ダークマター・３７・アインシュタインが目指した宇宙

最初はアインシュタインが１９１７年の論文で発表したアインシュタイン宇宙から始めましょう。

それはアインシュタイン方程式のページの「宇宙項」に記述があります。（http://archive.fo/lC94a）
↓
『アインシュタインがこの項を導入した理由については諸説あるが、一般に有名なのは、彼自身が信じる静止宇宙モデルを実現するためという説である。
1917年論文の宇宙モデルは重力と宇宙項による反重力とが釣り合う静止宇宙だった。』

しかしながら、まずはアインシュタインの問題認識から始めます。
これもまあ諸説ありますが、「有限の宇宙空間に物質が一様に分布していたら、その空間はいずれは収縮するだろう」という認識がベースにある、という考え方を採用します。

それはたとえばこういう状況ですね。
初期条件
H0＝ー１、Ωm＝2.1、ΩΛ＝0、a(0)=1
Ωｋ＝(1-Ωm-ΩΛ）＝（１－2.1－0）＝ー1.1
それで解くべき式は
x’＝-（2.1/x-(1.1000))^0.5
入力文は
『ルンゲ・クッタ法でx’＝-（2.1/x-(1.1000))^0.5,x(0)=1を-10.8から20.5まで解く, h = .005』
結果は
http://archive.fo/8rssb
実行アドレス

ｔ＝ー２．３あたりでH＝０、つまりこの時点ではこの宇宙は膨張も収縮もせずに静止しています。
しかしながら臨界密度の２倍以上の物質があるので重力により収縮が始まる。
そういうありさまを示しています。

「いや、そうはいうものの、本当にｔ＝－２．３でH=0なの？」と聞かれそうです。
それでH0＝＋１でこの宇宙の前半がどうなっていたか、確かめてみる事になります。

初期条件
H0＝＋１、Ωm＝2.1、ΩΛ＝0、a(0)=1
Ωｋ＝(1-Ωm-ΩΛ）＝（１－2.1－0）＝ー1.1
それで解くべき式は
x’＝（2.1/x-(1.1000))^0.5
入力文は
『ルンゲ・クッタ法でx’＝（2.1/x-(1.1000))^0.5,x(0)=1を-10.8から20.5まで解く, h = .005』
結果は
http://archive.fo/JNf7k
実行アドレス

ビッグバンから始まったこの宇宙はスケール因子が１．９あたりまで膨らんで、そこがこの宇宙の大きさのピークになっています。（注１）
そうでありますから、あとは収縮するしかない訳で、膨張から収縮に変化するその瞬間にH=0が実現していることがわかります。

ちなみにウルフラムの４次ルンゲ・クッタ数値解析法ではάの値がプラス無限大、あるいはマイナス無限大になると、それはつまりビッグバンのスタートポイント、あるいはビッグクランチのエンドポイントに相当する点ですが、そこでは計算値が発散し、計算終了となる模様です。
そうしてまた同様にάがゼロとなる点でも計算終了となる、そうなると初期条件H0＝＋１というのはビッグバンからάがゼロに至る膨張過程の計算をすることになります。
同様に初期条件H0＝ー１というのはάがゼロからビッグクランチ（もちろんそう呼ばれるポイントがあれば、ですが）までに至る収縮過程の計算を指示していることになります。


さあそうなりますとアインシュタインとしては、そのH=0の瞬間を引き延ばせばよい、という事になります。
それで「重力に釣り合うように宇宙定数Λを導入する」ということになりました。

初期条件
H0＝＋１、Ωm＝2.1、ΩΛ＝0.0512599025、a(0)=1
Ωｋ＝(1-Ωm-ΩΛ）＝ー1.1512599025
それで解くべき式は
x’＝1（2.1/x-(1.1512599025)+0.0512599025x^2)^0.5
入力文は
『ルンゲ・クッタ法でx’＝1（2.1/x-(1.1512599025)+0.0512599025x^2)^0.5,x(0)=1を-1.8から50.5まで解く, h = .005』
結果は
http://archive.fo/DCeUB
実行アドレス
↑
さてこの宇宙、Ωm＝2.1に対してΩΛ＝0.0512599025と１０ケタの精度まで調整してみました。
宇宙の大きさは宇宙定数Λの効果によって宇宙のピーク位置が１．９から２．７３まで大きくなっています。（注２）
そうしてほぼ静止している様にみえる時間が一瞬からｔ=10からｔ＝４０までと随分と拡大しました。
しかしながらｔ＝４０を超えたあたりから再膨張が始まっています。
そしてほぼ静止している様にみえる場所は厳密にはά＝０にはなっておらず、ほぼゼロなのですが、わずかにά＞０となっています。

さて次にΩΛが0.0000000003ほど小さな値、ΩΛ＝0.0512599022の場合はどうなるのでしょうか？

初期条件
H0＝＋１、Ωm＝2.1、ΩΛ＝0.0512599022、a(0)=1
Ωｋ＝(1-Ωm-ΩΛ）＝ー1.1512599022
それで解くべき式は
x’＝1（2.1/x-(1.1512599022)+0.0512599022x^2)^0.5
入力文は
『ルンゲ・クッタ法でx’＝1（2.1/x-(1.1512599022)+0.0512599022x^2)^0.5,x(0)=1を-1.8から50.5まで解く, h = .005』
結果は
http://archive.fo/vv8Xd
実行アドレス
↑
t=27.5あたりでά=0、つまりピークに到達しています。（注３）
それをすぎれば後は収縮するのみ、来た道を逆にもどってビッククランチとなります。
確認されたい方はH0=-1と変更の上、妥当な計算範囲を指定して計算してみてください。

さてそういう訳で、アインシュタインの宇宙はロバストではありませんでした。
「とがった鉛筆を芯を下にして机の上に立てる」と、そういう事と同じであります。
こうしてアインシュタインの宇宙は最終的には再膨張するか、収縮してビッククランチにいたると、そういう運命である事がわかります。

このような話はΩΛを0.0512599022～0.0512599025の間で好みの精度まで上げて計算することは可能ですが、所詮は「宇宙の運動を止める事はできない」という事を再確認することになります。
つまりは「アインシュタインが目指した『永遠の静止宇宙』というのは宇宙項の導入では実現できない」とそういう事であります。

そうしてハッブルによる「宇宙は実際は膨張している」という宣言によってアインシュタインは最終的に宇宙項Λを取り下げる事になるのでありました。

PS
宇宙項Λはこうしてアインシュタインによって提案され取り下げられましたが、その後宇宙の年齢と一番古い恒星の年齢との間にある矛盾を解消するために再登場します。
そうしてそうこうしている内に「宇宙は加速膨張している」という発見によって、今度は「加速膨張の原因としての宇宙項＝ダークエネルギー」として再度評価される事になったと、これはなかなか数奇な運命をたどってきたのであります。

注１
H=0の時のスケール因子aの値は簡単に計算できます。
x’＝（2.1/x-(1.1000))^0.5＝０ですから
2.1/x-(1.1000)＝０
従って
x=2.1/1.1=1.90909090・・・・（－＞循環少数）

注２
注１と同様に
x’＝1（2.1/x-(1.1512599025)+0.0512599025x^2)^0.5＝０を考えます。
2.1/x-(1.1512599025)+0.0512599025x^2＝０ですから、この式の根を求めればよいのです。
ウルフラム入力文は
『2.1/x-(1.1512599025)+0.0512599025x^2の根』で
結果は
http://archive.fo/gQXTE
実行アドレス
根は３つあり但し実根はマイナスエリアにあってプラスエリアには２つの虚根がある、という事です。
そして２つの虚根の実部は2.73613であり、この値はグラフからの読み値に合っています。

注３
同様にして
x’＝1（2.1/x-(1.1512599022)+0.0512599022x^2)^0.5＝０とします。
2.1/x-(1.1512599022)+0.0512599022x^2＝０より
ウルフラム入力文は
『2.1/x-(1.1512599022)+0.0512599022x^2の根』で
結果は
http://archive.fo/EWTt8
実行アドレス
根は３つあり全て実根です。
そしてプラスエリアの２つの根の内、値の小さな方に最初にぶつかり、そこでこの宇宙はH=0となります。
それでその時のスケール因子の値が2.73608という訳です。

注４
アインシュタインは開いた宇宙≒無限に体積があり物質が存在する宇宙を嫌った、という論点からまとめられた記事もあるようです。
・アインシュタインはなぜ宇宙項を導入したか？
↑
『アインシュタインの問題意識は、空虚な無限空間を拒否するという点において、コペルニクス以来の天文学者のそれと共通する。
・・・・・
無限に拡がった空間に無限大の物質があると仮定すると、あらゆる地点に無限遠を含む周辺からの影響が及ぶため、重力場を一意的に決められなくなる31)。
「物質は空間に瀰漫しているが、その総量は有限である」という状況を現実的なモデルで表現しなければならない。
こうして彼が到達するのが、空間が一様な正の曲率を持ち、閉じた球面を構成しているというモデルである。
この場合、空間はどの部分もほぼ一定の密度で物質を含んでおり、全ての物質から遠く離れた宇宙の辺境はどこにも存在しない。
・・・・・』
個人的な感想としては「開いた宇宙＝無限に体積があり無限に物質が存在する宇宙」というのは当方の想像力をこえており、そうであればアインシュタインの立場「プラスの曲率をもった宇宙」というアイデアに賛同するものであります。


・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと　一覧＜－－リンク


http://archive.fo/vSdQQ
http://archive.fo/uXTgG

『表現の不自由展』中止に関連して、その２。

・あいちトリエンナーレ問題、津田氏の弁解に専門家が疑問　「出展拒否で事前“検閲”発生」釈明は「的外れ」
・その２

『　弁護士の高橋裕樹氏は「検閲の定義は、行政権が主体となり、表現物について事前に内容を審査して、不適切と認めるものの発表を禁止することだ。
今回は、美術展で裁量のある人間（＝津田氏）が展示品を選択する場面であり、事前に発表を禁止する性質のものではない。
公的資金が入るイベントか否かに関わらず、検閲という言葉は的外れだ」と解説した。
・・・・・
　麗澤大学の八木秀次教授（憲法学）は「逃げ口上に感じる」と指摘し、続けた。

　「表現の自由（憲法２１条）といえども、公共の福祉の制約（同１２条）を受ける。
芸術も、表現の自由において特権的地位がないこともある。
（津田氏が）これを理解できなかったことが最初のボタンの掛け違いだ。
『仕方なく出品した』という“弱者の立場”に立った弁解に聞こえるが、芸術監督は主催者側の立場にある。
『どういう展示が良いか』、きちんと作家と話し合うべきだった。作家の一方的な責任にしているように感じる」』
↑
上記２つの意見に同意します。

PS
・脅迫メール送信者の特定を　「不自由展」再開条件で津田氏
↑
全てを警察に任せる、というのではあまりにも監督として「不甲斐ないように」思えます。

そんな風でしかない「あいちトリエンナーレ２０１９」に対する抗議であるように思えます。
↓
・８人の展示を一時中止　国際芸術祭、２０日から

PS
・「表現の不自由展・その後」で「天皇を燃やした」と攻撃されている大浦信行さんに話を聞いた
↑
政治的な文脈で一部分だけを切り出して報道する。

そういうのはマスコミの常とう手段であって、これもまた「何をいまさら」というたぐいの事でありましょう。

そうして、そのような煽動にたやすく影響される、というならば、それは「修行が足りない」という事であります。

PS
・末期症状、あいちトリエンナーレ
前提疑われる公的国際美術展、第三者委員会は財務チェックを
↑
完全に同意します。

ここで指摘されているような内容について「本当にまっとうにやってたの？」という疑問は薄々感じておりましたので。

PS
・表現の不自由展中止、津田監督を厳重注意処分　判断などで「背信とのそしり免れない」　愛知知事
↑
芸術監督さんの「出来の悪さ」については同意するものの、ご自分の責任についてはどのように考えておられるのか、そのあたりが不明でありますなあ、大村さん。
↓
・愛知・大村知事「誹謗中傷ブロック宣言」の波紋　「気に入らない表現も受け止めるのが民主主義の原点」大見えを切っていたが…

・「条件整えば再開を」検証委中間報告　少女像で中止の「不自由展」

再開できるならそれがよいでしょうねえ。

そうなれば大村さんに対する評価も上がる、というものでありますよ。

PS
・あいちトリエンナーレへの補助金を交付せず　文化庁発表

法律に従ったまで、、、というロジックでしょうか。

・津田大介氏、文化庁が「あいちトリエンナーレー」への補助金不交付の方針に「ようやるわ」

ご自分の不手際を棚に上げたような発言に聞こえます。
http://archive.fo/9GGid

PS
・文化庁の補助金不交付、アーティストから嘆きの声 「日本では自由な表現ができない」
↑
なるほど日本という国はそういう国になっているのだ、という事がよくわかりますねえ、安倍さん。
↓
・脅迫→展示中止→補助金不交付「あしき前例」　不自由展

PS
・「表現の不自由展」の再開合意　１０月６～８日で協議

さて、電話、Faxで抗議してくる勢力の動きはどうなるのか？

要注目であります。

PS
・トリエンナーレ補助金の審査委員が辞意「審査意味ない」

文化庁の「御用審議会」、要するに「飾りに過ぎない」という事の様ですね、安倍さん。

PS
・津田大介氏「匿名の群衆からの抑圧があった」。

これに対し津田氏は、「匿名の群衆から『あいちトリエンナーレ』への抑圧」があったと答えた。

「僕は、抗議をしてきた人たちの大半は、お客さんじゃないと思っています。
なぜなら、見ていないから。
お客さんであるかどうか、愛知県民であるかどうか分からない。
展示を見ていない、議論に参加する気もない匿名の群衆から『あいちトリエンナーレ』に対する抑圧が大量にあった」
↑
津田氏の意見には半分は了解できますが、半分については否定的ですね。

「見ていなくて、お客でなくて、愛知県民でないから意見をいえないのか？」

その様な津田さんの見方には賛同できませんね。
自分たちの準備不足、という側面についての反省がいまだに無い様です。