LCR回路の過渡特性

何はともあれやってみよう！
ラプラス変換を使ってLCR回路の過渡特性を求める　Part1

図の回路において、L=5mH、C=1000μF、R=2Ωとし、スイッチが10Vから0Vに切り換わった以後の電流i(t)の時間変化を求める。
ただしe(0)=0　i(0)=0　q(0)=10C

まず、この回路の方程式をたてる。
Rの両端電圧＝R i(t)
Cの両端電圧＝q(t)/C
Lの両端電圧＝L d i(t)/dt

これらの合計がe(t)であるから
L d i(t)/dt + R i(t) + q(t)/C＝e(t)　----- ① である。

と、方程式はできたものの、この式からスイッチが切換わった後のi(t)の流れる様子を見ようとしても、まずまったく見えてこない。最も大きな邪魔ものはL d i(t)/dt 、つまり式に微分が含まれているからだ（このような式を微分方程式という）。それで、この微分を取っ払って、分かりやすい式に書き換えるために「ラプラス変換」というツールを使おうじゃないかって話だ。耳慣れない「ラプラス変換」とは何者ぞ、と身構えなくともよろしい。まあとにかく気楽にやってみよう。式①をラプラス変換すると次のようになる。

LsI + RI + Q/C – Li(0)＝E
LsI + RI + Q/C＝E + Li(0)　-----②

はい出来上がり。さて、何をしたのか？
つまり、定数のLCRはそのままにして、d/dt をsに置き換え、tの関数であるi　q　eを大文字に書き換えただけのことだ。しかし、いきなり現れた項がある。– Li(0) は一体何だ？　実は、これはラプラス変換の定義により現れたものだけど、今は考えなくてもよろしい。

とにかく、微分関数df(t)/dtをラプラス変換したら－f(0)が付いてくる、つまりはsF－f(0) に置換わると機械的に覚え処理するべし。

さて②式　LsI + RI + Q/C＝E + Li(0) に関して、電荷q(t)と電流i(t)の関係を考える。

dq(t)/dt＝i(t)　　両辺をラプラス変換する。
sQ－q(0)＝I
Q＝(I+q(0) )/s　 これを式②に代入する。

Q/CにQ＝(I+q(0) )/s を代入すると
(I+q(0) )/Cs → I/Cs + q(0)/Cs よって②式は

LsI + RI + I/Cs ＝ E + Li(0)－q(0)/Cs　-----③となる。
（左辺にIの項を集めている）

右辺を計算する。

条件より i(0)＝0　q(0)＝10C
時刻t＝0 以後はスイッチ切り換えにより e(t)＝0
よってE＝0

よって③式は
（Ls + R + 1/Cs）I ＝ 0 + 0－10C/Cs
（Ls + R + 1/Cs）I ＝ －10/s　-----④　となる。

変形して
〔（Ls^2 + Rs + 1/C）/s〕I ＝ －10/s
両辺にsをかけて
（Ls^2 + Rs + 1/C）I ＝ －10
I＝－10 /（Ls^2 + Rs + 1/C）
I＝－10 / L(s^2 + sR/L + 1/LC）-----⑤

I＝－10 / L(s^2 + sR/L + 1/LC）　分母分子をLで割って
I＝(－10 / L) / (s^2 + sR/L + 1/LC）-----⑥

この⑥式にLCRの数値を入れる
L=5mH、C=1000μF、R=2Ω であるから
I＝(－10 /5m ) / (s^2 + s2/5m + 1/5μ）

－10 / 5m ＝－2k　、2/5mm＝400　、1/5μ＝200k

I＝－2k / (s^2+ 400s + 200k）-----⑦

I＝－2k /〔(s+200)^2 + 200k－40k〕　 -----⑦－1
I＝－2k /〔(s+200)^2 + 160k〕　　　　-----⑦－2
I＝－2k /〔(s+200)^2 + (√160k)^2〕　-----⑦－3
I＝－2k / (s+200)^2 + 400) 　　　　　-----⑦－4

実は、この無意味にも見える式⑦－1～4の変形がミソなのである。つまり、変換したものは元に戻せるから変換なわけで、式②～式⑦まではすべてラプラス変換後の演算であり、式⑦－1～4では、逆変換して元の式に戻す準備をしていたのだ。

実際にはラプラス変換をツールとして使うために、変換表なるものが用意されている。基本的な変換式は覚えておくと何かと便利であるが、ともかくこの変換表の中に、次のような変換式がある。

e^－□t sin△t　→（ラプラス変換）→　△ /〔（s + □^2 + △^2〕

〔 e（イプシロン）は自然対数の底で、約2.718の定数 〕

式⑦－4は、まさにこの変換式に当てはまりそうじゃないか、というわけだ。
△として400 を使いたいのでさらに変形して

I＝(－2k / 400) 400 /〔(s+200)^2 + 400^2 〕 -----⑧

さて、ではこの変換式に当てはめて式⑧を逆ラプラス変換してみよう。
まず、－2k / 400＝ －5
ここで、えいっ！と逆ラプラス変換すれば

i(t)＝－5・e^－200t sin 400t -----⑨

となり、ようやく求めたかったi(t)の関数式を得ることができたわけだ。
これは、ω＝400(rad/sec)　、つまりf＝400 / 2π　＝63.7Hzのサイン波であり、e^－200 tがかかっているので、i(t)は時間とともに減衰することがわかる。

しかし、L d i(t)/dt + R i(t) + q(t)/C＝e(t)　の定数（LCR）に数値を入れた式
5m d i(t)/dt + 2 i(t) + q(t)/1000μ＝e(t)　が
i(t)＝－5・e^－200t sin 400t　と同じものであり、ラプラス変換・逆変換することでこのように書き換えることができるのだから、面倒くさいけど、やっぱりラプラス変換はすごい。[そもそもラプラス変換は微分を含む式（微分方程式）を微分の無い式に書き換える（微分方程式を解くという）ためのツールである］

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