立体構成①（しょっちゅう出る）

「またこれ！」というほどよく出題される問題です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正八面体の各辺の中点をとり、次の図のように頂点に近い4つの点を結んだ線に沿って四角すいを切り落とす作業を、正八面体のすべての頂点について行った。このとき、後に残った立体の辺の本数として、正しいものはどれか。①8本②12本③16本④20本⑤24本　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　辺の本数だけ求めればよいのですが、せっかくだから、面、辺、頂点すべての数を求めてみます。「後に残った立体の面、辺、頂点の数をすべて足すといくらになるか」などという問題もありそうです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　こういうときは、新旧方式で考えるのがお勧めです。まず辺から。今、頂点アで四角すいを切り落としたところですが、①～④の4つの辺は、切り落とすことによってできた新しい辺ですね。そして、頂点イで切り落とすと、また⑤～⑧の新しい辺ができます。そして、①～④と、⑤～⑧で、ダブっている辺はありません。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　つまり、「一つの頂点で切り落とすごとに、新しい辺が4つずつできる」ことが分かります。正八面体には6つの頂点があるので、新しくできる辺の数は、4×6＝24です。では、もともとあった辺は、いくつ残るのでしょうか？図の、A、Bは、四角すいを切り落としたときに消失します。よって、もともとあった辺は、すべて消失します。元の正八面体を構成していた辺は、一つも残らないのです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以上より、後に残った立体の辺の数は、24＋0＝24。正解は、肢⑤です。頂点も、面も、同じように考えます。新しくできる頂点の数は、4×6÷2＝12。（2つずつダブるので2で割りました）もともとあった頂点は、すべて消失。よって、12＋0＝12。新しくできる面の数は、1×6＝6。もともとあった8面は、すべて残ります。よって、6＋8＝14。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ここをポチッとお願いします。→
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