（01）
①「ＡであってＢである。」
②「ＢであってＡである。」
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）
①「ＡであってＢである。」
②「ＢであってＡである。」
に於いて、
Ａ＝Ｐである。
Ｂ＝Ｑでない。
といふ「代入（replacement）」を行ふと、
①「Ｐであって、Ｑでない。」
②「Ｑでなくて、Ｐである。」
従って、
（01）（02）により、
（03）
①「Ｐであって、Ｑでない。」
②「Ｑでなくて、Ｐである。」
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
①「Ｐであって、Ｑでない。」
②「Ｑでなくて、Ｐである。」
に於いて、
①＝② であるならば、
①「Ｐであって、Ｑでない。」の「否定」。
②「Ｑでなくて、Ｐである。」の「否定」。
に於いても、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
①「Ｐであって、Ｑでない。」といふことはない。
②「Ｑでなくて、Ｐである。」といふことはない。
に於いても、
①＝② である。
然るに、
（06）
①「Ｐであって、Ｑでない。」といふことはない。
②「Ｑでなくて、Ｐである。」といふことはない。
といふことは、
①「Ｐであるならば、Ｑである。」
②「Ｑでないならば、Ｐでない。」
といふことに、他ならない。
従って、
（05）（06）により、
（07）
①「Ｐであるならば、Ｑである。」
②「Ｑでないならば、Ｐでない。」
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
①「Ｐであるならば、Ｑである。」
②「Ｑでないならば、Ｐでない。」
③「Ｐであって、Ｑでない。」といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことは、「述語計算」を用ひなくとも、「説明」出来る。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（ⅱ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１ ３（６） ～Ｐ
１ （７） ～Ｑ→～Ｐ ３６ＣＰ
従って、
（09）により、
（10）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
② Ｐ→ Ｑ
③ ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
① ならば、③ であり、
② ならば、③ である。
（11）
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １３ＭＰＰ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ⅳ）
１ （１） ～Ｑ→～Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
１２ （４） ～Ｐ １２ＭＰＰ
１２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
１ ３ （６）～～Ｑ ２５ＲＡＡ
１ ３ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ３７ＣＰ
９（９） Ｐ＆～Ｑ Ａ
９（ア） Ｐ ９＆Ｅ
９（イ） ～Ｑ ９＆Ｅ
１ ９（ウ） Ｑ ８アＭＰＰ
１ ９（エ） ～Ｑ＆Ｑ イウ＆Ｉ
１ （オ）～（Ｐ＆～Ｑ） ９エＲＡＡ
従って、
（11）により、
（12）
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
① ならば、③ であり、
② ならば、③ である。
従って、
（10）（12）により、
（13）
① Ｐ→ Ｑ ＝Ｐであるならば、Ｑである。
② ～Ｑ→～Ｐ ＝Ｑでないならば、Ｐでない。
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）＝ＰであってＱでない。といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（08）（13）により、
（14）
①「Ｐであるならば、Ｑである。」
②「Ｑでないならば、Ｐでない。」
③「Ｐであって、Ｑでない。」といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことは、「述語計算」を用ひなくとも、「述語計算」を用ひていても、「説明」出来る。
従って、
（14）により、
（15）
①「Ｐであるならば、Ｑである。」
②「Ｑでないならば、Ｐでない。」
に於いて、
①＝② である。
といふこと、すなはち、「対偶は等しい。」といふことは、「述語計算」を用ひなくとも、「述語計算」を用ひていても、「説明」出来る。