交流の実効値①（RMS）

「基礎電子工学　交流編」松下電器工学院　編著　p39～p41の補足


【実効値の定義】直流と同じ「仕事」をする交流の値

電力：W＝i^2・R
電力量（仕事量）：Ws＝i^2・Rt　［電力量＝電力×時間］

上のグラフは縦軸に電力（I^2・R）、横軸に時間（t）をとったものです。よって黄色で示す面積は電力量（I^2・Rt）になります。
左の交流と右の交流の半周期の面積が同じであれば、この2つの交流の電力量は同じですね。ということは左の交流の実効値をi(rms)、右の交流電流の実効値をIとすると、

i(rms)＝Iになります。（上の定義より）

さて、右の波形の電力量は
Ws＝I^2・Rt4

左の波形の電力量は
Ws＝i1^2・Rt1＋i2^2・R(t2－t1)＋i3^2・R(t3－t2)＋i4^2・R(t4－t3)
＝R｛i1^2・t1＋i2^2・(t2－t1)＋i3^2・(t3－t2)＋i4^2・(t4－t3)｝

両者の電力量は同じだから（Rを払って）
I^2・t4＝i1^2・t1＋i2^2・(t2－t1)＋i3^2・(t3－t2)＋i4^2・(t4－t3)
I^2＝｛i1^2・t1＋i2^2・(t2－t1)＋i3^2・(t3－t2)＋i4^2・(t4－t3)｝/ t4

この式から、実効値の2乗は「各電流値の2乗の加算平均」であることがわかりますね。
そして実効値は
I＝√［｛i1^2・t1＋i2^2・(t2－t1)＋i3^2・(t3－t2)＋i4^2・(t4－t3)｝/ t4］となります。

よって実効値のことを「2乗平均、平方根」Root Mean Square の頭文字を採って、RMSと呼ぶわけです。


【サイン波での試み】
サイン波の半波を10分割して「2乗平均、平方根」を計算してみました。
下図のエクセルの表です。
実効値（RMS）は理屈どおり、0.707107＝1/√2　となりますね。

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