―「一昨日（令和元年０７月１７日）」の記事を「補足」します。―
（01）
〈ヤフー！知恵袋、質問〉
twi********さん2008/9/1413:49:40
ド・モルガンの法則について
ド・モルガンの法則をほとんど日本語だけで説明できますか？
（02）
「日本語」だけで言ふと、
① ＰとＱの、少なくとも、一方はウソである。
② ＰとＱが、両方とも本当である。といふことはない。
に於いて、
①＝② であるならば、「ド・モルガンの法則（Ⅰ）」は「正しい」。
（03）
③ ＰとＱは、両方とも、ウソである。
④ ＰとＱの、どちらか一方が、本当である。といふことはない。
に於いて、
③＝④ であるならば、「ド・モルガンの法則（Ⅱ）」は「正しい」。
（04）
① ＰとＱの、少なくとも、一方はウソである。
② ＰとＱが、両方とも本当である。といふことはない。
③ ＰとＱは、両方とも、ウソである。
④ ＰとＱの、どちらか一方が、本当である。といふことはない。
を、「論理語（Logical term）」で書くと、
① ～Ｐ∨～Ｑ
② ～（Ｐ＆ Ｑ）
③ ～Ｐ＆～Ｑ
④ ～（Ｐ∨ Ｑ）
といふ「式」になる。
従って、
（05）
① ～Ｐ∨～Ｑ ＝ＰとＱの、少なくとも、一方はウソである。
② ～（Ｐ＆ Ｑ）＝ＰとＱが、両方とも本当である。といふことはない。
③ ～Ｐ＆～Ｑ ＝ＰとＱは、両方とも、ウソである。
④ ～（Ｐ∨ Ｑ）＝ＰとＱの、どちらか一方が、本当である。といふことはない。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
このことを、「ド・モルガンの法則」と言ふ。
然るに、
（06）
① ～Ｐ∨～Ｑ
② ～（Ｐ＆ Ｑ）
③ ～Ｐ＆～Ｑ
④ ～（Ｐ∨ Ｑ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
といふことを、「命題計算（Propositional calculation）」で示すと、次（06）の通りである。
（07）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｅ
７（ア）～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア
（ⅱ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） ～Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～Ｑ ８ＤＮ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ２ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｑ １＆Ｅ
８（８） Ｑ Ａ
１ ８（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４６８ア∨Ｅ
１２ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ） ～（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
（ⅳ）
１ （１） ～（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
６ （６） Ｑ Ａ
６ （７） Ｐ∨ Ｑ ６∨Ｉ
１ ６ （８） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） １７＆Ｉ
１ （９） ～Ｑ ６８ＲＡＡ
１ （ア） ～Ｐ＆～Ｑ ５９＆Ｉ
（08）
① ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
② ～（Ｐ＆ Ｑ∨ Ｒ）
③ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
④ ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
といふことを、「命題計算」で示すと、次（08）の通りである。
（09）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ２５ＲＡＡ
７ （７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｅ
７ （ア）～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ２９ＲＡＡ
イ（イ） ～Ｒ Ａ
２ （ウ） Ｒ ２＆Ｅ
２ イ（エ） ～Ｒ＆Ｒ イウ＆Ｉ
イ（オ）～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ２エＲＡＡ
１ （カ）～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １３６７アイオ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ ＆Ｒ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ４∨Ｉ
２３ （６） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２５＆Ｉ
２ （７） ～～Ｐ ３６ＲＡＡ
２ （８） Ｐ ７ＤＮ
９ （９） ～Ｑ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ ９∨Ｉ
９ （イ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ア∨Ｉ
２ ９ （ウ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２イ＆Ｉ
２ （エ） ～～Ｑ ９ウＲＡＡ
２ （オ） Ｑ エＤＮ
カ（カ） ～Ｒ Ａ
カ（キ） ～Ｑ∨～Ｒ カ∨Ｉ
カ（ク） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ キ∨Ｉ
２ カ（ケ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２ク＆Ｉ
２ （コ） ～～Ｒ カケＲＡＡ
２ （サ） Ｒ コＤＮ
２ （シ） Ｐ＆ Ｑ ８オ＆Ｉ
２ （ス） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ サシ＆Ｉ
１２ （セ） ～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ Ｒ） １ス＆Ｉ
１ （ソ）～～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２セＲＡＡ
１ （タ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ソＤＮ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｑ １＆Ｅ
８ （８） Ｑ Ａ
１ ８ （９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
８ （ア）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １９ＲＡＡ
１ （イ） ～Ｒ １＆Ｅ
ウ（ウ） Ｒ Ａ
１ ウ（エ） ～Ｒ＆Ｒ イウ＆Ｉ
ウ（オ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １エＲＡＡ
２ （カ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） ２４６８アウオ∨Ｅ
１２ （キ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １カ＆Ｉ
１ （ク） ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） １キＲＡＡ
（ⅳ）
１ （１） ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ３∨Ｉ
１２ （５） ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＆
（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） １４＆Ｉ
１ （６） ～Ｐ ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
７ （８） Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
７ （９） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ８∨Ｉ
１ ７ （ア） ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＆
（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） １９＆Ｉ
１ （イ） ～Ｑ ７アＲＡＡ
ウ （エ） Ｒ Ａ
ウ （オ） Ｑ∨ Ｒ エ∨Ｉ
ウ （カ） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
１ ウ （キ） ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＆
（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） １カ＆Ｉ
１ （ク） ～Ｒ エキＲＡＡ
１ （ケ） ～Ｐ＆～Ｑ ６イ＆Ｉ
１ （コ） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ クケ＆Ｉ
然るに、
（07）～（09）により、
（10）
「同じこと（計算）」を、繰り返し、行へば良いため、
① ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ
② ～（Ｐ＆ Ｑ∨ Ｒ∨ Ｓ）
③ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ＆～Ｓ
④ ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ∨ Ｓ）
に於いても、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（11）
① ＰとＱとＲのうちの、少なくとも、１つはウソである。
② ＰとＱとＲが、３つとも本当である。といふことはない。
③ ＰとＱとＲは、３つとも、ウソである。
④ ＰとＱとＲの、どれらか１つが、本当である。といふことはない。
に於いて、明らかに、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（05）（08）（09）（11）により、
（12）
① ～Ｐ∨～Ｑ ＝ＰとＱの、少なくとも、一方はウソである。
② ～（Ｐ＆ Ｑ）＝ＰとＱが、両方とも本当である。といふことはない。
③ ～Ｐ＆～Ｑ ＝ＰとＱは、両方とも、ウソである。
④ ～（Ｐ∨ Ｑ）＝ＰとＱの、どちらか一方が、本当である。といふことはない。
並びに、
① ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ＝ＰとＱとＲのうちの、少なくとも、１つはウソである。
② ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＝ＰとＱとＲが、３つとも本当である。といふことはない。
③ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ ＝ＰとＱとＲは、３つとも、ウソである。
④ ～（Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）＝ＰとＱとＲの、どれらか１つが、本当である。といふことはない。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
このことを、「ド・モルガンの法則」と言ふ。
然るに、
（13）
①「被告の主張」と「原告の主張」のうち、少なくとも、一方は「ウソ」である。
②「原告の主張」と「被告の主張」が、両方とも「本当」である。といふことはない。
といふ「命題（日本語）」に於いて、
①＝② である。
といふことを、「理解」できない日本人は、ほとんど、ゐないはずである。
従って、
（14）
① ～Ｐ∨～Ｑ＝～（Ｐ＆Ｑ）
③ ～Ｐ＆～Ｑ＝～（Ｐ∨Ｑ）
といふ「ド・モルガンの法則」は、「命題」として、「言葉（日本語）」で言ふと、「メチャクチャ、簡単」である。
然るに、
（15）
高校生にとっての「ド・モルガンの法則」は、
のやうな「ベン図」を用ひての、「集合同士の関係」であるため、
①「被告の主張」と「原告の主張」のうち、少なくとも、一方は「ウソ」である。
②「原告の主張」と「被告の主張」が、両方とも「本当」である。といふことはない。
といふ「命題」に於いて、
①＝② である。
といふことを、「理解」できたとしても、「ベン図」で説明される「ド・モルガンの法則」を、理解できるとは、限らない。
（16）
① ～Ｐ∨～Ｑ ＝ＰとＱの、少なくとも、一方はウソである。⇔
② ～（Ｐ＆ Ｑ）＝ＰとＱが、両方とも本当である。といふことはない。
だけでなく、当然、
① Ｐ∨ Ｑ ＝ＰとＱの、少なくとも、一方は本当である。⇔
② ～（～Ｐ＆～Ｑ）＝ＰとＱが、両方ともウソである。といふことはない。
の場合も、「ド・モルガンの法則」である。