~Fx) 6UI
12 (8) ~∀x(~Fx)&
∀x(~Fx) 17&I
1 (9)~~∃x( Fx) 28RAA
1 (ア) ∃x( Fx) 9DN
(ⅲ)
1 (1)~∃x(~Fx) A
2(2) ~Fa A
2(3) ∃x(~Fx) 2EI
12(4)~∃x(~Fx)&
∃x(~Fx) 13&I
1 (5) ~~Fa 24RAA
1 (6) Fa 5DN
1 (7) ∀x( Fx) 6UI
(ⅳ)
1 (1) ∀x( Fx) A
2 (2) ∃x(~Fx) A
1 (3) Fa 1UE
4(4) ~Fa A
1 4(5) Fa&~Fa 34&I
12 (6) Fa&~Fa 245EE
1 (7)~∃x(~Fx) 26RAA
従って、
(01)により、
(02)
① ∃x( Fx)
② ~∀x(~Fx)
③ ~∃x(~Fx)
④ ∀x( Fx)
に於いて、すなはち、
① あるxはFである。
② すべてのxがFでない。といふわけではない。
③ あるxがFでない。といふことはない。
④ すべてのxはFである。
に於いて、
①=② であって、
③=④ であって、これらの「等式」を、「量化子の関係」といふ。
然るに、
(03)
(ⅰ)
1 (1) Fa∨ Fb∨ Fc A
1 (2) Fa∨(Fb∨ Fc) 1結合法則
3 (3) ~Fa&~Fb&~Fc A
4 (4) Fa A
3 (5) ~Fa 3&E
34 (6) Fa&~Fa 45&I
4 (7)~(~Fa&~Fb&~Fc) 36RAA
8 (8) Fb∨ Fc A
9 (9) Fb A
3 (ア) ~Fb 3&E
3 9 (イ) Fb&~Fb 9ア&I
9 (ウ)~(~Fa&~Fb&~Fc) 3イRAA
エ(エ) Fc A
3 (オ) ~Fc 3&E
3 エ(カ) Fc&~Fc エオ&I
エ(キ)~(~Fa&~Fb&~Fc) 3カRAA
8 (ク)~(~Fa&~Fb&~Fc) 89ウエキ∨E
1 (ケ)~(~Fa&~Fb&~Fc) 2478ク∨E
(ⅱ)
1 (1) ~(~Fa&~Fb&~Fc) A
2 (2) ~( Fa∨ Fb∨ Fc) A
3 (3) Fa A
3 (4) Fa∨ Fb 3∨I
3 (5) Fa∨ Fb∨ Fc 4∨I
23 (6) ~( Fa∨ Fb∨ Fc)&
( Fa∨ Fb∨ Fc) 25&I
2 (7) ~Fa 36RAA
8 (8) Fb A
8 (9) Fa∨ Fb 8∨I
8 (ア) Fa∨ Fb 9∨I
8 (イ) Fa∨ Fb∨ Fc ア∨I
2 8 (ウ) ~( Fa∨ Fb∨ Fc)&
( Fa∨ Fb∨ Fc) 2イ&I
2 (エ) ~Fb 8ウRAA
オ(オ) Fc A
オ(カ) Fb∨ Fc オ∨I
オ(キ) Fa∨ Fb∨ Fc カ∨I
2 オ(ク) ~( Fa∨ Fb∨ Fc)&
( Fa∨ Fb∨ Fc) 2キ&I
2 (ケ) ~Fc オクRAA
2 (コ) ~Fa&~Fb 7エ&I
2 (サ) ~Fa&~Fb&~Fc ケコ&I
12 (シ) ~(~Fa&~Fb&~Fc)&
(~Fa&~Fb&~Fc) 1サ&I
1 (ス)~~( Fa∨ Fb∨ Fc) 2シRAA
1 (セ) ( Fa∨ Fb∨ Fc) スDN
(ⅲ)
1 (1) ~(~Fa∨~Fb∨~Fc) A
2 (2) ~( Fa& Fb& Fc) A
3 (3) ~Fa A
3 (4) ~Fa∨~Fb 3∨I
3 (5) ~Fa∨~Fb∨~Fc 4∨I
1 3 (6) ~(~Fa∨~Fb∨~Fc)&
(~Fa∨~Fb∨~Fc) 15&I
1 (7) ~~Fa 36RAA
1 (8) Fa 7DN
9 (9) ~Fb A
9 (ア) ~Fa∨~Fb 9∨I
9 (イ) ~Fa∨~Fb∨~Fc ア∨I
1 9 (ウ) ~(~Fa∨~Fb∨~Fc)&
(~Fa∨~Fb∨~Fc) 1イ&I
1 (エ) ~~Fb 9うRAA
1 (オ) Fb エDN
カ(カ) ~Fc A
カ(キ) ~Fb∨~Fc カ∨I
カ(ク) ~Fa∨~Fb∨~Fc キ∨I
1 カ(ケ) ~(~Fa∨~Fb∨~Fc)&
(~Fa∨~Fb∨~Fc) 1ク&I
1 (コ) ~~Fc カケRAA
1 (サ) Fc コDN
1 (シ) Fa& Fb 8オ&I
1 (ス) Fa& Fb& Fc サシ&I
12 (セ) ~( Fa& Fb& Fc)&
( Fa& Fb& Fc) 2ス&U
1 (ソ)~~( Fa& Fb& Fc) 2RAA
1 (タ) Fa& Fb& Fc ソDN
(ⅳ)
1 (1) Fa& Fb& Fc A
2 (2) ~Fa∨ ~Fb∨~Fc A
2 (3) ~Fa∨(~Fb∨~Fc) 2結合法則
4 (4) ~Fa A
1 (5) Fa 1&E
1 4 (6) ~Fa&Fa 45&I
4 (7) ~(Fa& Fb& Fc) 16RAA
8 (8) ~Fb∨~Fc A
9 (9) ~Fb A
1 (ア) Fb 1&E
1 9 (イ) ~Fb&Fb 9ア&I
9 (ウ) ~(Fa& Fb& Fc) 1イRAA
エ(エ) ~Fc A
1 (オ) Fc 1&E
1 エ(カ) ~Fc&Fc エオ&I
エ(キ) ~(Fa& Fb& Fc) 1カRAA
8 (ク) ~(Fa& Fb& Fc) 89ウエキ∨E
2 (ケ) ~(Fa& Fb& Fc) 2478ク∨E
12 (コ) (Fa& Fb& Fc)&
~(Fa& Fb& Fc) 1ケ&I
1 (サ)~(~Fa∨ ~Fb∨~Fc) 2コRAA
従って、
(03)により、
(04)
① Fa∨ Fb∨ Fc
② ~(~Fa&~Fb&~Fc)
③ ~(~Fa∨~Fb∨~Fc)
④ Fa& Fb& Fc
に於いて、
①=② であって、
③=④ であって、これらの「等式」も、「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
(05)
{a、b、c}が{xの変域}であるとすると、
① ∃x( Fx)
② ~∀x(~Fx)
③ ~∃x(~Fx)
④ ∀x( Fx)
は、それぞれ、
① ( Fa∨ Fb∨ Fc)
② ~(~Fa&~Fb&~Fc)
③ ~(~Fa∨~Fb∨~Fc)
④ ( Fa& Fb& Fc)
といふ「式」に「等しい」。
従って、
(01)~(05)により、
(06)
{xの変域}が{a、b、c}であるとして、
① あるxはFである。
② すべてのxがFでない。といふわけではない。
に於いて、
①=② である。といふことは、
① ∃x( Fx)≡ ( Fa∨ Fb∨ Fc)
② ~∀x(~Fx)≡ ~(~Fa&~Fb&~Fc)
に於いて、
①=② である。といふことであって、
③ あるxがFでない。といふことはない。
④ すべてのxはFである。
に於いて、
③=④ である。といふことは、
③ ~∃x(~Fx)≡ ~(~Fa∨~Fb∨~Fc)
④ ∀x( Fx)≡ ( Fa& Fb& Fc)
に於いて、
③=④ である。といふことである。
従って、
(06)により、
(07)
① あるxはFである。
② すべてのxがFでない。といふわけではない。
に於いて、
①=② である。といふことを「知ってゐる」のであれば、その人は、
① ( Fa∨ Fb∨ Fc)
② ~(~Fa&~Fb&~Fc)
に於いて、
①=② である。といふ「ド・モルガンの法則」を、「知ってゐる」ことになる。