（01）
１１２ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （３） Ｆａ １ＵＥ
２ （４） Ｆａ∨Ｇａ ３∨Ｉ
２ （５）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ４ＵＩ
６（６） ∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
６（７） Ｇａ ６ＵＥ
６（８） Ｆａ∨Ｇａ ７∨Ｉ
６（９） ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ８ＵＩ
１ （ア）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） １２５６９∨Ｅ
― 中略、―
逆の連式、∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）は妥当ではない。
― 中略、―、例へば、
「すべての正の整数は、偶数であるか、または、奇数である」が、 「すべての正の整数が偶数であるか、または、すべての正の整数が奇数である」というわけではない。
この場合には、
この連式、∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）を証明しようとする自然な試みをさしとめるのは、ＵＩに対する制限である。
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨Ｇａ １ＵＥ
３（３） Ｆａ Ａ
Ｆａ∨Ｇａを（１）から結論し、そして第１の選言項 Ｆａ を（３）の行に仮定する。しかし（３）は ａ を含む故、ここで、
∀ｘ（Ｆｘ）を結論することをさしとめられる。この段階が許されるとするならば、
∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）を ∨Ｉ によって結論し、つぎに Ｇａ からも同じことを結論することができるであろう。
そして ∨Ｅ によって不当な連式が作り出されるであろう。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５５・１５６頁）
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
従って、
（02）により、
（03）
「二重否定律」により、
① ～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（～～Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
従って、
（03）により、
（04）
「含意の定義」により、
① ～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
従って、
（04）により、
（05）
「量化子の関係」により、
① ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （２）～∃ｘ（～Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） １含意の定義
３ （３）～∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
３ （４）∀ｘ～（～Ｆｘ） ３量化子の関係
３ （５） ～～Ｆａ ４ＵＥ
３ （６） ～～Ｆａ∨Ｇａ ５∨Ｉ
３ （７） ～Ｆａ→Ｇａ ６含意の定義
３ （８） ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ） ７ＵＩ
９（９） ∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
９（ア） Ｇａ ９ＵＥ
９（イ） ～～Ｆａ∨Ｇａ ア∨Ｉ
９（ウ） ～Ｆａ→Ｇａ イ含意の定義
９（エ） ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ） ウＵＩ
１ （オ） ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ） ２３８９エ∨Ｅ
従って、
（06）により、
（07）
① ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、果たして、
① ならば、② である。
然るに、
（08）
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
１ （２） ～Ｆａ→Ｇａ １ＵＥ
１ （３） ～～Ｆａ∨Ｇａ ２含意の定義
４ （４） ～～Ｆａ Ａ
４ （５）∀ｘ（～～Ｆｘ） ４ＵＩ（はマチガイである。）
４ （６）～∃ｘ（～Ｆｘ） ５量化子の関係
４ （７）～∃ｘ（～Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） ６∨Ｉ
８（８） Ｇａ Ａ
８（９） ∀ｘ（Ｇｘ） ８ＵＩ（はマチガイである。）
８（ア）～∃ｘ（～Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） ９∨Ｉ
１ （イ）～∃ｘ（～Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） １４７８ア∨Ｅ
１ （ウ） ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ） イ含意の定義
従って、
（08）により、
（09）
① ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、果たして、
② ならば、① ではない。
従って、
（05）（07）（09）により、
（10）
① ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
従って、
（01）～（10）により、
（11）
果たして、
（ａ）∀ｘ（ Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（ Ｆｘ∨Ｇｘ）
（ｂ）∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
（ａ）＝（ｂ） である。
従って、
（01）（11）により、
（12）
（ａ）∀ｘ（ Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）≡すべての正の整数は偶数であるか、または、すべての正の整数が奇数である。
（ｂ）∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）≡ある正の数が偶数でないならば、 すべての正の整数は奇数である。
に於いて、
（ａ）＝（ｂ） であって、尚且つ、
（ａ）∀ｘ（ Ｆｘ∨Ｇｘ）≡すべての正の整数は、偶数であるか、または、奇数である。
（ｂ）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）≡すべての正の整数は、偶数でないならば、 奇数である。
に於いて、
（ａ）＝（ｂ） である。
然るに、
（13）
（ａ）∀ｘ（ Ｆｘ∨Ｇｘ）≡すべての正の整数は、偶数であるか、または、奇数である。
（ｂ）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）≡すべての正の整数は、偶数でないならば、 奇数である。
といふ「命題」は、「真（本当）」であるが、言ふ迄もなく、
（ａ）∀ｘ（ Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）≡すべての正の整数は偶数であるか、または、すべての正の整数が奇数である。
（ｂ）∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）≡ある正の数が偶数でないならば、 すべての正の整数は奇数である。
といふ「命題」は、「偽（ウソ）」である。