(01)
(1) (Fa&Fb&Fc)→(Ga∨Gb∨Gc) 仮定
(2)~(Fa&Fb&Fc)∨(Ga∨Gb∨Gc) 含意の定義
(3)(~Fa∨~Fb∨~Fc)∨(Ga∨Gb∨Gc) ド・モルガンの法則
(4) ~Fa∨~Fb∨~Fc∨Ga∨Gb∨Gc 結合法則
(5) ~Fa∨Ga∨~Fb∨Gb∨~Fc∨Gc 交換法則
(6)(~Fa∨Ga)∨(~Fb∨Gb)∨(~Fc∨Gc) 結合法則
(7) (Fa→Ga)∨(Fb→Gb)∨(Fc→Gc) 含意の定義
従って、
(01)により、
(02)
①(Fa&Fb&Fc)→(Ga∨Gb∨Gc)
②(Fa→Ga)∨(Fb→Gb)∨(Fc→Gc)
に於いて、
①=② である。
従って、
(02)により、
(03)
{a、b、c}が「変域(ドメイン)」であるとして、
① ∀x(Fx)→∃x(Gx)
② ∃x(Fx→Gx)
に於いて、
①=② である。
然るに、
(04)
(ⅰ)
1 (1) ∀x(Fx)→∃x(Gx) A
1 (2)~∀x(Fx)∨∃x(Gx) 1含意の定義
3 (3)~∀x(Fx) A
3 (4)∃x~(Fx) 3量化子の関係
5 (5) ~Fa A
5 (6) ~Fa∨Ga 5∨I
3 (7) ~Fa∨Ga 456EE
8 (8) ∃x(Gx) A
9(9) Ga A
9(ア) ~Fa∨Ga 9∨I
8 (イ) ~Fa∨Ga 89アEE
1 (ウ) ~Fa∨Ga 2378イ∨E
1 (エ) Fa→Ga ウ含意の定義
1 (オ) ∃x(Fx→Gx) エEI
(ⅱ)
1 (1) ∃x(Fx→Gx) A
2 (2) Fa→Ga A
3(3) ∀x(Fx) A
3(4) Fa 3UE
23(5) Ga 24MPP
23(6) ∃x(Gx) 5EI
1 3(7) ∃x(Gx) 126EE
1 (8) ∀x(Fx)→∃x(Gx) 37CP
従って、
(04)により、
(05)
果たして、「述語計算」の「結果」も、
① ∀x(Fx)→∃x(Gx)
② ∃x(Fx→Gx)
に於いて、
①=② である。
従って、
(01)~(05)により、
(06)
① ∀x(Fx)→∃x(Gx)
② ∃x(Fx→Gx)
に於いて、すなはち、
① すべてのxがFならば、あるxはGである。
② Fであるならば、Gである、xが存在する。
に於いて、
①=② である。
従って、
(06)により、
(07)
例へば、
① すべての人が日本人ならば、ある人はアジア人である。
② 日本人であるならば、アジア人である人が、存在する。
に於いて、
①=② である。
といふことは、少なくとも、「述語論理」として「真」である。
然るに、
(08)
① すべての人が日本人ならば、ある人はアジア人である。
② 日本人であるならば、アジア人である人が、存在する。
に於いて、
①=② である。
といふことは、「直観的」には、「不思議な感じ(somewhat surprising)」である。
従って、
(09)
「直観的には不思議」であるが、「真」である所の「命題」が存在する。
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