Γ関数の回帰式

　風力発電で、風速の度数分布を表すにはワイブル関数が使われるというのは前回記事の通りだが、平均風速を計算しようとすると、以下の確率密度関数にVをかけて、Vについて0～∞まで積分すればよい。

・確率密度関数

　f(V)=(k/c)(V/c)^(k-1)exp〔-(V/c)^k〕（V：風速、k：形状係数、c：尺度係数）

・平均風速
　Vav＝∫V・f(V)dV　（Vについて0～∞まで積分）だから、これに実際にf(V)を入れて若干の変数変換などを行うと

　Vav=cΓ(1+1/k)

　ここにΓはガンマ関数と呼ばれるもので以下のようなものである。

　Γ(z)=∫t^(z-1)exp(-t)dt(tについて0～∞まで積分）（本当に数式を表すときは面倒くさい）

　
　ガンマ関数には以下のような回帰式が成立すると書いてあったので、これも証明してみよう。

　Γ(z+1)=zΓ(z)

（証明）
　ガンマ関数の定義式より

　Γ(z+1)=∫t^zexp(-t)dt(tについて0～∞まで積分）

これは部分積分を行うことにより

　　Γ(z+1)=-t^zexp(-t)+z∫t^(z-1)exp(-t)dt= -t^zexp(-t)+zΓ(z)　(tについて0～∞まで積分）

　右辺第一項は、tが0のときも∞のときも0となるから結局

　Γ(z+1)=zΓ(z)　（証明終）

○関連過去記事
・ワイブル分布の積分