（01）
アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセルの、数学原理（Principia Mathematica）における公理
（Ⅰ）（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ
（Ⅱ） Ｑ→（Ｐ∨Ｑ）
（Ⅲ）（Ｐ∨Ｑ）→（Ｑ∨Ｐ）
（Ⅳ） Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）→Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）
（Ⅴ）（Ｑ→Ｒ）→（Ｐ∨Ｑ→Ｐ∨Ｒ）
（沢田 允茂、現代論理学入門 、岩波新書 青版 C-14 新書、1962/5/2、１７３頁改）
然るに、
（02）
これらの「５つの公理」を、「自然演繹（E.J.ﾚﾓﾝ）」で、「証明」すると、次の通りである。
（Ⅰ）
１ （１）Ｐ∨Ｐ Ａ
２ （２）Ｐ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ （４）Ｐ １２２３３∨Ｅ
（Ⅱ）
１（１）Ｑ Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
（Ⅲ）
１ （１）Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２）Ｐ Ａ
２ （３）Ｑ∨Ｐ ２∨Ｉ
４（４） Ｑ Ａ
４（５）Ｑ∨Ｐ ４∨Ｉ
１ （６）Ｑ∨Ｐ １２３４５∨Ｅ
（Ⅳ）
１ （１）Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ） Ａ
２ （２）Ｐ Ａ
２ （３）Ｐ∨Ｒ ２∨Ｉ
２ （４）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ） ３∨Ｉ
５ （５） Ｑ∨Ｒ Ａ
６ （６） Ｑ Ａ
６ （７）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ） ６∨Ｉ
８（８） Ｒ Ａ
８（９） Ｐ∨Ｒ ８∨Ｉ
８（ア）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ） ９∨Ｉ
５ （イ）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ） ５６７８ア∨Ｅ
１ （ウ）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ） １２４５イ∨Ｅ
（Ⅴ）
１ （１）Ｑ→Ｒ Ａ
２ （２）Ｐ∨Ｑ Ａ
３ （３）Ｐ Ａ
３ （４）Ｐ∨Ｒ ３∨Ｉ
５（５） Ｑ Ａ
１ ５（６） Ｒ １５ＭＰＰ
１ ５（７）Ｐ∨Ｒ ６∨Ｉ
１２ （８）Ｐ∨Ｒ ２３４５７∨Ｅ
１ （９）Ｐ∨Ｑ→Ｐ∨Ｒ ２８ＣＰ
（ア）（Ｑ→Ｒ）→
（Ｐ∨Ｑ→Ｐ∨Ｒ） １９ＣＰ
然るに、
（03）
例（選言導入）
以下の推論について考えます。
今日は雨が降っている。ゆえに、今日は雨が降っているか、バカボンのパパは天才である。
命題変Ｑ,Ｐを、
Ｑ：今日は雨が降っている。
Ｐ：バカボンのパパは天才である。
とおくと、先の推論は、
Ｑ→（Ｐ∨Ｑ）
と定式化されます。選言導入より、これは妥当な推論です。
（Ｗｅｂサイト；ＷＩＩＳ改）
従って、
（01）（03）により、
（04）
Ｑ→（Ｐ∨Ｑ）
すなはち、「前言導入の規則（∨Ｉ）」は、「数学原理の、５つの公理」の中に、「２番目」そのものである。
加へて、
（02）により、
（05）
（Ⅰ）（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ
を除く、
（Ⅱ） Ｑ→（Ｐ∨Ｑ）
（Ⅲ）（Ｐ∨Ｑ）→（Ｑ∨Ｐ）
（Ⅳ） Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）→Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）
（Ⅴ）（Ｑ→Ｒ）→（Ｐ∨Ｑ→Ｐ∨Ｒ）
といふ「４つの公理」は、すべて、
（Ⅱ）今日は雨が降っている。ゆえに、今日は雨が降っているか、バカボンのパパは天才である。
といふ「選言導入の規則（∨Ｉ）」によって、「証明」される。
従って、
（04）（05）により、
（06）
（Ⅱ）今日は雨が降っている。ゆえに、今日は雨が降っているか、バカボンのパパは天才である。
といふ「選言導入の規則（∨Ｉ）」は、「ヲカシナ規則」であるとしても、「無くてはならない規則」である。
といふ、ことになる。
（01）
例（選言導入）
以下の推論について考えます。
今日は雨が降っている。ゆえに、今日は雨が降っているか、もしくは寒い。
命題変Ｐ,Ｑを、
Ｐ：今日は雨が降っている。
Ｑ：今日は寒い。
とおくと、先の推論は、
Ｐ ∴ Ｐ∨Ｑ
と定式化されます。選言導入より、これは妥当な推論です。
（Ｗｅｂサイト；ＷＩＩＳ）
従って、
（01）により、
（02）
例（選言導入）
以下の推論について考えます。
今日は雨が降っていない。ゆえに、今日は雨が降っていないか、バカボンのパパは天才である。
命題変Ｐ,Ｑを、
Ｐ：今日は雨が降っている。
Ｑ：バカボンのパパは天才である。
とおくと、先の推論は、
～Ｐ ∴ ～Ｐ∨Ｑ
と定式化されます。選言導入より、これは妥当な推論です。
然るに、
（03）
１（１） ～Ｐ Ａ
１（２） ～Ｐ∨Ｑ １選言導入の規則
１（３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
従って、
（02）（03）により、
（04）
命題変Ｐ,Ｑを、
Ｐ：今日は雨が降っている。
Ｑ：バカボンのパパは天才である。
とおくと、
１（１）今日は雨が降っていない。 Ａ
１（２）今日は雨が降っていないか、 バカボンのパパは天才である。 １選言導入の規則
１（３）今日、雨が降っているならば、バカボンのパパは天才である。 ２含意の定義
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（05）
① Ｐ，Ｐ→Ｑ ∴ Ｑ
② ～Ｐ，Ｐ→Ｑ ∴ Ｑ
に於いて、すなはち、
① Ｐである。ＰならばＱである。故に、Ｑである。
② Ｐでない。ＰならばＱである。故に、Ｑである。
に於いて、
① は、「妥当」であるが、
② は、「妥当」ではない。
ｃｆ.
「前件否定の誤謬」。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① 今日は雨が降っている。 今日、雨が降っているならば、バカボンのパパは天才である。故に、バカボンのパパは天才である。
② 今日は雨が降っていない。今日、雨が降っているならば、バカボンのパパは天才である。故に、バカボンのパパは天才である。
に於いて、
① は、「妥当」であるが、
② は、「妥当」ではない。
従って、
（04）（06）により、
（07）
１（１）今日は雨が降っていない。 Ａ
１（２）今日は雨が降っていないか、 バカボンのパパは天才である。 １選言導入の規則
といふ「推論」は、「妥当」である。が、
この時点で、
１（４）バカボンのパパは天才である。
とは、言へない、ことになる。
従って、
（08）
１（１）今日は雨が降っていない。 Ａ
１（２）今日は雨が降っていないか、もしくは寒い。 １選言導入の規則
といふ「推論」は、「妥当」である。が、
この時点で、
１（４）もしくは寒い。
とは、言へない、ことになる。
従って、
（07）（08）により、
（09）
１（１）今日は雨が降っていない。 Ａ
１（２）今日は雨が降っていないか、・・・・・・。 １選言導入の規則
といふ「推論」は、「妥当」である。が、
この時点で、
１（４）・・・・・・。
とは、言へない、ことになる。