交流の実効値③ サイン波

交流の値（大きさ）の表し方には

最大値：Em（0-P）
平均値：E ave
実効値：E rms

の3つがあります。実際には、最大値（0-P値）と実効値がよく使われます。
サイン波交流電圧の瞬時値は

e（θ）＝Em sinθ　の式で表されます。（θ＝ωt）rad

では、この瞬時値の式から、最大値、平均値、実効値を求めてみましょう。
最大値＝Em ですから、これは問題ないですね。

【サイン波交流の平均値】
さて平均値とは、半周期の瞬時値を加算平均した値です。図で見ると、黄色の面積が瞬時値の加算値で、この面積を半周期：πで割り算したものが平均値です。

早速やってみましょう。
e（θ）＝Em sinθ の半周期の面積：Esは
Es＝∫0→π Em・sinθdθ　です。
Es＝Em［－cosθ］0→π　
Es＝Em｛1－（－1）｝
Es＝Eｍ・2 これが半周期の面積ですから、平均値はπで割って

E ave＝Em・2/π　となります。簡単でしょ？（＾＾）

【サイン波交流の実効値】
さて次は、少しだけ計算がじゃまくさい、実効値を求めてみましょう。
実効値＝√（瞬時値の2乗の平均値）　でしたね。

よって、実効値：E rmsは
E rms＝√Em^2 √｛（∫0→π sin^2θdθ）/π｝
E rms＝Em・√｛（∫0→π sin^2θdθ）/π｝　を計算すれば得られます。

まずは、「瞬時値の2乗の平均値」（定積分の部分/π）を計算します。
さて　sin^2θ　はどうやって積分すればいいのでしょう。

これは少し技を使います。「加法定理」より
cos（θ＋θ）＝cos^2θ－sin^2θ
cos2θ＝cos^2θ－sin^2θ

sin^2θ＋cos^2θ＝1　ですから　cos^2θ＝1－sin^2θ　よって

cos2θ＝1－sin^2θ－sin^2θ
cos2θ＝1－2sin^2θ （2倍角の公式を知っていれば、一気にここまで来ます）
2sin^2θ＝1－cos2θ
sin^2θ＝1/2（1－cos2θ）
∫sin^2θdθ＝∫1/2（1－cos2θ）dθ　これなら積分できそうです。

∫0→π sin^2θdθ
＝∫0→π 1/2（1－cos2θ）dθ
＝1/2∫0→π 1－cos2θdθ
＝1/2［θ－1/2 sin2θ］0→π
＝1/2（π＋0）
＝π/2

これを実効値の式に当てはめます。
E rms＝Em・√｛（∫0→π sin^2θdθ）/π｝
E rms＝Em・√｛（π/2）/π｝
E rms＝Em・√（1/2）
E rms＝Em・1/√2　

となってサイン波交流の実効値は、最大値：Em×1/√2　ということですね。

【おまけ】
加法定理

sin（A＋B）＝sinA・cosB＋cosA・sinB　（サインコサイン、コサインサイン）
cos（A＋B）＝cosA・cosB－sinA・sinB　（コスコス、ひく、サンサン）
tan（A＋B）＝（tanA＋tanB）/（1－tanA・tanB）　（1ひくタンタン、タン加タン）

関連記事：交流の実効値② 算数としての微分と積分 2010-11-22