―「昨日（令和０３年０３月１９日）の記事」を書き直します。―
（01）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ） Ａ
１ （２） ～偶数ａ→奇数ａ １ＵＥ
１ （３） ～～偶数ａ∨奇数ａ ２含意の定義
４ （４） ～～偶数ａ Ａ
４ （５） 偶数ａ ４ＤＮ
４ （６） 偶数ａ∨奇数ａ ５∨Ｉ
７（７） 奇数ａ Ａ
７（８） 偶数ａ∨奇数ａ ７∨Ｉ
１ （９） 偶数ａ∨奇数ａ ３４６７８∨Ｅ
１ （ア） ∀ｘ（偶数ｘ∨奇数ｘ） ９ＵＩ
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ（偶数ｘ∨奇数ｘ） Ａ
１ （２） 偶数ａ∨奇数ａ １ＵＥ
３ （３） 偶数ａ Ａ
３ （４） ～～偶数ａ ３ＤＮ
３ （５） ～～偶数ａ∨奇数ａ ４∨Ｉ
６（６） 奇数ａ Ａ
６（７） ～～偶数ａ∨奇数ａ ６∨Ｉ
１ （８） ～～偶数ａ∨奇数ａ ２３５６７∨Ｅ
１ （９） ～偶数ａ→奇数ａ ８含意の定義
１ （ア）∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ） ９ＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
② ∀ｘ（ 偶数ｘ∨奇数ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべての自然数は、偶数でないならば、奇数である。
② すべての自然数は、偶数であるか、 奇数である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
② ∀ｘ（偶数ｘ∨奇数ｘ）
② すべての自然数は、偶数であるか、奇数である。
といふことは、
②「１、２、３、４、５、６、７、８、９、・・・・・」
といふ「普通の状態」を言ふ。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
① すべての自然数は、偶数でないならば、奇数である。
といふことも、
①「１、２、３、４、５、６、７、８、９、・・・・・」
といふ「普通の状態」を言ふ。
然るに、
（05）
② ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）
② すべての自然数は偶数であるか、または、すべての自然数は奇数である。
といふことは、
②「２、４、６、８、・・・」または「１、３、５、７、・・・」
といふ「異常な状態」を言ふ。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ） ≡すべての自然数は、偶数でないならば、奇数である。
② ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）≡すべての自然数は偶数であるか、または、すべての自然数は奇数である。
に於いて、
① ならば、② である。
といふことには、ならず、それ故、
① ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）├ ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）
といふ「連式（推論）」は、「妥当」ではない。
然るに、
（07）
（ⅰ）「Ａか、または、Ｂである。」然るに、
（ⅱ）「Ａでない。」故に、
（ⅲ）「Ｂである。」
といふ「推論（選言三段論法）」は「妥当」である。
然るに、
（08）
演繹定理（Deduction theorem）は次のように表現される。
定理２．２ Ａ と Ｂ は論理式で、Γ は論理式の有限の列であるとする。もし、
Γ，Ａ├ Ｂ
ならば、
Γ├ Ａ→Ｂ
である（長尾真・淵一博、論理と意味、1983年、４０頁）。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① Ａ∨Ｂ，～Ａ├ Ｂ
② Ａ∨Ｂ├ ～Ａ→Ｂ
に於いて、
① は、「三段論法」として、「妥当」であり、
② は、「演繹定理」として、「妥当」である。
従って、
（09）により、
（10）
① ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）， ～∀ｘ（偶数ｘ）├ ∀ｘ（奇数ｘ）
② ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）├ ～∀ｘ（偶数ｘ）→ ∀ｘ（奇数ｘ）
に於いて、
① は、「三段論法」として、「妥当」であり、
② は、「演繹定理」として、「妥当」である。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１ （１） ～∀ｘ（偶数ｘ）→∀ｘ（奇数ｘ） Ａ
１ （２）～～∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ） １含意の定義
３ （３）～～∀ｘ（偶数ｘ） Ａ
３ （４） ∀ｘ（偶数ｘ） ３ＤＮ
３ （５） 偶数ａ ３ＵＥ
３ （６） ～～偶数ａ ５ＤＮ
３ （７） ～～偶数ａ∨奇数ａ ６∨Ｉ
３ （８） ～偶数ａ→奇数ａ ７含意の定義
３ （９） ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ） ８ＵＩ
ア（ア） ∀ｘ（奇数ｘ） Ａ
ア（イ） 奇数ａ アＵＥ
ア（ウ） ～～偶数ａ∨奇数ａ イ∨Ｉ
ア（エ） ～偶数ａ→奇数ａ ウ含意の定義
ア（オ） ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ） エＵＩ
１ （カ） ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ） １３９アオ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ） Ａ
１ （２） ～偶数ａ→奇数ａ １ＵＥ
１ （３） ～～偶数ａ∨奇数ａ ２含意の定義
４ （４） ～～偶数ａ Ａ
４ （５） 偶数ａ ４ＤＮ
４ （６） ∀ｘ（偶数ｘ） ５ＵＩ（はマチガイである。）
４ （７）～～∀ｘ（偶数ｘ） ６ＤＮ
４ （８）～～∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ） ７∨Ｉ
９（９） 奇数ａ Ａ
９（ア） ∀ｘ（奇数ｘ） ９ＵＩ（はマチガイである。）
１ （イ）～～∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ） ３４８９イ∨Ｅ
１ （ウ） ～∀ｘ（偶数ｘ）→∀ｘ（奇数ｘ） イ含意の定義
従って、
（11）により、
（12）
③ ～∀ｘ（偶数ｘ）→∀ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
といふ「連式（推論）」は、「妥当」である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
② ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）├ ～∀ｘ（偶数ｘ）→∀ｘ（奇数ｘ）
③ ～∀ｘ（偶数ｘ）→∀ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
といふ「連式（推論）」は、「妥当」である。
従って、
（13）により、
（14）
「推移律」により、
④ ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
といふ「連式（推論）」は、「妥当」である。
従って、
（14）により、
（15）
④ ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）「すべての自然数は偶数であるか、または、すべての自然数は奇数である。」従って、
（ⅱ）「すべての自然数は偶数でないならば、 奇数である。」
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（16）
（ⅰ）「すべての自然数は偶数であるか、または、すべての自然数は奇数である。」として、
（ⅱ）「ａ＝３ である。」とする。
然るに、
（17）
（ⅱ）「ａ＝３」は「奇数」である。
従って、
（16）（17）により、
（18）
（ⅰ）「すべての自然数は偶数であるか、または、すべての自然数は奇数である。」として、
（ⅱ）「ａ＝３（奇数）である。」ならば、 「すべての自然数は偶数である。」ではなく、
（ⅲ）「すべての自然数は奇数である。」
然るに、
（19）
（ⅲ）「すべての自然数が奇数である。」ならば、必然的に、
（ⅳ）「ａ＝３ は奇数であって、偶数ではない。」
従って、
（15）～（19）により、
（20）
（ⅰ）「すべての自然数は偶数であるか、または、すべての自然数は奇数である。」従って、
（ⅱ）「 任意の自然数は偶数でないならば、 奇数である。」
といふ「推論」は、明らかに、「妥当」である。
従って、
（06）（15）（20）により、
（21）
① ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）├ ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）
④ ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
に於いて、
① は、「妥当」ではないが、それとは「逆」の、
④ は、「妥当」である。