（611）「述語論理の公理（の４分３）」は「命題論理の定理」である。

（01）
述語論理の公理系は次のように与えられる。ここにＰ，Ｑ，Ｒは任意の論理式とする。
― 述語論理の公理系 ―
Ａ１：　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
Ａ２：（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
Ａ３：（～Ｐ→～Ｑ）→（（～Ｐ→Ｑ）→Ｐ）
Ａ４：∀ｘＰ［ｘ］→Ｐ［ｙ］
　　Ｐ［ｘ］はＰが論理変項ｘもつことを意味し、Ｐ［ｙ］はＰ［ｘ］のｘをｙにかえた論理式を意味する。
（長尾真・淵一博、論理と意味、1983年、５９頁）
然るに、
（02）
Ａ１：
１　　　　　（１）　　Ｐ　　　　　　Ａ
１　　　　　（２）　～Ｑ∨　Ｐ　　　Ａ
　３　　　　（３）　　Ｑ＆～Ｐ　　　Ａ
　　４　　　（４）　～Ｑ　　　　　　Ａ
　３　　　　（５）　　Ｑ　　　　　　３＆Ｅ
　３４　　　（６）　～Ｑ＆Ｑ　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（Ｑ＆～Ｐ）　　３６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　Ｐ　　　Ａ
　３　　　　（９）　　　　～Ｐ　　　３＆Ｅ
　３　８　　（ア）　　Ｐ＆～Ｐ　　　８９＆Ｉ
　　　８　　（イ）～（Ｑ＆～Ｐ）　　３アＲＡＡ
１　　　　　（ウ）～（Ｑ＆～Ｐ）　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　（エ）　　Ｑ　　　　　　Ａ
　　　　　カ（カ）　　　　～Ｐ　　　Ａ
　　　　エカ（キ）　　Ｑ＆～Ｐ　　　エカ＆Ｉ
１　　　エカ（ク）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
　　　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　イキ＆Ｉ
１　　　エ　（ケ）　　　～～Ｐ　　　カクＲＡＡ
１　　　エ　（コ）　　　　　Ｐ　　　ケＤＮ
１　　　　　（サ）　　　Ｑ→Ｐ　　　エコＣＰ
　　　　　　（シ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　　１サＣＰ
Ａ２：
１　　（１）　Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　Ａ
　　３（３）　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
１　３（４）　　　　Ｑ→Ｒ　　　　　　１３ＭＰＰ
　２３（５）　　　　Ｑ　　　　　　　　２３ＭＰＰ
１２３（６）          　Ｒ　　　　　　４５ＭＰＰ
１２　（７）　　　　　　Ｐ→Ｒ　　　　３６ＣＰ
１　　（８）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）　　２７ＣＰ
　　　（９）（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→
　　　　　（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））　１８ＣＰ
Ａ３：
１　　（１）　～Ｐ→～Ｑ　　　　Ａ
　２　（２）　～Ｐ→　Ｑ　　　　Ａ
　　３（３）　～Ｐ　　　　　　　Ａ
１　３（４）　　　　～Ｑ　　　　１３ＭＰＰ
　２３（５）　　　　　Ｑ　　　　２３ＭＰＰ
１２３（６）　　～Ｑ＆Ｑ　　　　４５＆
１２　（７）～～Ｐ　　　　　　　３６ＲＡＡ
１２　（８）　　Ｐ　　　　　　　７ＤＮ
１　　（９）（～Ｐ→Ｑ）→Ｐ
　　　（ア）（～Ｐ→～Ｑ）→
　　　　　（（～Ｐ→Ｑ）→Ｐ）　１９ＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
① ├  Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
② ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③ ├（～Ｐ→～Ｑ）→（（～Ｐ→Ｑ）→Ｐ）
といふ「連式」は、「妥当」である。
然るに、
（04）
定理とは仮定の数がゼロの証明可能な連式の結論である。― 中略 ―
興味のある定理の大ていのものは、事実上 ＣＰを適用することによって導かれる。たとえば、
３８　├ Ｐ→Ｐ
 １（１）Ｐ　Ａ
 　（２）Ｐ→Ｐ　１，１ＣＰ
（E.j.レモン 著、竹尾治一郎・楢英 訳、1973年、６４頁）
従って、
（04）により、
（05）
④ ├ Ｐ→Ｐ（同一律）
がさうであるやうに、
① ├  Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
② ├（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③ ├（～Ｐ→～Ｑ）→（（～Ｐ→Ｑ）→Ｐ）
といふ「仮定の数がゼロの証明可能な連式の結論」は、「３つとも、定理（恒真式）」である。
従って、
（01）（05）により、
（06）
― 述語論理の公理系 ―
Ａ１：　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
Ａ２：（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
Ａ３：（～Ｐ→～Ｑ）→（（～Ｐ→Ｑ）→Ｐ）
Ａ４：∀ｘＰ［ｘ］→Ｐ［ｙ］
といふ「述語論理の、４つの公理」の内の「３つ」は、「命題論理の恒真式」である。