交流の実効値② 算数としての微分と積分

y＝x^4＋x^3＋x^2＋2　を微分すると　
y’＝4x^3＋3x^2＋2x　

y＝4x^3＋3x^2＋2x　を積分すると
Y＝x4＋x3＋x2＋C　（Cは何らかの定数であり、積分定数といいます）

y＝2x^4＋4x^3＋3x^2＋5　を微分すると
y’＝8x^3＋12x^2＋6x　

y＝8x^3＋12x^2＋6x　を積分すると
Y＝2x^4＋4x^3＋3x^2＋C

では
y＝10x^4＋12x^3＋12x^2＋5　を積分すると？　はい、やってみましょう。（＾＾）


さて実は、「積分は面積を求める計算」です。
やってみましょう。

図の三角形の面積は、はい1ですね。（［底辺×高さ］/2）
これを積分で求めてみます。

この三角形の斜辺は
関数：y＝2x　の　x＝0の点とx＝1の点を結んだものですね。

y＝2x　を積分すると、Y＝x^2　。そしてxに1を代入するとY＝1となって、先に求めた面積：1と一致します。順を追ってやれば次のようになります。

Y＝∫(0→1) 2x dx　（2xをx＝0～1まで積分するという意味です：定積分といいます）
Y＝［x^2＋C］0→1　（積分演算をして［ ］で囲みます）
Y＝（1^2＋C）－（0^2＋C）　（積分した式にx＝1とx＝0を代入して引き算します）
Y＝1　（解：この三角形の面積）

もし、x＝0.5～1までの面積を求める場合は、Y＝∫(0.5→1) 2x dx　と書いて、同じ計算をします。


【ランプ波（ノコギリ波）の実効値】
では、図のようなランプ波の実効値（rms）を積分で求めてみましょう。

黄色の面積は平均値ですよ。勘違いの無いように。
このランプ波の最大値＝1、平均値＝0.5であることは、この図から明らかですね。

さて、実効値はどうなるでしょう。
実効値（RMS）は：Root Mean Square（2乗平均、平方根）ですから
2乗平均して、平方根を計算すればいいわけですね。

このランプ波の半波が作る三角形の斜辺は、関数　v＝t　で表せます。これを2乗すると
v^2＝t^2　です。この関数を波形として表すと、2次関数ですから下図のようになります。
　
黄色で示している面積が2乗平均です。さっそく定積分して面積を求めてみましょう。

V^2＝∫(0→1) t^2 dt
V^2＝［（1/3）t^3］0→1　　t＝1を代入して
V^2＝1/3　＝0.33　　　これが2乗平均です。よって実効値は
V＝√（1/3）＝0.577　と求められます。

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