（01）
（ⅰ）
１ （１）象は鼻は長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→ ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） １ＵＥ
３ （３） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） Ａ
１３ （４） ～象ａ ２３ＭＴＴ
１ （５） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）→～象ａ ３４ＣＰ
６（６） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） Ａ
６（７） 鼻ｂａ→～長ｂ ６ＵＥ
６（８） ～鼻ｂａ∨～長ｂ ７含意の定義
６（９） ～（鼻ｂａ＆ 長ｂ） ８ド・モルガンの法則
６（ア） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ９ＵＩ
６（イ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ア量化子の関係
１ ６（ウ） ～象ａ ５イＭＰＰ
１ （エ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）→～象ａ ６ウＣＰ
１ （オ）∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）→～象ｘ｝ エＵＩ
１ （〃）鼻が長くないのであれば、象ではない。 エＵＩ
ｃｆ.
１ （１）すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長い。 Ａ
１ （オ）すべてのｘと、すべてのｙについて、ｙがｘの鼻であるとして、ｙが長くないならば、ｘは象ではない。 エＵＩ
（ⅱ）
１ （１）鼻が長くないのであれば、象ではない。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）→～象ｘ｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）→～象ａ １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
３ （４） ～～象ａ ３ＤＮ
１３ （５） ～∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ２４ＭＴＴ
１３ （６） ∃ｙ～（鼻ｙａ→～長ｙ） ５量化子の関係
７（７） ～（鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
７（８） ～（～鼻ｂａ∨～長ｂ） ７含意の定義
７（９） ～～鼻ｂａ＆～～長ｂ ８ド・モルガンの法則
７（ア） 鼻ｂａ＆ 長ｂ ９ＤＮ
７（イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） アＥＩ
１３ （ウ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ３７イＥＥ
１ （エ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ３ウＣＰ
１ （オ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝ エＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ｛ 象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝＝象は鼻は長い。
② ∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）→～象ｘ｝＝鼻が長くないのであれば、象ではない。
に於いて、両者は、「対偶（contraposition）」であり、それ故、
①＝② である。
然るに、
（03）
１ （１）象は鼻は長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→ ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） １ＵＥ
３ （３） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） Ａ
１３ （４） ～象ａ ２３ＭＴＴ
１ （５） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）→～象ａ ３４ＣＰ
６ （６） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） Ａ
６ （７） 鼻ｂａ→～長ｂ ６ＵＥ
６ （８） ～鼻ｂａ∨～長ｂ ７含意の定義
６ （９） ～（鼻ｂａ＆ 長ｂ） ８ド・モルガンの法則
６ （ア） ∀ｙ～（鼻ｂａ＆ 長ｂ） ９ＵＩ
６ （イ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ア量化子の関係
１ ６ （ウ） ～象ａ ５イＭＰＰ
１ （エ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）→～象ａ ６ウＣＰ
１ （オ） （鼻ｂａ→～長ｂ）→～象ａ エＵＥ
カ （カ）兎は鼻は長くない。 Ａ
カ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆～長ｙ）｝ Ａ
カ （キ） 兎ａ→ ∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ） カＵＥ
ク （ク）あるｘは兎である。 Ａ
ク （〃）∃ｘ（兎ｘ） Ａ
ケ （ケ） 兎ａ Ａ
カ ケ （コ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ） キケＭＰＰ
サ（サ） 鼻ｂａ＆～長ｂ Ａ
サ（シ） 鼻ｂａ サ＆Ｅ
サ（ス） ～長ｂ サ＆Ｅ
１ サ（セ） ～長ｂ→～象ａ オシＭＰＰ
１ サ（ソ） ～象ａ スセＭＰＰ
１ ケサ（タ） 兎ａ＆～象ａ ケソ＆Ｉ
１ ケサ（チ）∃ｘ（兎ｘ＆～象ｘ） タＥＩ
１ カ ケ （ツ）∃ｘ（兎ｘ＆～象ｘ） コサチＥＥ
１ カク （テ）∃ｘ（兎ｘ＆～象ｘ） クケツＥＥ
１ カク （〃）あるｘは兎であって、象ではない。 クケツＥＥ
１ カク （〃）ある兎は象ではない。 クケツＥＥ
従って、
（03）により、
（04）
（１）象は鼻は長い。 然るに、
（２）兎は鼻は長くない。 然るに、
（３）兎はゐる。 故に、
（４）ある兎は象ではない。
といふ「推論」は、「日本語」としても、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（05）
（１）象は鼻は長い。 然るに、
（２）兎は耳は長くない。 然るに、
（３）兎はゐる。 故に、
（４）ある兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
然るに、
（06）
（１）象は鼻は長く、鼻以外は長くない。 然るに、
（２）兎の耳は長く、兎の耳は鼻でない。 従って、
（３）ある兎が象であるならば、その象は、鼻以外は長くない、にも拘らず、耳も長い。といふことにある。 従って、
（４）ある兎が象である。といふことはない。
然るに、
（07）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）有る兎は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘは兎であって象である。 Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） １ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
２ ６ （ウ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
エ （エ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
オ（オ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （カ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （キ） ～鼻ｂａ→～長ｂ カＵＥ
２ ６ （ク） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ケ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ クＵＥ
オ （コ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６オ （サ） ～鼻ｂａ ケコＭＰＰ
１２ ６オ （シ） ～長ｂ キサコＭＰＰ
オ （ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６オ （セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ ウオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ナＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 ナＵＩ
ｃｆ.
１ （１）すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。 Ａ
２ （２）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、あるｙはｘの耳であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない。 Ａ
１２ （チ）あるｘが、兎であって、象である。といふことはない。 ３タＲＡＡ
従って、
（06）（07）により、
（08）
（１）象は鼻は長く、鼻以外は長くない。 然るに、
（２）兎の耳は長く、兎の耳は鼻でない。 従って、
（３）ある兎が象であるならば、その象は、鼻以外は長くない、にも拘らず、耳も長い。といふことにある。 従って、
（４）ある兎が象である。といふことはない。
といふ「推論」は、「日本語」としていも、「述語論理」としても、「妥当」である。