（01）
｛象、兎、馬、キリン｝を「変域（ドメイン）」とすると、
「鼻は象が長く、耳は兎が長く、顔は馬が長く、首はキリンが長い。」
従って、
（01）により、
（02）
① 鼻は、象が長い。⇔
① 鼻は、象は長く、象以外（兎、馬、キリン）は長くない。⇔
① ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝⇔
① すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない。
然るに、
（03）
１ （１）∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ Ａ
２ （２） ∃ｘ∃ｙ（鼻ｘｙ＆象ｙ） Ａ
１ （３） （鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ １ＵＥ
１ （４） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ １ＵＥ
１ （５） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ ４＆Ｅ
６ （６） ∃ｙ（鼻ａｙ＆象ｙ） Ａ
７（７） 鼻ａｂ＆象ｂ Ａ
１ ７（８） 長ａ ５７ＭＰＰ
１ ７（９） 象ｂ＆鼻ａｂ ７交換法則
１ ７（ア） 象ｂ＆鼻ａｂ＆長ｂ ７９＆Ｉ
１ ７（イ） ∃ｙ（象ｙ＆鼻ａｙ＆長ｙ） アＥＩ
１ ６ （ウ） ∃ｙ（象ｙ＆鼻ａｙ＆長ｙ） ６７イＥＥ
１ ６ （エ） ∃ｘ∃ｙ（象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｙ） ウＥＩ
１２ （オ） ∃ｘ∃ｙ（象ｙ＆鼻ｘｙ＆長ｙ） ２６エＥＥ
従って、
（02）（03）により、
（04）
（１）すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない。 然るに、
（２）あるｘとあるｙについて、ｘはｙの鼻であって、ｙは象である。 従って、
（３）あるｘとあるｙについて、ｙは象であり、ｘはｙの鼻であって、長い。
従って、
（04）により、
（05）
（１）鼻は象が長い。 然るに、
（２）象には鼻がある。従って、
（エ）ある象の鼻は長い。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
「鼻は象が長い。然るに、象には鼻がある。従って、象の鼻は長い。」
といふ「推論」は、「日本語」としても、「述語計算」としても、「妥当」である。
（07）
１ （１）∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ Ａ
２ （２） ∃ｘ∃ｙ（耳ｘｙ＆兎ｙ＆～象ｙ＆長ｘ） Ａ
１ （３） （鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ １ＵＥ
１ （４） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ １ＵＥ
１ （５） （鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ ４＆Ｅ
６ （６） ∃ｙ（耳ａｙ＆兎ｙ＆～象ｙ＆長ａ） Ａ
７ （７） 耳ａｂ＆兎ｂ＆～象ｂ＆長ａ Ａ
７ （８） 耳ａｂ ７＆Ｅ
７ （９） 兎ｂ ７＆Ｅ
７ （ア） ～象ｂ ７＆Ｅ
７ （イ） 長ａ ７＆Ｅ
７ （ウ） ～～長ａ イＤＮ
１ ７ （エ） ～（鼻ａｂ＆～象ｂ） ５ウＭＴＴ
８（オ） 鼻ａｂ Ａ
７８（カ） 鼻ａｂ＆～象ｂ アオ＆Ｉ
１ ７８（キ） ～（鼻ａｂ＆～象ｂ）＆
（鼻ａｂ＆～象ｂ） エカ＆Ｉ
１ ７ （ク） ～鼻ａｂ エキＲＡＡ
７ （ケ） 兎ｂ＆耳ａｂ ８９＆Ｉ
１ ７ （コ） 兎ｂ＆耳ａｂ＆～鼻ａｂ クケ＆Ｉ
１ ７ （サ） ∃ｙ（兎ｙ＆耳ａｙ＆～鼻ａｙ） コＥＩ
１ ６ （シ） ∃ｙ（兎ｙ＆耳ａｙ＆～鼻ａｙ） ６７サＥＥ
１ ６ （ス） ∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆耳ｘｙ＆～鼻ｘｙ） シＥＩ
１２ （シ） ∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆耳ｘｙ＆～鼻ｘｙ） ２６スＥＥ
従って、
（02）（07）により、
（08）
（１）すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない。 然るに、
（２）あるｘとあるｙについて、ｘはｙの耳であって、ｙは兎であって、象ではなく、ｘは長い。 従って、
（シ）あるｘとあるｙについて、ｙは兎であって、ｘはｙの耳であって、ｘはｙの鼻ではない。
従って、
（08）により、
（09）
（１）鼻は象が長い。 然るに、
（２）兎には長い耳があり、兎は象ではない。 従って、
（３）兎の耳は鼻ではない。
然るに、
（10）
① 兎が象ではなく、
② 兎の耳が鼻であって、
③ 兎の耳（鼻）が長い。
といふのであれば、
④ 鼻は象が長い＝象以外（兎、馬、キリン）の鼻は長くない。
といふことには、ならない。
従って、
（10）により、
（11）
① 兎が象ではなく、
③ 兎の耳が長く、
④ 鼻は象が長い＝象以外（兎、馬、キリン）の鼻は長くない。
といふのであれば、
② 兎の耳が鼻であっては、ならない。
従って、
（07）～（11）により、
（12）
「鼻は象が長い。然るに、ある兎には長い耳があり、兎は象ではない。従って、ある兎の耳は鼻ではない。」
といふ「推論」は、「日本語」としても、「述語計算」としても、「妥当」である。
従って、
（01）～（12）により、
（13）
① 鼻は、象が長い。⇔
① 鼻は、象は長く、象以外（兎、馬、キリン）は長くない。⇔
① ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝⇔
① すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない。
といふ「等式」は、「正しい」。
然るに、
（14）
（ⅱ）
１ （１）～∀ｘ∀ｙ｛ （鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ ＆ （鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～∀ｙ｛ （鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ ＆ （鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ １量化子の関係
１ （３）∃ｘ∃ｙ～｛ （鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ ＆ （鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ ２量化子の関係
４ （４） ∃ｙ～｛ （鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ ＆ （鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝ Ａ
５ （５） ～｛ （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ ＆ （鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ｝ Ａ
５ （６） ～［（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ］∨～［（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ］ ５ド・モルガンの法則
５ （７） ［（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ］→～［（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ］ ６含意の定義
８（８） ［（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ］ Ａ
５８（９） ～［（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ］ ７８ＭＰＰ
５８（ア） ～［～（鼻ａｂ＆～象ｂ）∨～長ａ］ ９含意の定義
５８（イ） ～～（鼻ａｂ＆～象ｂ）＆～～長ａ ア、ド・モルガンの法則
５８（ウ） （鼻ａｂ＆～象ｂ）＆ 長ａ イＤＮ
５ （エ） ［（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ］→［（鼻ａｂ＆～象ｂ）＆長ａ］ ８ウＣＰ
５ （オ） ∃ｙ｛［（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ］→［（鼻ａｙ＆～象ｙ）＆長ａ］｝ エＥＩ
４ （カ） ∃ｙ｛［（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ］→［（鼻ａｙ＆～象ｙ）＆長ａ］｝ ４５オＥＥ
４ （キ） ∃ｘ∃ｙ｛［（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ］→［（鼻ｘｙ＆～象ｙ）＆長ｘ］｝ カＥＩ
１ （ク） ∃ｘ∃ｙ｛［（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ］→［（鼻ｘｙ＆～象ｙ）＆長ｘ］｝ ３４キＥＥ
（ⅲ）
１ （１） ∃ｘ∃ｙ｛［（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ］→［（鼻ｘｙ＆～象ｙ）＆長ｘ］｝ Ａ
２ （２） ∃ｙ｛［（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ］→［（鼻ａｙ＆～象ｙ）＆長ａ］｝ Ａ
３ （３） ［（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ］→［（鼻ａｂ＆～象ｂ）＆長ａ］ Ａ
４（４） ［（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ］ Ａ
３４（５） ［（鼻ａｂ＆～象ｂ）＆長ａ］ ３４ＭＰＰ
３４（６） （鼻ａｂ＆～象ｂ） ５＆Ｅ
３４（７） ～～（鼻ａｂ＆～象ｂ） ６ＤＮ
３４（８） 長ａ ５＆Ｅ
３４（９） ～～長ａ ８ＤＮ
３４（ア） ～～（鼻ａｂ＆～象ｂ）＆～～長ａ ７９＆Ｉ
３４（イ） ～［～（鼻ａｂ＆～象ｂ）∨～長ａ］ ア、ド・モルガンの法則
３４（ウ） ～［（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ］ イ含意の定義
３ （エ） ［（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ］→～［（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ］ ４ウＣＰ
３ （オ） ～［（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ］∨～［（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ］ エ含意の定義
３ （カ） ～｛（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ ＆ （鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ｝ オ、ド・モルガンの法則
３ （キ） ∃ｙ～｛（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆ （鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ｝ カＥＩ
２ （ク） ∃ｙ～｛（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆ （鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ｝ ２３キＥＥ
２ （ケ）∃ｘ∃ｙ～｛（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆ （鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ｝ クＥＩ
１ （コ）∃ｘ∃ｙ～｛（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆ （鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ｝ １２ケＥＥ
１ （サ）∃ｘ～∀ｙ｛（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆ （鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ｝ コ量化子の関係
１ （シ）～∀ｘ∀ｙ｛（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆ （鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ｝ サ量化子の関係
従って、
（14）により、
（15）
② ～∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ ＆ （鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝
③ ∃ｘ∃ｙ｛［（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ］→［（鼻ｘｙ＆～象ｙ）＆ 長ｘ］｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（15）により、
（16）
② すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない。といふわけでない。
③ あるｘがあるｙの鼻であって、ｙは象であり、ｘが長いならば、 あるｘはあるｙの鼻であって、ｙは象ではなく、ｘは長い。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（17）
③ あるｘがあるｙの鼻であって、ｙは象であり、ｘが長いならば、 あるｘはあるｙの鼻であって、ｙは象ではなく、ｘは長い。
といふことは、
③ 象以外にも、鼻の長い動物がゐる。
といふことである。
然るに、
（18）
③ 象以外にも、鼻の長い動物がゐる。
といふことは、
① 鼻は、象が長い。
といふことではなく、
③ 鼻は、象も長い。
といふ、ことである。
従って、
（14）～（18）により、
（19）
② 鼻は、象も長い。⇔
② 鼻は、象は長く、象以外（バク、テングザル）も長い。⇔
② ～∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ ＆ （鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝⇔
② すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない。といふわけでない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（13）（19）により、
（20）
① 鼻は、象が長い＝ ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝。
② 鼻は、象も長い＝～∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝。
従って、
（20）により、
（21）
① 鼻は、象が長い。
② 鼻は、象も長い。
に於いて、
① の「否定」が、② であって、
② の「否定」が、① である。
といふ、ことになる。