フーリエ変換とラプラス変換

時間tの関数f(t)をフーリエ変換すること、またラプラス変換することは、次式のような数学的演算を行うことです。

F(ω)＝∫[-∞ ∞] f(t)・e^-jωt dt ----- ①

F(s) ＝∫[ 0 ∞ ] f(t)・e^-st dt ----- ②

式①がフーリエ変換、式②がラプラス変換です。
こうやって並べると、見れば見るほどそっくりですね。式が示す意味や目的が別物であるとは思えないくらい似ています。違うのは積分範囲と、指数のsとjωだけ。この「似ている」に着目して、この両者の関係をちょいと探ってみましょう。

いろいろ調べると、両者は似ていて当たり前、大胆に捉えると同じものと言えそうです。そもそもsはjωを虚数として持つ複素数で、①と②は1つの式に集約されます。
（sの実部と積分範囲によって両者に分かれる）

では複素数 s＝δ+jω を使って両者を式③にまとめます。

F(s) ＝∫[-∞ ∞] f(t)・e^-(δ+jω)t dt ----- ③

式③において

δ＝0 とすると、式③はフーリエ変換の式①になりますね。
δ>0 かつ積分範囲を[ 0 ∞ ]とした場合がラプラス変換です。

よってラプラス変換の式は次のようになります。

F(s) ＝∫[0 ∞] f(t)・e^-(δ+jω)t dt　(δ>0)　----- ②-2

δ+jω＝s　として記述したものが、おなじみの
F(s) ＝∫[ 0 ∞ ] f(t)・e^-st dt　ですね。

さて、式②-2を変形すると

F(s) ＝∫[0 ∞] f(t)(e^-δt)(e^-jωt) dt

となります。
ということは、ラプラス変換はフーリエ変換されるf(t)に更に e^-δt をかけたものということです。［t<0 においてf(t)＝0 の場合］ 何はともあれ　s＝δ+jω これがポイントです。
δ>0　であり、δ＝0 に限りフーリエ変換ということですね。

【余談】
そもそも「数」＝「複素数」です。
複素数には特殊な場合が2つあり、虚数部＝0の場合が「実数」、実数部＝0の場合が「虚数」ということですね。

関連記事：
jωとsのコラボ 2009-06-27
LCR回路の過渡特性 2009-05-11