（01）
楚人有鬻盾与矛者。誉之曰、吾盾之堅、莫能陥也。又誉其矛曰、吾矛之利、於物無不陥也。或曰、以子之矛、陥子之盾、何如。其人弗能応也＝
楚の国の人で盾と矛とを売る者がいた。その人が自分の盾を誉めて言った。 私のこの堅い盾を突き通すことが出来るものは何も無い。 また、自分の矛を誉めて言った。 私のこの鋭い矛は、どんな物でも突き通さないものは無い。或るひとが言った。 あなたの矛で、あなたの盾を突いたらどうなるのか。 盾と矛を売る、その人は、答えることが、出来なかった（韓非子・矛盾）。
（02）
（ⅰ）
１ （１）∃ｘ（吾矛ｘ＆∀ｙ（～吾盾ｙ＆盾ｙ→陥ｘｙ）｝ Ａ
２ （２） 吾矛ａ＆∀ｙ（～吾盾ｙ＆盾ｙ→陥ａｙ） Ａ
２ （３） 吾矛ａ ２＆Ｅ
２ （４） ∀ｙ（～吾盾ｙ＆盾ｙ→陥ａｙ） ２＆Ｅ
２ （５） ～吾盾ｂ＆盾ｂ→陥ａｂ ４ＵＥ
６ （６） ～陥ａｂ Ａ
２６ （７） ～（～吾盾ｂ＆盾ｂ） ５６ＭＴＴ
２６ （８） 吾盾ｂ∨～盾ｂ ７ド・モルガンの法則
２６ （９） ～盾ｂ∨吾盾ｂ ８交換法則
２６ （ア） 盾ｂ→吾盾ｂ ９含意の定義
２ （イ） ～陥ａｂ→（盾ｂ→ 吾盾ｂ） ６アＣＰ
ウ（ウ） ～陥ａｂ＆ 盾ｂ Ａ
ウ（エ） ～陥ａｂ ウ＆Ｅ
２ ウ（オ） （盾ｂ→ 吾盾ｂ） イエＭＰＰ
ウ（カ） 盾ｂ ウ＆Ｅ
２ ウ（キ） 吾盾ｂ オカＭＰＰ
２ （ク） ～陥ａｂ＆盾ｂ→吾盾ｂ ウキＣＰ
２ （ケ） ∀ｙ（～陥ａｙ＆盾ｙ→吾盾ｙ） クＵＩ
２ （コ） 吾矛ａ＆∀ｙ（～陥ａｙ＆盾ｙ→吾盾ｙ） ３ケ＆Ｉ
２ （サ）∃ｘ｛吾矛ｘ＆∀ｙ（～陥ｘｙ＆盾ｙ→吾盾ｙ）｝ コＥＩ
１ （シ）∃ｘ｛吾矛ｘ＆∀ｙ（～陥ｘｙ＆盾ｙ→吾盾ｙ）｝ １２サＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ｛吾矛ｘ＆∀ｙ（～陥ｘｙ＆盾ｙ→吾盾ｙ）｝ Ａ
２ （２） 吾矛ａ＆∀ｙ（～陥ａｙ＆盾ｙ→吾盾ｙ） Ａ
２ （３） 吾矛ａ ２＆Ｅ
２ （４） ∀ｙ（～陥ａｙ＆盾ｙ→吾盾ｙ） ２＆Ｅ
２ （５） ～陥ａｂ＆盾ｂ→吾盾ｂ ４ＵＥ
６ （６） ～吾盾ｂ Ａ
２６ （７） ～（～陥ａｂ＆盾ｂ） ５６ＭＴＴ
２６ （８） 陥ａｂ∨～盾ｂ ７ド・モルガンの法則
２６ （９） ～盾ｂ∨陥ａｂ ８交換法則
２６ （ア） 盾ｂ→陥ａｂ ９含意の定義
２ （イ） ～吾盾ｂ→（盾ｂ→陥ａｂ） ６アＣＰ
ウ（ウ） ～吾盾ｂ＆ 盾ｂ Ａ
ウ（エ） ～吾盾ｂ ウ＆Ｅ
２ ウ（オ） （盾ｂ→陥ａｂ） イエＭＰＰ
ウ（カ） 盾ｂ ウ＆Ｉ
２ ウ（キ） 陥ａｂ オカＭＰＰ
２ （ク） ～吾盾ｂ＆盾ｂ→陥ａｂ ウキＣＰ
２ （ケ） ∀ｙ（～吾盾ｙ＆盾ｙ→陥ａｙ） クＵＩ
２ （コ） 吾矛ａ＆∀ｙ（～吾盾ｙ＆盾ｙ→陥ａｙ） ２ケ＆Ｉ
２ （シ）∃ｘ（吾矛ｘ＆∀ｙ（～吾盾ｙ＆盾ｙ→陥ｘｙ）｝ コＥＩ
１ （ス）∃ｘ（吾矛ｘ＆∀ｙ（～吾盾ｙ＆盾ｙ→陥ｘｙ）｝ １２シＥＥ
従って、
（02）により、
（03）
① ∃ｘ（吾矛ｘ＆∀ｙ（～吾盾ｙ＆盾ｙ→陥ｘｙ）｝
② ∃ｘ｛吾矛ｘ＆∀ｙ（～陥ｘｙ＆盾ｙ→吾盾ｙ）｝
に於いて、すなはち、
① あるｘは吾の矛であって、すべてのｙについて、ｙが吾の盾以外の盾であるならば、ｘはｙを陥す。
② あるｘは吾の矛であって、すべてのｙについて、ｘがｙを陥すことがなく、ｙが盾であるならば、ｙは吾の盾である。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
① 私の矛は、私の盾以外の、すべての盾を陥す。
② 私の矛が陥さない盾は、私の盾だけである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
① 私の矛は、私の盾を含む、すべての盾を陥す。
② 私の盾は、私の矛を含む、すべて矛を陥さない。
といふことは、「矛盾」であるが、
（06）
① 私の矛は、私の盾以外の、すべての盾を陥す。
② 私の矛が陥さない盾は、私の盾だけである。
といふことは、「矛盾」ではない。
従って、
（06）により、
（07）
吾矛之利、於非吾盾之盾無不陥也＝
吾矛之利、於〔非（吾盾）之盾〕無〔不（陥）〕也⇒
吾矛之利、〔（吾盾）非之盾〕於〔（陥）不〕無也＝
吾が矛の利なること、〔（吾が盾に）非さるの盾〕於いて〔（陥さ）不る〕無きなり＝
私のこの鋭い矛は、〔（私の盾）以外の盾に〕於いて〔（陥さ）ないことが〕無いのである。
であれば、「矛盾」しない。
（08）
因みに、
① 私のこの鋭い矛は、私の盾以外の盾において、貫さないことが無いのである（原文）。
② 我那尖銳的戟不會穿透我的盾牌以外的盾牌（グーグル翻訳）。
であるが、「私には、②が、全く、理解できない。」
（09）
① 吾矛之利、於非吾盾之盾無不陥也。
② 我那尖銳的戟不會穿透我的盾牌以外的盾牌。
といふ場合が、さうであるやうに、「漢文と、中国語は、完全に別物である」に違ひない。
（01）
― 矛盾・韓非子 ―
楚人有鬻盾与矛者。誉之曰、吾盾之堅、莫能陥也。又誉其矛曰、吾矛之利、於物無不陥也。或曰、以子之矛、陥子之盾、何如。其人弗能応也＝
楚人有［鬻〔盾与（矛）〕者］。誉（之）曰、吾盾之堅、莫（能陥）也。又誉（其矛）曰、吾矛之利、於（物）無〔不（陥）〕也。或曰、以（子之矛）、陥（子之盾）、何如。其人弗〔能（応）〕也⇒
楚人［〔盾（矛）与〕鬻者］有。（之）誉曰、吾盾之堅、（能陥）莫也。又（其矛）誉曰、吾矛之利、（物）於〔（陥）不〕無也。或曰、（子之矛）以、（子之盾）陥、何如。其人〔（応）能〕也弗＝
楚人に［〔盾と（矛）とを〕鬻ぐ者］有り。（之を）誉めて曰く、吾が盾の堅きこと、（能く陥す）莫きなり。又た（其の矛を誉めて）曰く、吾が矛の利なること、（物に）於いて〔（陥さ）不る〕無きなり。或ひと曰く、（子之矛を）以て、（子之盾を）陥さば、何如。其の人〔（応ふる）能は〕弗るなり＝
楚の国の人で盾と矛とを売る者がいた。その人が自分の盾を誉めて言った。 私のこの堅い盾を突き通すことが出来るものは何も無い。 また、自分の矛を誉めて言った。 私のこの鋭い矛は、どんな物でも突き通さないものは無い。或るひとが言った。 あなたの矛で、あなたの盾を突いたらどうなるのか。 其の盾と矛を売る人は、答えることが、出来なかった。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ｛盾ｘ＆ ∀ｙ（矛ｙ→～陥ｙｘ）｝ Ａ
２ （２） ∃ｙ｛矛ｙ＆～∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｙｘ）｝ Ａ
３ （３） 矛ｂ＆～∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｂｘ） Ａ
３ （４） 矛ｂ ３＆Ｅ
３ （５） ～∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｂｘ） ３＆Ｅ
３ （６） ∀ｘ～（盾ｘ＆～陥ｂｘ） ５含意の定義
３ （７） ～（盾ａ＆～陥ｂａ） ６ＵＥ
３ （８） ～盾ａ∨ 陥ｂａ ７ド・モルガンの法則
３ （９） 盾ａ→ 陥ｂａ ８含意の定義
３ （ア） ∀ｘ（盾ｘ→ 陥ｂｘ） ９ＵＩ
３ （イ） 矛ｂ＆ ∀ｘ（盾ｘ→ 陥ｂｘ） ４ア＆Ｉ
３ （ウ） ∃ｙ（矛ｙ＆ ∀ｘ（盾ｘ→ 陥ｙｘ）｝ イＥＩ
２ （エ） ∃ｙ（矛ｙ＆ ∀ｘ（盾ｘ→ 陥ｙｘ）｝ ２３ウＥＥ
オ （オ） 盾ａ＆ ∀ｙ（矛ｙ→～陥ｙａ） Ａ
オ （カ） 盾ａ オ＆Ｅ
オ （キ） ∀ｙ（矛ｙ→～陥ｙａ） オ＆Ｅ
オ （ク） 矛ｂ→～陥ｂａ キＵＥ
ケ（ケ） 矛ｂ＆ ∀ｘ（盾ｘ→ 陥ｂｘ） Ａ
ケ（コ） 矛ｂ ケ＆Ｅ
ケ（サ） ∀ｘ（盾ｘ→ 陥ｂｘ） ケ＆Ｅ
ケ（シ） 盾ａ→ 陥ｂａ サＵＥ
オケ（ス） ～陥ｂａ クコＭＰＰ
オケ（セ） 陥ｂａ カシＭＰＰ
オケ（ソ） ～陥ｂａ＆陥ｂａ スセ＆Ｉ
２ オ （タ） ～陥ｂａ＆陥ｂａ エケソＥＥ
１２ （チ） ～陥ｂａ＆陥ｂａ １オタＥＥ
１ （ツ）～∃ｙ（矛ｙ＆ ∀ｘ（盾ｘ→ 陥ｙｘ）｝ ２チＲＡＡ（背理法）
（ⅲ）
１ （１）～∃ｙ（矛ｙ＆ ∀ｘ（盾ｘ→ 陥ｙｘ）｝ Ａ
１ （２）∀ｙ～（矛ｙ＆ ∀ｘ（盾ｘ→ 陥ｙｘ）｝ １含意の定義
１ （３） ～（矛ｂ＆ ∀ｘ（盾ｘ→ 陥ｂｘ）｝ １ＵＥ
１ （４） ～矛ｂ∨～∀ｘ（盾ｘ→ 陥ｂｘ） ３ド・モルガンの法則
５ （５） ～矛ｂ Ａ
５ （６） ～矛ｂ∨ ∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｂｘ） ５∨Ｉ
７ （７） ～∀ｘ（盾ｘ→ 陥ｂｘ） Ａ
７ （８） ∃ｘ～（盾ｘ→ 陥ｂｘ） ７量化子の関係
９ （９） ～（盾ａ→ 陥ｂａ） Ａ
９ （ア） ～（～盾ａ∨陥ｂａ） ９含意の定義
９ （イ） 盾ａ＆～陥ｂａ ア、ド・モルガンの法則
９ （ウ） ∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｂｘ） イＥＩ
７ （エ） ∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｂｘ） ７９ウＥＥ
７ （オ） ～矛ｂ∨ ∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｂｘ） エ∨Ｉ
１ （カ） ～矛ｂ∨ ∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｂｘ） ４５６７オ∨Ｅ
１ （キ） ～｛矛ｂ＆～∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｂｘ）｝ カ、ド・モルガンの法則
１ （ク）∀ｙ～｛矛ｙ＆～∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｙｘ）｝ キＵＩ
１ （ケ）～∃ｙ｛矛ｙ＆～∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｙｘ）｝ ク量化子の関係
従って、
（02）により、
（03）
① ∃ｘ｛盾ｘ＆ ∀ｙ（矛ｙ→～陥ｙｘ）｝
② ∃ｙ｛矛ｙ＆～∃ｘ（盾ｘ＆～陥ｙｘ）｝
③ ～∃ｙ（矛ｙ＆ ∀ｘ（盾ｘ→ 陥ｙｘ）｝
に於いて、すなはち、
① あるｘは盾であって、すべてのｙについて、ｙが矛ならば、ｙはｘを陥さない。
② あるｙは矛であって、ｘは盾であって、ｙはｘを陥さないといふ、そのやうなｘは存在しない（二重否定）。
③ ｙは矛であって、すべてのｘについて、ｘが盾であるならば、ｙはｘを陥す、といふ、そのやうなｙは存在しない。
に於いて、
①と② は「矛盾」し、
② の「否定」は、
③ である。
従って、
（03）により、
（04）
① いかなる矛をも、陥さない盾が存在する。
② いかなる盾をも、陥す矛が存在する。
③ いかなる盾をも、陥す矛は存在しない。
に於いて、
①と② は「矛盾」し、
② の「否定」は、
③ である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① 吾盾之堅、莫（能陥）也。
② 吾矛之利、於（物）無〔不（陥）〕也。
③ 不｛有［無〔不（陷）〕之矛］｝也。
に於いて、
①と② は、「矛盾」し、
②と③ も、「矛盾」する。
といふことは、「述語論理」としても、「正しい」。
ｃｆ.
③ 不有無不陷之矛也＝
③ 不｛有［無〔不（陷）〕之矛］｝也⇒
③ ｛［〔（陷）不〕無之矛］有｝不也＝
③ ｛［〔（陷さ）不る〕無きの矛は］有ら｝不る也。
（01）
１（１）Ｐ 仮定
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
といふ「計算」は、
Ｐ（１）の行で「Ｐ」 を「真」であると「仮定」したところ、
Ｐ（１）の行で「Ｐ」 が得られたので、
（２）の行で「Ｐ→Ｐ」は「真」であるといふ「結論」を得た。
といふ「意味」である。
（02）
１（１）Ｐ＆Ｑ 仮定
１（２）Ｐ １＆Ｅ
（３）Ｐ＆Ｑ→Ｐ １２ＣＰ
といふ「計算」は、
Ｐ＆Ｑ（１）の行で「Ｐ＆Ｑ」 を「真」であると「仮定」したところ、
Ｐ＆Ｑ（２）の行で「Ｐ」 が得られたので、
（３）の行で「Ｐ＆Ｑ→Ｐ」は「真」であるといふ「結論」を得た。
といふ「意味」である。
（03）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ 仮定
２ （２） ～Ｐ∨Ｑ 仮定
２ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） ～Ｐ∨Ｑ→ Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
７ （７）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
７ （８） （Ｐ＆～Ｑ） ７ド・モルガンの法則
７ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ６７９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １ウＣＰ
といふ「計算」は、
（Ｐ→Ｑ）→Ｐ（１）の行で「（Ｐ→Ｑ）→Ｐ」 を「真」であると「仮定」したところ、
（Ｐ→Ｑ）→Ｐ（イ）の行で「Ｐ」 が得られたので、
（ウ）の行で「（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ」は「真」あるといふ「結論」を得た。
といふ「意味」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
①├ Ｐ→Ｐ≡ ＰならばＰである：同一律。
②├ Ｐ＆Ｑ→Ｐ≡ ＰであってＱであるならば、Ｐである：連言除去。
③├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰならばＱである）ならばＰである）ならばＰである。
といふ「３つの連式（Sequents）」は、３つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
さて演繹定理ですがどのようなものかと言いますと、
Γ，Ａ├ Ｂ ⇔ Γ├ Ａ→Ｂ
という命題です。
（演繹定理 - 暇人の暇人による暇人のためのブログ）
従って、
（05）により、
（06）
Γ，Ａ├ Ｂ ⇔ Γ├ Ａ→Ｂ
に於いて、
Γ＝空集合
Ａ＝（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
Ｂ＝Ｐ
であるとして、
（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）├ Ｐ ⇔ ├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
は、「演繹定理」である。
従って、
（03）（06）により、
（07）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ 仮定
２ （２） ～Ｐ∨Ｑ 仮定
２ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） ～Ｐ∨Ｑ→ Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
７ （７）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
７ （８） （Ｐ＆～Ｑ） ７ド・モルガンの法則
７ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ６７９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １ウＣＰ
といふ「証明」は、「演繹定理」による「証明」である。
然るに、
（08）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰならばＱである）ならばＰである）ならばＰである。
である所の「パースの法則」は、「演繹定理」によって「証明」出来る。
然るに、
（10）
パースの法則は直観論理や中間命題論理では成立せず、演繹定理だけからでは導くことができない（ウィキペディア）。
従って、
（09）（10）により、
（11）
├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰならばＱである）ならばＰである）ならばＰである。
である所の「パースの法則」が、演繹定理だけからでは導くことができない（ウィキペディア）。
といふのは、「マチガイ」であるに、違ひない。
―「昨日（令和０３年０３月１２日）の記事」を書き直します。―
（01）
① あるフランス人は寛大である。
② フランス人であって、尚且つ、寛大な人がゐる。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）
ｘ＝人
Ｆ＝フランス人である。
Ｇ＝寛大である。
として、
② フランス人であって、尚且つ、寛大な人がゐる。
③ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① あるフランス人は寛大である。
② フランス人であって、尚且つ、寛大な人がゐる。
③ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（04）
③ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
④ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
③＝④ ではない。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① あるフランス人は寛大である。
④ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
①＝④ ではなく、
従って、
（06）
「幾らかのフランス人は寛大である」を、正しく、
∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）と記号化するかわりに、むしろ、
∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）とするのは、よくある間違いである。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１２４頁）
然るに、
（07）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
といふ「３つの式」を比較すると、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② ではない。
といふことは、「見ただけで、すぐに分かる」。
すなはち、
（08）
｛ａ、ｂ、ｃ｝といふ｛３人｝が、｛変域（ドメイン）｝であるならば、
（ⅱ）
１ （１）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）→（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） Ａ
２（２）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
２（３） Ｆａ ２ＵＥ
２（４） Ｆａ∨Ｆｂ ３∨Ｉ
２（〃）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） ４∨Ｉ
１２（５） （Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） １５ＭＰＰ
１ （６）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） ２６ＣＰ
（ⅲ）
１ （１）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） Ａ
２ （２）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） Ａ
３（３） Ｆａ Ａ
３（４） Ｆａ＆Ｆｂ ３＃＆Ｉ（は不可。）
３（５） Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ ４＃＆Ｉ（は不可。）
２ （６）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） ２３ＥＥ
１２ （７） （Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） １６ＭＰＰ
１ （８）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）→（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） ２７ＣＰ
であって、それ故、
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② である。ではない。
といふことは、固より、「当然」である。
然るに、
（09）
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
２（２）∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（３） Ｆａ ２ＵＥ
２（４）∃ｘ（Ｆｘ） ２ＥＩ
１２（５） ∃ｘ（Ｇｘ） １２ＭＰＰ
１ （６）∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） ２５ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （２）～∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １ＵＥ
３ （３）～∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
３ （４）∃ｘ～（Ｆｘ） ３含意の定義
５ （５） ～Ｆａ Ａ
５ （６） ～Ｆａ∨Ｇａ ５∨Ｉ
５ （７） Ｆａ→Ｇａ ５含意の定義
８ （８） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
９ （９） Ｆａ Ａ
５ ９ （ア） Ｇａ ７９ＭＰＰ
５ ９ （イ） ∃ｘ（Ｇｘ） アＥＩ
５８ （ウ） ∃ｘ（Ｇｘ） ８９イＥＥ（に於いて、９は８に戻ったが、５が残ったので、マチガイである。）
５ （エ） ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） ８ウＣＰ
３ （オ） ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） ３５エＥＥ
カ（カ） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
カ（キ）～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ∨Ｉ
カ（ク） ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） キ含意の定義
１ （ケ） ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） ２３オカク∨Ｅ
従って、
（08）（09）により、
（10）
「述語計算」の「結果」も、果たして、
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② である。ではない。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２ （２） Ｆａ→Ｇａ Ａ
３（３） ∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
３（４） Ｆａ ３ＵＥ
２３（５） Ｇａ ２４ＭＰＰ
２３（６） ∃ｘ（Ｇｘ） ５ＥＩ
１ ３（７） ∃ｘ（Ｇｘ） １２６ＥＥ
１ （８）∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） ３７ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （２）～∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １含意の定義
３ （３）～∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
３ （４）∃ｘ～（Ｆｘ） ３量化子の関係
５ （５） ～Ｆａ Ａ
５ （６） ～Ｆａ∨Ｇａ ５∨Ｉ
５ （７） Ｆａ→Ｇａ ６含意の定義
５ （８） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ７ＥＩ
３ （９） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ４５８ＥＥ
ア （ア） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
イ（イ） Ｇａ Ａ
イ（ウ） ～Ｆａ∨Ｇａ イ∨Ｉ
イ（エ） Ｆａ→Ｇａ ウ含意の定義
イ（オ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） エＥＩ
１ （カ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ２３９イオ∨Ｅ
従って、
（11）により、
（12）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（10）（12）により、br> （13）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② ではなく、尚且つ、
①＝③ である。
従って、
（13）により、
（14）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
① ならば、② ではないが、
② ならば、① である。
然るに、
（15）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２ （２） Ｆａ→Ｇａ Ａ
３ （３） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
４（４） Ｆａ Ａ
２ ４（５） Ｇａ ２４ＭＰＰ
２ ４（６） ∃ｘ（Ｇｘ） ５ＥＩ
２３ （７） ∃ｘ（Ｇｘ） ３４６ＥＥ（に於いて、４は３に戻ったが、２が残ったので、マチガイである。）
２ （８） ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） ３７ＣＰ
１ （９） ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） １２８ＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （２）～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １含意の定義
３ （３）～∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
３ （４）∀ｘ（～Ｆｘ） ３量化子の関係
３ （５） ～Ｆａ ４ＵＥ
３ （６） ～Ｆａ∨Ｇａ ５∨Ｉ
３ （７） Ｆａ→Ｇａ ６含意の定義
３ （８） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ７ＥＩ
９ （９） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
ア（ア） Ｇａ Ａ
ア（イ） ～Ｆａ∨Ｇａ ア∨Ｉ
ア（ウ） Ｆａ→Ｇａ イ含意の定義
ア（エ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ウＥＩ
９ （オ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ９アエＥＥ
１ （カ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ２３８９オ∨Ｅ
従って、
（15）により、
（16）
「述語計算」の「結果」としても、
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
① ならば、② ではないが、
② ならば、① である。
従って、
（10）（12）（16）により、
（17）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
①＝③ であって、
尚且つ、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② ではない。
が故に、
② ならば、① であるが、
① ならば、② ではない。
従って、
（17）により、
（18）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
①＝② ではないし、
②＝③ ではないが、
①＝③ である。
然るに、
（19）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
①＝② ではない。
といふことは、「直観的」には、「不思議な感じ（somewhat surprising）」である。
然るに、
（20）
固より、
② ∃ｘ（Ｆｘ）≡ あるｘはＦである。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）≡すべてのｘはＦである。
に於いて、
②＝③ でないことは、「当然」であるため、
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
②＝③ ではない。
といふことは、「当然」である。
従って、
（21）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
といふ「論理式」に於いて、「述語論理」は、「不思議」でもあり、「当然」でもある。
といふ、ことになる。
（01）
何故嫌われる？
∀ε＞0, ∃δ＞0 s.t. ∀x∈R, 0＜|x-a|＜δ ⇒ |f(x)-b|＜ε
高校数学ではこの様な述語論理を取り扱う機会は少ないので、大学数学まで手を出すド変態計算好きでもない限り意味が不明である。
また、高校数学の問題は様々な公式や定理を駆使して解を導く所謂「パズル問題」であったが、この論法を使いこなすのに求められるのはとにかく「理解度」である。高校数学のノリを大学数学に持ち込み出鼻を挫かれる大学生は少なくない（ε-δ論法とは）。
然るに、
（02）
日常言語の文から述語計算の文の翻訳のためには、一般にあたまが柔軟であることが必要である。なんら確定的な規則があるわけでなく、量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。そこに含まれている仕事は翻訳の仕事に違いないけれども、しかしそこへ翻訳が行われる形式言語は、自然言語のシンタックスとは幾らか違ったシンタックスをもっており、また限られた述語―論理的結合記号、変数、固有名、述語文字、および２つの量記号―しかもたない。その言語のおもな長所は、記法上の制限にもかかわらず、非常に広範な表現能力をもっていることである。
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１３０頁）
（03）
具体的には、例へば、
（ⅰ）ある人は「吾輩は猫である」と「三四郎」の著者であるが、「吾輩は猫である」の著者は一人しかゐない。然るに、漱石は「吾輩は猫である」の著者である。従って、漱石が「吾輩は猫である」と「三四郎」の著者である。
（ⅱ）吾輩は猫であるが、名前は無い。然るに、タマには名前がある。従って、吾輩は猫であるが、タマではない。
（ⅲ）象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、兎は象ではない。
（ⅳ）鼻は象が長い。然るに、兎は象ではないが、兎には鼻がある。 従って、兎の鼻は、長くない。
（ⅴ）タゴール記念会は、私が理事長であって、理事長は私である。然るに、小倉氏は、私ではない。従って、タゴール記念会の理事長は、小倉氏ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、『日本語』としてだけでなく、「次（04）以下」に示す通り、『述語計算』としても「妥当」である。
（04）
１ （１）∃ｘ｛吾輩猫ｘ＆三四郎ｘ＆∀ｙ（吾輩猫ｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） 吾輩猫ａ＆三四郎ａ＆∀ｙ（吾輩猫ｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） 三四郎ａ ２＆Ｅ
２ （４） ∀ｙ（吾輩猫ｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （５） 吾輩猫ｂ→ａ＝ｂ ４ＵＥ
６ （６）∃ｙ（漱石ｙ＆吾輩猫ｙ） Ａ
７（７） 漱石ｂ＆吾輩猫ｂ Ａ
７（８） 吾輩猫ｂ ７＆Ｅ
２ （９） ａ＝ｂ ５８ＭＰＰ
２ ７（ア） 漱石ａ＆吾輩猫ａ ７９＝Ｅ
２ ７（イ） 漱石ａ＆吾輩猫ａ＆三四郎ａ ３ア＆Ｉ
２ ７（ウ）∃ｘ（漱石ｘ＆吾輩猫ｘ＆三四郎ｘ） イＥＩ
２６ （エ）∃ｘ（漱石ｘ＆吾輩猫ｘ＆三四郎ｘ） ６７ウＥＥ
１ ６ （オ）∃ｘ（漱石ｘ＆吾輩猫ｘ＆三四郎ｘ） １２エＥＥ
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）∃ｘ｛吾輩猫ｘ＆三四郎ｘ＆∀ｙ（吾輩猫ｘ→ｘ＝ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｙ（漱石ｙ＆吾輩猫ｙ）。従って、
（ⅲ）∃ｘ（漱石ｘ＆吾輩猫ｘ＆三四郎ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）あるｘは｛「吾輩は猫である」の著者であって、「三四郎」の著者であって、すべてのｙについて、ｙが「吾輩は猫である」の著者であるならば、ｘはｙと「同一」である｝。然るに、
（ⅱ）あるｙは（漱石であって、「吾輩は猫である」の著者である）。従って、
（ⅲ）あるｘは（漱石であって、「吾輩は猫である」の著者であって、「三四郎」の著者である）。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（05）により、
（06）
（ⅰ）ある人は「吾輩は猫である」と「三四郎」の著者であるが、「吾輩は猫である」の著者は一人しかゐない。然るに、
（ⅱ）漱石は、「吾輩は猫である」の著者である。従って、
（ⅲ）漱石が、「吾輩は猫である」と「三四郎」の著者である。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
（07）
１ （１） ∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝ Ａ
２ （２） ∃ｘ｛タマｘ＆ ∃ｙ（名前ｙｘ）｝ Ａ
３ （３） 吾輩ａ＆猫ａ＆～∃ｙ（名前ｙａ） Ａ
４（４） タマａ＆ ∃ｙ（名前ｙａ） Ａ
３ （５） ～∃ｙ（名前ｙａ） ３＆Ｅ
４（６） ∃ｙ（名前ｙａ） ４＆Ｅ
３４（７） ～∃ｙ（名前ｙａ）＆∃ｙ（名前ｙａ） ５６＆Ｉ
２３ （８） ～∃ｙ（名前ｙａ）＆∃ｙ（名前ｙａ） ２４７ＥＥ
１２ （９） ～∃ｙ（名前ｙａ）＆∃ｙ（名前ｙａ） １３８ＥＥ
１ （ア） ～∃ｘ｛タマｘ＆ ∃ｙ（名前ｙｘ）｝ ２９ＲＡＡ
１ （イ） ∀ｘ～｛タマｘ＆ ∃ｙ（名前ｙｘ）｝ ア量化子の関係
１ （ウ） ～｛タマａ＆ ∃ｙ（名前ｙａ） イＵＥ
１ （エ） ～タマａ∨ ～∃ｙ（名前ｙａ） ウ、ド・モルガンの法則
１ （オ） ～∃ｙ（名前ｙａ）∨～タマａ エ交換法則
１ （カ） ∃ｙ（名前ｙａ）→～タマａ オ含意の定義
１ ４（キ） ～タマａ ６カＭＰＰ
１２ （ク） ～タマａ ２４キＥＥ
３ （ケ） 吾輩ａ＆猫ａ ３＆Ｅ
１２３ （コ） 吾輩ａ＆猫ａ＆～タマａ クケ＆Ｉ
１２３ （サ） ∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ＆～タマｘ） コＥＩ
１２ （シ） ∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ＆～タマｘ） １３サＥＥ
１２ （〃）あるｘは（吾輩であって猫であるが、タマではない）。 １３サＥＥ
従って、
（07）により、
（08）
（ⅰ）∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｘ｛タマｘ＆ ∃ｙ（名前ｙｘ）｝。従って、
（ⅲ）∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ＆～タマｘ）。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）あるｘは（吾輩であって、猫であるが、あるｙが、ｘの名前であることはない）。然るに、
（ⅱ）あるｘは（タマであって、 あるｙは、ｘの名前である）。従って、
（ⅲ）あるｘは（吾輩であって、猫であるが、タマではない）。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（08）により、
（09）
（ⅰ）吾輩は猫であるが、名前は無い。然るに、
（ⅱ）タマには名前がある。従って、
（ⅲ）吾輩は猫であるが、タマではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
（10）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ア＆Ｅ
オ（オ） 長ｂ＆耳ｂａ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ オクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは長くて、ｘの耳であり、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。）
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（11）により、
（12）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
（13）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆長ａ→～鼻ａｙ）｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ） Ａ
３ （４） ～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ ３＆Ｅ
５ （５）∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝ Ａ
５ （６） 兎ｂ→～象ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ） １ＵＥ
７ （７） 兎ｂ Ａ
５７ （８） ～象ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ） ６７ＭＰＰ
５７ （９） ～象ｂ ８＆Ｅ
５７ （ア） ∃ｘ（鼻ｘｂ） ８＆Ｅ
イ（イ） 鼻ａｂ Ａ
イ（ウ） ～～鼻ａｂ イＤＮ
３ ７ （エ） ～（～象ｂ＆ 長ａ） ４ウＭＴＴ
３ ７ （オ） ～～象ｂ∨～長ａ エ、ド・モルガンの法則
３ ７ （カ） ～象ｂ→～長ａ オ含意の定義
３ ７ （キ） ～長ａ ９カＭＰＰ
３ ７イ（ク） 鼻ａｂ＆～長ａ イキ＆Ｉ
３ ７イ（ケ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） クＥＩ
３５７ （コ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） アイケＥＥ
１ ５７ （サ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ２３コＥＥ
１ ５ （シ） 兎ｂ→∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ７サＣＰ
１ ５ （ス）∀ｙ｛兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝ シＵＩ
従って、
（13）により、
（14）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｙ｛兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝。
といふ「三段論法（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならばｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長ければｘはｙの鼻ではない｝。然るに、
（ⅱ） すべてのｙについて｛ｙが兎であるならば、ｙは象ではなく、あるｘはｙの鼻である｝。従って、
（ⅲ） すべてのｙについて｛ｙが兎であるならば、あるｘはｙの鼻であって、ｘは長くない｝。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（14）により、
（15）
（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は、長くない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
（16）
１ （１）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
１ （２） Ｔ会の会員ａ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） Ｔ会の会員ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ ３４ＭＰＰ
５ （５） 私ｂ＆理事長ｂａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） Ａ
５ （６） 私ｂ＆理事長ｂａ ５＆Ｅ
５ （７） ∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） ５＆Ｅ
５ （８） 理事長ｃａ→ｂ＝ｃ ７ＵＥ
９ （９） ∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ） Ａ
ア （ア） 小倉ｃ＆～私ｃ Ａ
ア （イ） 小倉ｃ ア＆Ｅ
ア （ウ） ～私ｃ ア＆Ｅ
エ（エ） ｂ＝ｃ Ａ
アエ（オ） ～私ｂ ウエ＝Ｅ
５ （カ） 私ｂ ６＆Ｅ
５ アエ（キ） ～私ｂ＆私ｂ オカ＆Ｉ
５ ア （ク） ｂ≠ｃ エキＲＡＡ
５ ア （ケ） ～理事長ｃａ ８クＭＴＴ
５ ア （コ） 小倉ｃ＆～理事長ｃａ イケ＆Ｉ
５ ア （サ） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） コＥＩ
５９ （シ） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ９アサＥＥ
１３ ９ （ス） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ４５シＥＥ
１ ９ （セ） Ｔ会の会員ａ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ３スＣＰ
１ ９ （シ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）｝ セＵＩ
従って、
（16）により、
（17）
（ⅰ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
（ⅱ）∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ）
（ⅲ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）｝
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは［私であって、理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙとｚは「同一人物」である）］。｝
（ⅱ）あるｚは（小倉氏であって、ｚは私ではない。）
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｚは（小倉氏であって、ｚはｘの理事長ではない）。｝
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（17）により、
（18）
（ⅰ）タゴール記念会は、私が理事長であって、理事長は私である。然るに、
（ⅱ）小倉氏は、私ではない。従って、
（ⅲ）タゴール記念会の理事長は、小倉氏ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１３０頁）
（03）
具体的には、例へば、
（ⅰ）ある人は「吾輩は猫である」と「三四郎」の著者であるが、「吾輩は猫である」の著者は一人しかゐない。然るに、漱石は「吾輩は猫である」の著者である。従って、漱石が「吾輩は猫である」と「三四郎」の著者である。
（ⅱ）吾輩は猫であるが、名前は無い。然るに、タマには名前がある。従って、吾輩は猫であるが、タマではない。
（ⅲ）象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、兎は象ではない。
（ⅳ）鼻は象が長い。然るに、兎は象ではないが、兎には鼻がある。 従って、兎の鼻は、長くない。
（ⅴ）タゴール記念会は、私が理事長であって、理事長は私である。然るに、小倉氏は、私ではない。従って、タゴール記念会の理事長は、小倉氏ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、『日本語』としてだけでなく、「次（04）以下」に示す通り、『述語計算』としても「妥当」である。
（04）
１ （１）∃ｘ｛吾輩猫ｘ＆三四郎ｘ＆∀ｙ（吾輩猫ｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） 吾輩猫ａ＆三四郎ａ＆∀ｙ（吾輩猫ｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） 三四郎ａ ２＆Ｅ
２ （４） ∀ｙ（吾輩猫ｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （５） 吾輩猫ｂ→ａ＝ｂ ４ＵＥ
６ （６）∃ｙ（漱石ｙ＆吾輩猫ｙ） Ａ
７（７） 漱石ｂ＆吾輩猫ｂ Ａ
７（８） 吾輩猫ｂ ７＆Ｅ
２ （９） ａ＝ｂ ５８ＭＰＰ
２ ７（ア） 漱石ａ＆吾輩猫ａ ７９＝Ｅ
２ ７（イ） 漱石ａ＆吾輩猫ａ＆三四郎ａ ３ア＆Ｉ
２ ７（ウ）∃ｘ（漱石ｘ＆吾輩猫ｘ＆三四郎ｘ） イＥＩ
２６ （エ）∃ｘ（漱石ｘ＆吾輩猫ｘ＆三四郎ｘ） ６７ウＥＥ
１ ６ （オ）∃ｘ（漱石ｘ＆吾輩猫ｘ＆三四郎ｘ） １２エＥＥ
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）∃ｘ｛吾輩猫ｘ＆三四郎ｘ＆∀ｙ（吾輩猫ｘ→ｘ＝ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｙ（漱石ｙ＆吾輩猫ｙ）。従って、
（ⅲ）∃ｘ（漱石ｘ＆吾輩猫ｘ＆三四郎ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）あるｘは｛「吾輩は猫である」の著者であって、「三四郎」の著者であって、すべてのｙについて、ｙが「吾輩は猫である」の著者であるならば、ｘはｙと「同一」である｝。然るに、
（ⅱ）あるｙは（漱石であって、「吾輩は猫である」の著者である）。従って、
（ⅲ）あるｘは（漱石であって、「吾輩は猫である」の著者であって、「三四郎」の著者である）。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（05）により、
（06）
（ⅰ）ある人は「吾輩は猫である」と「三四郎」の著者であるが、「吾輩は猫である」の著者は一人しかゐない。然るに、
（ⅱ）漱石は、「吾輩は猫である」の著者である。従って、
（ⅲ）漱石が、「吾輩は猫である」と「三四郎」の著者である。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
（07）
１ （１） ∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝ Ａ
２ （２） ∃ｘ｛タマｘ＆ ∃ｙ（名前ｙｘ）｝ Ａ
３ （３） 吾輩ａ＆猫ａ＆～∃ｙ（名前ｙａ） Ａ
４（４） タマａ＆ ∃ｙ（名前ｙａ） Ａ
３ （５） ～∃ｙ（名前ｙａ） ３＆Ｅ
４（６） ∃ｙ（名前ｙａ） ４＆Ｅ
３４（７） ～∃ｙ（名前ｙａ）＆∃ｙ（名前ｙａ） ５６＆Ｉ
２３ （８） ～∃ｙ（名前ｙａ）＆∃ｙ（名前ｙａ） ２４７ＥＥ
１２ （９） ～∃ｙ（名前ｙａ）＆∃ｙ（名前ｙａ） １３８ＥＥ
１ （ア） ～∃ｘ｛タマｘ＆ ∃ｙ（名前ｙｘ）｝ ２９ＲＡＡ
１ （イ） ∀ｘ～｛タマｘ＆ ∃ｙ（名前ｙｘ）｝ ア量化子の関係
１ （ウ） ～｛タマａ＆ ∃ｙ（名前ｙａ） イＵＥ
１ （エ） ～タマａ∨ ～∃ｙ（名前ｙａ） ウ、ド・モルガンの法則
１ （オ） ～∃ｙ（名前ｙａ）∨～タマａ エ交換法則
１ （カ） ∃ｙ（名前ｙａ）→～タマａ オ含意の定義
１ ４（キ） ～タマａ ６カＭＰＰ
１２ （ク） ～タマａ ２４キＥＥ
３ （ケ） 吾輩ａ＆猫ａ ３＆Ｅ
１２３ （コ） 吾輩ａ＆猫ａ＆～タマａ クケ＆Ｉ
１２３ （サ） ∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ＆～タマｘ） コＥＩ
１２ （シ） ∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ＆～タマｘ） １３サＥＥ
１２ （〃）あるｘは（吾輩であって猫であるが、タマではない）。 １３サＥＥ
従って、
（07）により、
（08）
（ⅰ）∃ｘ｛吾輩ｘ＆猫ｘ＆～∃ｙ（名前ｙｘ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｘ｛タマｘ＆ ∃ｙ（名前ｙｘ）｝。従って、
（ⅲ）∃ｘ（吾輩ｘ＆猫ｘ＆～タマｘ）。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）あるｘは（吾輩であって、猫であるが、あるｙが、ｘの名前であることはない）。然るに、
（ⅱ）あるｘは（タマであって、 あるｙは、ｘの名前である）。従って、
（ⅲ）あるｘは（吾輩であって、猫であるが、タマではない）。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（08）により、
（09）
（ⅰ）吾輩は猫であるが、名前は無い。然るに、
（ⅱ）タマには名前がある。従って、
（ⅲ）吾輩は猫であるが、タマではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
（10）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ア＆Ｅ
オ（オ） 長ｂ＆耳ｂａ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ オクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは長くて、ｘの耳であり、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。）
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（11）により、
（12）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
（13）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆長ａ→～鼻ａｙ）｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ） Ａ
３ （４） ～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ ３＆Ｅ
５ （５）∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝ Ａ
５ （６） 兎ｂ→～象ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ） １ＵＥ
７ （７） 兎ｂ Ａ
５７ （８） ～象ｂ＆∃ｘ（鼻ｘｂ） ６７ＭＰＰ
５７ （９） ～象ｂ ８＆Ｅ
５７ （ア） ∃ｘ（鼻ｘｂ） ８＆Ｅ
イ（イ） 鼻ａｂ Ａ
イ（ウ） ～～鼻ａｂ イＤＮ
３ ７ （エ） ～（～象ｂ＆ 長ａ） ４ウＭＴＴ
３ ７ （オ） ～～象ｂ∨～長ａ エ、ド・モルガンの法則
３ ７ （カ） ～象ｂ→～長ａ オ含意の定義
３ ７ （キ） ～長ａ ９カＭＰＰ
３ ７イ（ク） 鼻ａｂ＆～長ａ イキ＆Ｉ
３ ７イ（ケ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） クＥＩ
３５７ （コ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） アイケＥＥ
１ ５７ （サ） ∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ２３コＥＥ
１ ５ （シ） 兎ｂ→∃ｘ（鼻ｘｂ＆～長ｘ） ７サＣＰ
１ ５ （ス）∀ｙ｛兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝ シＵＩ
従って、
（13）により、
（14）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ＆∃ｘ（鼻ｘｙ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｙ｛兎ｙ→∃ｘ（鼻ｘｙ＆～長ｘ）｝。
といふ「三段論法（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならばｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長ければｘはｙの鼻ではない｝。然るに、
（ⅱ） すべてのｙについて｛ｙが兎であるならば、ｙは象ではなく、あるｘはｙの鼻である｝。従って、
（ⅲ） すべてのｙについて｛ｙが兎であるならば、あるｘはｙの鼻であって、ｘは長くない｝。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（14）により、
（15）
（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は、長くない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
（16）
１ （１）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
１ （２） Ｔ会の会員ａ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） Ｔ会の会員ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ ３４ＭＰＰ
５ （５） 私ｂ＆理事長ｂａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） Ａ
５ （６） 私ｂ＆理事長ｂａ ５＆Ｅ
５ （７） ∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） ５＆Ｅ
５ （８） 理事長ｃａ→ｂ＝ｃ ７ＵＥ
９ （９） ∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ） Ａ
ア （ア） 小倉ｃ＆～私ｃ Ａ
ア （イ） 小倉ｃ ア＆Ｅ
ア （ウ） ～私ｃ ア＆Ｅ
エ（エ） ｂ＝ｃ Ａ
アエ（オ） ～私ｂ ウエ＝Ｅ
５ （カ） 私ｂ ６＆Ｅ
５ アエ（キ） ～私ｂ＆私ｂ オカ＆Ｉ
５ ア （ク） ｂ≠ｃ エキＲＡＡ
５ ア （ケ） ～理事長ｃａ ８クＭＴＴ
５ ア （コ） 小倉ｃ＆～理事長ｃａ イケ＆Ｉ
５ ア （サ） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） コＥＩ
５９ （シ） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ９アサＥＥ
１３ ９ （ス） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ４５シＥＥ
１ ９ （セ） Ｔ会の会員ａ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ３スＣＰ
１ ９ （シ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）｝ セＵＩ
従って、
（16）により、
（17）
（ⅰ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
（ⅱ）∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ）
（ⅲ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）｝
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは［私であって、理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙとｚは「同一人物」である）］。｝
（ⅱ）あるｚは（小倉氏であって、ｚは私ではない。）
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｚは（小倉氏であって、ｚはｘの理事長ではない）。｝
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（17）により、
（18）
（ⅰ）タゴール記念会は、私が理事長であって、理事長は私である。然るに、
（ⅱ）小倉氏は、私ではない。従って、
（ⅲ）タゴール記念会の理事長は、小倉氏ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
（01）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） Ａ
１ （２） 象ａ→動物ａ １ＵＥ
３ （３）∃ｘ（象ｘ） Ａ
４（４） 象ａ Ａ
１ ４（５） 動物ａ ２４ＭＰＰ
１ ４（６） ∃ｘ（動物ｘ） ５ＥＩ
１３ （７） ∃ｘ（動物ｘ） ３４６ＥＥ
１ （８）∃ｘ（象ｘ）→∃ｘ（動物ｘ） ３７ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ（象ｘ）→∃ｘ（動物ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
②（象であるｘが存在する）ならば（動物であるｘが存在する）。
に於いて、
① ならば、② である。
従って、
（02）により、
（03）
① 象は動物である。
② 象がゐるならば、動物はゐる。
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（04）
１ （１）∃ｘ（象ｘ）→∃ｘ（動物ｘ） Ａ
２ （２） 象ａ Ａ
２ （３）∃ｘ（象ｘ） ２ＥＩ
１２ （４） ∃ｘ（動物ｘ） １３ＭＰＰ
１２ （５） 動物ａ ４ＥＥ（はデタラメである。）
１ （６） 象ａ→動物ａ ２５ＣＰ
１ （７）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） ６ＵＩ
といふ「計算」は、「間違ひ」である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① 象は動物である。
② 象がゐるならば、動物はゐる。
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① では、ない。
然るに、
（06）
② 象がゐるならば、動物はゐる。
といふ「命題」は、「常識」としては、「真」である。
然るに、
（07）
② 象がゐるならば、動物はゐる。
といふ「命題」は、「常識」としては、「真」である。
といふのは、「その実」、
①（象は動物である。従って、）象がゐるならば、動物はゐる。
②（象は動物でない。従って、）象がゐるならば、動物はゐる。
に於いて、
① は「妥当」であるが、
② は「妥当」ではない。
といふことに、他ならない。
然るに、
（08）
② ∃ｘ（象ｘ）→∃ｘ（動物ｘ）
といふ「命題」自体は、飽くまでも、
② 象がゐるならば、動物はゐる。
といふ「命題」に過ぎず、従って、
①（象は動物である。従って、）象がゐるならば、動物はゐる。
といふ「命題」でも、
②（象は動物でない。従って、）象がゐるならば、動物はゐる。
といふ「命題」でも、どちらでもない。
従って、
（01）～（08）により、
（09）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ（象ｘ）→∃ｘ（動物ｘ）
に於いて、すなはち、
① 象は動物である。
② 象がゐるならば、動物はゐる。
に於いて、飽くまでも、「論理的」には、
① ならば、② であるが、
② ならば、① では、あり得ない。
従って、
（10）
「論理学の推論」とは異なり、「日常言語の推論」では、「様々な前提」が「省略」されてゐる。
といふ、ことになる。
従って、
（11）
コンピューター（ＡＩ）が、「人間と同じやうに」、「推論」を行ふためには、「人間の言語に於ける、言外の前提」を、
コンピューター（ＡＩ）が、「完璧に、把握してゐる必要」がある。
（12）
コンピューター（ＡＩ）が、「論理学」をマスターしたとしても、「言外の前提」に疎いのであれば、
コンピューター（ＡＩ）は、「どこまでも、おカバ」なままであるに、違ひない。
（01）
（ⅰ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２ （２） Ｆａ→Ｇａ Ａ
３（３）∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
３（４） Ｆａ ３ＵＥ
２３（５） Ｇａ ２４ＭＰＰ
２３（６） ∃ｘ（Ｇｘ） ５ＥＩ
１ ３（７） ∃ｘ（Ｇｘ） １２６ＥＥ
１ （８）∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） ３７ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （２）～∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １含意の定義
３ （３）～∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
３ （４）∃ｘ（～Ｆｘ） ３量化子の関係
５ （５） ～Ｆａ Ａ
５ （６） ～Ｆａ∨Ｇａ ５∨Ｉ
３ （７） ～Ｆａ∨Ｇａ ３５６ＥＥ
８ （８） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
９（９） Ｇａ Ａ
９（ア） ～Ｆａ∨Ｇａ ９∨Ｉ
８ （イ） ～Ｆａ∨Ｇａ ８９アＥＥ
１ （ウ） ～Ｆａ∨Ｇａ ２３７８イ∨Ｅ
１ （エ） Ｆａ→Ｇａ ウ含意の定義
１ （オ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） エＥＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
①＝② である。
（03）
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （２）～∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １含意の定義
３ （３）～∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
３ （４）∃ｘ（～Ｆｘ） ３量化子の関係
４ （５） ～Ｆａ Ａ
４ （６） ～Ｆａ∨Ｇａ ５∨Ｉ
３ （７） ～Ｆａ∨Ｇａ ４５６ＥＥ
８ （８） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
９ （９） Ｇａ Ａ
９ （ア） ～Ｆａ∨Ｇａ ８∨Ｉ
８ （イ） ～Ｆａ∨Ｇａ ８９アＥＥ
１ （ウ） ～Ｆａ∨Ｇａ ２３７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｆａ Ａ
エ （オ）∃ｘ（～Ｆｘ） エＥＩ
エ （カ）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） オ∨Ｉ
キ（キ） Ｇａ Ａ
キ（ク） ∃ｘ（Ｇｘ） キＥＩ
キ（ケ）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ク∨Ｉ
１ （コ）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ウエカキケ∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２）∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
３ （３） ～Ｆａ Ａ
３ （４） ～Ｆａ∨Ｇａ ３∨Ｉ
２ （５） ～Ｆａ∨Ｇａ ２３４ＥＥ
６ （６） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
７ （７） Ｇａ Ａ
７ （８） ～Ｆａ∨Ｇａ ７∨Ｉ
１ （９） ～Ｆａ∨Ｇａ １２５７８∨Ｅ
ア （ア） ～Ｆａ Ａ
ア （イ）∃ｘ（～Ｆｘ） アＥＩ
ア （ウ）～∀ｘ（Ｆｘ） イ量化子の関係
ア （エ）～∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ウ∨Ｉ
オ（オ） Ｇａ Ａ
オ（カ） ∃ｘ（Ｇｘ） オＥＩ
オ（キ）～∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） カＥＩ
１ （ク）～∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） クアエオキ∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
② ∀ｘ（ Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）
③ ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① ∃ｘ（ Ｆｘ→Ｇｘ）
② ∀ｘ（ Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）
③ ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
Ｆ＝フランス人である。
Ｇ＝寛大である。
として、
① フランス人であるならば、寛大であるｘが存在する。
② すべてのｘがフランス人であるならば、あるｘは寛大である。
③ フランスではないｘが存在するか、または、寛大なｘが存在する。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（07）
③ フランス人ではないｘが存在する。
といふ「命題」が、「真」であるならば、いふまでもなく、
③ フランスではないｘが存在するか、または、寛大なｘが存在する。
といふ「命題」は、「真」である。
然るに、
（08）
③ フランス人であるｘは存在せずに、イギリス人であるｘが、存在するならば、
③ フランス人ではないｘが存在する。
従って、
（05）～（08）により、
（09）
「幾らかのフランス人は寛大である（Some Frenchmen are generous.」を、正しく、
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）と記号化するかわりに、むしろ、
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）とするのは、よくある間違い（common mistake）である。しかし、
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）は、
それがフランス人であるならば、寛大であるようなものが存在することを主張するのであって、
これは、かりにフランス人が存在しないとしても真であろう。しかるに、
「幾らかのフランス人は寛大である」は決してそうではない（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１２４頁改）。
といふ、ことになる。
（01）
「幾らかのフランス人は寛大である」を、正しく、
∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）と記号化するかわりに、むしろ、
∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）とするのは、よくある間違いである。しかし、
∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）は、
それがフランス人であるならば、寛大であるようなものが存在することを主張するのであって、
これは、かりにフランス人が存在しないとしても真であろう。しかるに、
「幾らかのフランス人は寛大である」は決してそうではない。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１２４頁）
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２ （２） Ｆａ→Ｇａ Ａ
３ （３） ～（～Ｆａ∨Ｇａ） Ａ
４（４） ～Ｆａ Ａ
４（５） ～Ｆａ∨Ｇａ ４∨Ｉ
３４（６） ～（～Ｆａ∨Ｇａ）＆
（～Ｆａ∨Ｇａ） ３５＆Ｉ
３ （７） ～～Ｆａ ４６ＲＡＡ
３ （８） Ｆａ ７ＤＮ
２３ （９） Ｇａ ２８ＭＰＰ
２３ （ア） ～Ｆａ∨Ｇａ ９∨Ｉ
２３ （イ） ～（～Ｆａ∨Ｇａ）＆
（～Ｆａ∨Ｇａ） ３ア＆Ｉ
２ （ウ）～～（～Ｆａ∨Ｇａ） ３イＲＡＡ
２ （エ） ～Ｆａ∨Ｇａ ウＤＮ
２ （オ）∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ） エＥＩ
１ （カ）∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ） １２オＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
２ （２） ～Ｆａ∨Ｇａ Ａ
３ （３） Ｆａ＆～Ｇａ Ａ
４ （４） ～Ｆａ Ａ
３ （５） Ｆａ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｆａ＆Ｆａ ４５＆Ｉ
４ （７） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ３６ＲＡＡ
６ （８） Ｇａ Ａ
３ （９） ～Ｇａ ３＆Ｅ
３ ６ （ア） Ｇａ＆～Ｇａ ８９＆Ｉ
６ （イ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ３アＲＡＡ
２ （ウ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ２４７６イ∨Ｅ
エ （エ） Ｆａ Ａ
オ（オ） ～Ｇａ Ａ
エオ（カ） Ｆａ＆～Ｇａ エオ＆Ｉ
２ エオ（キ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ）＆
（Ｆａ＆～Ｇａ） ウカ＆Ｉ
２ エ （ク） ～～Ｇａ オキＲＡＡ
２ エ （ケ） Ｇａ クＤＮ
２ （コ） Ｆａ→Ｇａ エケＣＰ
２ （サ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） コＥＩ
１ （シ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） １２サＥＥ
従って、
（02）により、
（03）
① ∃ｘ（ Ｆｘ→Ｇｘ）≡あるｘについて（ｘがフランス人であるならば、ｘは寛大である）。
② ∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）≡（フランス人でないｘか、または、寛大なｘ）が存在する。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
② （フランス人でないｘか、または、寛大なｘ）が存在する≡∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）。
といふのであれば、確かに、
これは、かりにフランス人が存在しないとしても真であろう。
といふことは、「真」である。
然るに、
（05）
（ⅲ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２） ～（～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）） Ａ
３（３） ～∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
３（４） ～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ３∨Ｉ
２３（５） ～（～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ））＆
（～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～∃ｘ（Ｆｘ） ３５ＲＡＡ
２ （７） ∃ｘ（Ｆｘ） ６ＤＮ
１２ （８） ∃ｘ（Ｇｘ） １７ＭＰＰ
１２ （９） ～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ））＆
（～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） イＤＮ
（ⅳ）
１ （１） ～∃ｘ（Ｆｘ）∨ ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（Ｆｘ）＆～∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
３ （３） ～∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （４） ∃ｘ（Ｆｘ） ２＆Ｅ
２３ （５） ～∃ｘ（Ｆｘ）＆ ∃ｘ（Ｆｘ） ３４＆Ｉ
３ （６）～（∃ｘ（Ｆｘ）＆～∃ｘ（Ｇｘ）） ２５ＲＡＡ
７ （７） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （８） ～∃ｘ（Ｇｘ） ２＆Ｅ
２ ７ （９） ∃ｘ（Ｇｘ）＆～∃ｘ（Ｇｘ） ７８＆Ｉ
７ （ア）～（∃ｘ（Ｆｘ）＆～∃ｘ（Ｇｘ）） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（∃ｘ（Ｆｘ）＆～∃ｘ（Ｇｘ）） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
エ（エ） ～∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
ウエ（オ） ∃ｘ（Ｆｘ）＆～∃ｘ（Ｇｘ） ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（∃ｘ（Ｆｘ）＆～∃ｘ（Ｇｘ））＆
（∃ｘ（Ｆｘ）＆～∃ｘ（Ｇｘ）） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～∃ｘ（Ｇｘ） エカＲＡＡ
１ ウ （ク） ∃ｘ（Ｇｘ） キＤＮ
１ （ケ） ∃ｘ（Ｆｘ）→ ∃ｘ（Ｇｘ） ウクＣＰ
従って、
（05）により、
（06）
③ ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡フランス人であるｘが存在するならば、 寛大なｘが存在する。
④ ～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）≡フランス人であるｘは存在しないか、または、寛大なｘが存在する。
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（07）
④ フランス人であるｘは存在しないか、または、寛大なｘが存在する≡～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）。
といふのであれば、尚のこと、確実に、
これは、かりにフランス人が存在しないとしても真であろう。
といふことは、「真」である。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２ （２） Ｆａ→Ｇａ Ａ
３ （３） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
４（４） Ｆａ Ａ
２ ４（５） Ｇａ ２４ＭＰＰ
２ ４（６） ∃ｘ（Ｇｘ） ５ＥＩ
２３ （７） ∃ｘ（Ｇｘ） ３４６ＥＥ
２ （８） ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） ３７ＣＰ
１ （９） ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） １２８ＥＥ
（ⅲ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （２）～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １含意の定義
３ （３）～∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
３ （４）∀ｘ（～Ｆｘ） ３量化子の関係
３ （５） ～Ｆａ ４ＵＥ
３ （６） ～Ｆａ∨Ｇａ ５∨Ｉ
３ （７） Ｆａ→Ｇａ ６含意の定義
３ （８） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ７ＥＩ
９ （９） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
ア（ア） Ｇａ Ａ
ア（イ） ～Ｆａ∨Ｇａ ア∨Ｉ
ア（ウ） Ｆａ→Ｇａ イ含意の定義
ア（エ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ウＥＩ
９ （オ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ９アエＥＥ
１ （カ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ２３８９オ∨Ｅ
従って、
（08）により、
（09）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ≡あるｘについて（ｘがフランス人であるならば、ｘは寛大である）。
③ ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡フランス人であるｘが存在するならば、寛大なｘが存在する。
に於いて、
①＝③ である。
と、思ったのであるが、「よく見る」と、
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２ （２） Ｆａ→Ｇａ Ａ
３ （３） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
４（４） Ｆａ Ａ
２ ４（５） Ｇａ ２４ＭＰＰ
２ ４（６） ∃ｘ（Ｇｘ） ５ＥＩ
２３ （７） ∃ｘ（Ｇｘ） ３４６ＥＥ
２ （８） ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） ３７ＣＰ
１ （９） ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） １２８ＥＥ
といふ「計算」の、
２ ４（６） ∃ｘ（Ｇｘ） ５ＥＩ
２３ （７） ∃ｘ（Ｇｘ） ３４６ＥＥ
の「部分」は、「マチガイ」である。
何となれば、
（10）
「説明」をするのは、「難しい」ものの、
（６）の行の「結論」は、
２ （２） Ｆａ→Ｇａ Ａ
４（４） Ｆａ Ａ
に依存してゐて、この「２行」があるため、
（７）の行の「結論」は、E.J.レモンも、「他の計算」の際に述べてゐるやうに、「マチガイ」になる。
ｃｆ．
「E.J.レモン 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１５４頁」
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ≡あるｘについて（ｘがフランス人であるならば、ｘは寛大である）。
③ ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡フランス人であるｘが存在するならば、寛大なｘが存在する。
に於いて、
③ ならば、① ではあるが、
① ならば、③ ではない。
ｃｆ．
１６．［∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）］⊃∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１３９頁、１３行目）
従って、
（12）
少なくとも、「述語論理」的には、
① あるｘについて（ｘがフランス人であるならば、ｘは寛大である）。
③ フランス人であるｘが存在するならば、寛大なｘが存在する。
に於いて、
①＝③ ではない。
といふことに、なるものの、このことは、「直観的」には、「不思議な感じ（somewhat surprising）」である。
然るに、
（13）
一階述語論理は、数学のほぼ全領域を形式化するのに十分な表現力を持っている。実際、現代の標準的な集合論の公理系 ZFC は一階述語論理を用いて形式化されており、数学の大部分はそのように形式化された ZFC の中で行うことができる。すなわち、数学の命題は一階述語論理の論理式によって記述することができ、そのように論理式で記述された数学の定理には ZFC の公理からの形式的証明 (formal proof) が存在する（ウィキペディア）。
従って、
（12）（13）により、
（14）
① あるｘについて（ｘがフランス人であるならば、ｘは寛大である）。
③ フランス人であるｘが存在するならば、寛大なｘが存在する。
に於いて、
①＝③ ではない。
といふことは、「日本語」としては、「不思議」ではあるものの、「数学的（？）」には、「真」である。
といふことに、なる。
（01）
｛ａ、ｂ、ｃ｝の３人がゐるとして、
（ⅰ）ａはフランス人であって、
（ⅱ）ｂもフランス人であって、
（ⅲ）ｃもフランス人である。
か、または、
（ⅰ）ａは学生であって、
（ⅱ）ｂも学生であって、
（ⅲ）ｃも学生である。
とするならば、
① すべての人（主語）は、フランス人である（述語）か、または、
① すべての人（主語）は、学生である（述語）。
といふ「命題」は、「真」である。
然るに、
（02）
① すべての人（主語）は、フランス人である（述語）か、または、
① すべての人（主語）は、学生である（述語）。
といふ「命題」が、「真」であるならば、
② すべての人（主語）は、フランス人であるか学生である（述語）。
といふ「命題」も、「真」である。
然るに、
（03）
（ⅰ）ａはフランス人の教師であり、
（ⅱ）ｂはイギリス人の学生であり、
（ⅲ）ｃはフランス人の学生である。
といふのであれば、
② すべての人（主語）は、フランス人であるか、学生である（述語）。
といふ「命題」は、「真」ではあるが、
① すべての人（主語）は、フランス人である（述語）か、または、
① すべての人（主語）は、学生である（述語）。
といふ「命題」は、「真」ではない。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① すべての人（主語）は、フランス人である（述語）か、または、すべての人（主語）は、学生である（述語）。
② すべての人（主語）は、フランス人であるか学生である（述語）。
に於いて、
① ならば、② である。が、
② ならば、① ではない。
従って、
（04）により、
（05）
Ｆ＝フランス人である。
Ｇ＝学生である。
として、
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② である。が、
② ならば、① ではない。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （３） Ｆａ １ＵＥ
２ （４） Ｆａ∨Ｇａ ３∨Ｉ
２ （５）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ２ＵＩ
６（６） ∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
６（７） Ｇａ ６ＵＥ
６（８） Ｆａ∨Ｇａ ７∨Ｉ
６（９） ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ８ＵＩ
１ （ア）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） １２５６９∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨Ｇａ １ＵＥ
３ （３） Ｆａ Ａ
３ （４）∀ｘ（Ｆｘ） ３ＵＩ（は、マチガイ。∴ 以下も、マチガイ）
３ （５）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） ４∨Ｉ
６（６） Ｇａ Ａ
６（７） ∀ｘ（Ｇｘ） ６ＵＩ
６（８）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） ７∨Ｉ
１ （９）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） １３５６８∨Ｅ
の、（ⅱ）に於いて、「正しい」のは、
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨Ｇａ １ＵＥ
といふ「２行」だけである。
すなはち、
（07）
かくして、
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨Ｇａ １ＵＥ
３ （３） Ｆａ Ａ
Ｆａ∨Ｇａ を（１）から結論し、そして第１の選言項 Ｆａ を（３）の行に仮定する。
しかし、（３）は、ａ を含むが故に、∀ｘ（Ｆｘ） を結論することをさしとめられる。
この段階が許されるとするならば、∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） を、∨Ｉによって、結論し、つぎに Ｇａ からも同じことを結論することができるであろう。そして、∨Ｅによって不妥当な連式が作り出されるであろう（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１５６頁）。
といふ、ことに他ならない。
（01）
（１） （Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） 仮定
（２）～（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）∨（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） 含意の定義
（３）（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）∨（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） ド・モルガンの法則
（４） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ∨Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ 結合法則
（５） ～Ｆａ∨Ｇａ∨～Ｆｂ∨Ｇｂ∨～Ｆｃ∨Ｇｃ 交換法則
（６）（～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ） 結合法則
（７） （Ｆａ→Ｇａ）∨（Ｆｂ→Ｇｂ）∨（Ｆｃ→Ｇｃ） 含意の定義
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
②（Ｆａ→Ｇａ）∨（Ｆｂ→Ｇｂ）∨（Ｆｃ→Ｇｃ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
｛ａ、ｂ、ｃ｝が「変域（ドメイン）」であるとして、
① ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （２）～∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １含意の定義
３ （３）～∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
３ （４）∃ｘ～（Ｆｘ） ３量化子の関係
５ （５） ～Ｆａ Ａ
５ （６） ～Ｆａ∨Ｇａ ５∨Ｉ
３ （７） ～Ｆａ∨Ｇａ ４５６ＥＥ
８ （８） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
９（９） Ｇａ Ａ
９（ア） ～Ｆａ∨Ｇａ ９∨Ｉ
８ （イ） ～Ｆａ∨Ｇａ ８９アＥＥ
１ （ウ） ～Ｆａ∨Ｇａ ２３７８イ∨Ｅ
１ （エ） Ｆａ→Ｇａ ウ含意の定義
１ （オ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） エＥＩ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２ （２） Ｆａ→Ｇａ Ａ
３（３） ∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
３（４） Ｆａ ３ＵＥ
２３（５） Ｇａ ２４ＭＰＰ
２３（６） ∃ｘ（Ｇｘ） ５ＥＩ
１ ３（７） ∃ｘ（Ｇｘ） １２６ＥＥ
１ （８） ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） ３７ＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
果たして、「述語計算」の「結果」も、
① ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘがＦならば、あるｘはＧである。
② Ｆであるならば、Ｇである、ｘが存在する。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
例へば、
① すべての人が日本人ならば、ある人はアジア人である。
② 日本人であるならば、アジア人である人が、存在する。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、少なくとも、「述語論理」として「真」である。
然るに、
（08）
① すべての人が日本人ならば、ある人はアジア人である。
② 日本人であるならば、アジア人である人が、存在する。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、「直観的」には、「不思議な感じ（somewhat surprising）」である。
従って、
（09）
「直観的には不思議」であるが、「真」である所の「命題」が存在する。