（01）
１１２ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （３） Ｆａ １ＵＥ
２ （４） Ｆａ∨Ｇａ ３∨Ｉ
２ （５）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ４ＵＩ
６（６） ∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
６（７） Ｇａ ６ＵＥ
６（８） Ｆａ∨Ｇａ ７∨Ｉ
６（９） ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ８ＵＩ
１ （ア）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） １２５６９∨Ｅ
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５５頁）
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨ Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨ Ｇａ １ＵＥ
３ （３） ～Ｆａ＆～Ｇａ Ａ
４ （４） Ｆａ Ａ
３ （５） ～Ｆａ ３＆Ｅ
３４ （６） Ｆａ＆～Ｇａ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｆａ＆～Ｇａ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｇａ Ａ
３ （９） ～Ｇａ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｇａ＆～Ｇａ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～Ｆａ＆～Ｇａ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（～Ｆａ＆～Ｇａ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｆａ Ａ
オ（オ） ～Ｇａ Ａ
エオ（カ） ～Ｆａ＆～Ｇａ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（～Ｆａ＆～Ｇａ）＆
（～Ｆａ＆～Ｇａ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｇａ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｇａ クＤＮ
１ （コ） ～Ｆａ→Ｇａ エケＣＰ
１ （サ）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ） コＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
１ （２） ～Ｆａ→Ｇａ １ＵＥ
３ （３） ～（Ｆａ∨Ｇａ） Ａ
４ （４） Ｆａ Ａ
４ （５） Ｆａ∨Ｇａ ４∨Ｉ
３４ （６） ～（Ｆａ∨Ｇａ）＆
（Ｆａ∨Ｇａ） ３５＆Ｉ
３ （７） ～Ｆａ ４６ＲＡＡ
１３ （８） Ｇａ ２７ＭＰＰ
１３ （９） Ｆａ∨Ｇａ ８∨Ｉ
１３ （ア） ～（Ｆａ∨Ｇａ）＆
（Ｆａ∨Ｇａ） ３９＆Ｉ
１ （イ） ～～（Ｆａ∨Ｇａ） ３アＲＡＡ
１ （ウ） （Ｆａ∨Ｇａ） イＤＮ
１ （オ） ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ウＵＩ
従って、
（02）により、
（03）
① ∀ｘ（ Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
（01）（02）（03）により、
（04）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（ Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
といふ「連式」が「妥当」であるため、次の「計算」は、「妥当」である。
１ （１） ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （３）～～∀ｘ（Ｆｘ） ２ＤＮ
２ （４）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） ３∨Ｉ
５ （５） ∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
５ （６）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） ５∨I
１ （７）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） １２４５６∨Ｅ
１ （８） ～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ） ７含意の定義
９ （９） ∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
９ （ア） ～∀ｘ（Ｆｘ） ９量化子の関係
１ ９ （イ） ∀ｘ（Ｇｘ） ８アＭＰＰ
１ （ウ） ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ） ９イＣＰ
エ（オ） ～Ｆａ Ａ
エ（カ） ∃ｘ（～Ｆｘ） オＥＩ
１ エ（キ） ∀ｘ（Ｇｘ） ウカＭＰＰ
１ エ（ク） Ｇａ キＵＥ
１ （ケ） ～Ｆａ→Ｇａ エクＣＰ
１ （コ） ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ） ケＵＩ
従って、
（05）により、
（06）
１ （ウ） ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ） ９イＣＰ
エ（オ） ～Ｆａ Ａ
エ（カ） ∃ｘ（～Ｆｘ） オＥＩ
１ エ（キ） ∀ｘ（Ｇｘ） ウカＭＰＰ
１ エ（ク） Ｇａ キＵＥ
１ （ケ） ～Ｆａ→Ｇａ エクＣＰ
１ （コ） ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ） ケＵＩ
といふ「計算」は、「妥当」である。
従って、
（06）により、
（07）
１ （１） ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
２（２） ～Ｆａ Ａ
２（３） ∃ｘ（～Ｆｘ） ２ＥＩ
１２（４） ∀ｘ（Ｇｘ） １３ＭＰＰ
１２（５） Ｇａ ４ＵＥ
１ （６） ～Ｆａ→Ｇａ ２５ＣＰ
１ （７）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ） ６ＵＩ
といふ「計算」は、「妥当」である。
従って、
（07）により、
（08）
１ （１） ∃ｘ（～偶数ｘ）→∀ｘ（奇数ｘ） Ａ
２（２） ～偶数ａ Ａ
２（３） ∃ｘ（～偶数ｘ） ２ＥＩ
１２（４） ∀ｘ（奇数ｘ） １３ＭＰＰ
１２（５） 奇数ａ ４ＵＥ
１ （６） ～偶数ａ→奇数ａ ２５ＣＰ
１ （７）∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ） ６ＵＩ
といふ「計算」は、「妥当」である。
然るに、
（09）
２（２） ～偶数ａ Ａ
２（３）∃ｘ（～偶数ｘ） ２ＥＩ
といふ「２行」は、
（２）「任意の数ａ」が「偶数」ではないので、
（３）「偶数ではない数ｘ」が存在する。
といふことを、述べてゐる。
然るに、
（10）
１２（４）∀ｘ（奇数ｘ） １３ＭＰＰ
１２（５） 奇数ａ ４ＵＥ
といふ「２行」は、
（４）「すべての数」は「奇数」であるため、
（５）「任意の数ａ」は「奇数」である。
といふことを、述べてゐる。
従って、
（09）（10）により、
（11）
２（２） ～偶数ａ Ａ
２（３）∃ｘ（～偶数ｘ） ２ＥＩ
１２（４）∀ｘ（ 奇数ｘ） １３ＭＰＰ
１２（５） 奇数ａ ４ＵＥ
といふ「４行」は、
（ａ）「任意の数ａ」が「偶数」ではないので、「偶数ではない数ｘ」が存在する。
（ｂ）「すべての数」は「奇数」であるため、 「任意の数ａ」も「奇数」である。
といふことを、述べてゐる。
然るに、
（12）
（ａ）「任意の数ａ」が「偶数」ではないので、「偶数ではない数ｘ」が存在する。
（ｂ）「すべての数」は「奇数」であるため、 「任意の数ａ」も「奇数」である。
といふ「命題」は、明らかに、「真」である。
然るに、
（13）
（ｂ）「すべての数」は「奇数」であるため、「任意の数ａ」も「奇数」である。
といふ「命題」に対して、
（ｃ） 「ある数」は「奇数」であるため、「任意の数ａ」も「奇数」である。
といふ「命題」は、「真」では、有り得ない。
然るに、
（14）
（ｃ）「ある数」は「奇数」であるため、「任意の数ａ」も「奇数」である。
といふ「命題」は、「真」では、有り得ないが、仮に、
（ｃ）「ある数」は「奇数」であるため、「任意の数ａ」も「奇数」である。
といふ「命題」が、「真」であるならば、
１ （１） ∃ｘ（～偶数ｘ）→∃ｘ（奇数ｘ） Ａ
２（２） ～偶数ａ Ａ
２（３） ∃ｘ（～偶数ｘ） ２ＥＩ
１２（４） ∃ｘ（奇数ｘ） １３ＭＰＰ
１２（５） 奇数ａ Ａ
１ （６） ～偶数ａ→奇数ａ ２５ＣＰ
１ （７）∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ） ６ＵＩ
といふ「計算」は、「妥当」である。
といふことに、ならざるを得ない。
従って、
（13）（14）により、
（15）
１ （１） ∃ｘ（～偶数ｘ）→∃ｘ（奇数ｘ） Ａ
２（２） ～偶数ａ Ａ
２（３） ∃ｘ（～偶数ｘ） ２ＥＩ
１２（４） ∃ｘ（奇数ｘ） １３ＭＰＰ
１２（５） 奇数ａ ４ＵＥ
１ （６） ～偶数ａ→奇数ａ ２５ＣＰ
１ （７）∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ） ６ＵＩ
といふ「計算」は、「妥当」ではない。
然るに、
（16）
１ （１） ∃ｘ（～偶数ｘ）→∃ｘ（奇数ｘ） Ａ
２（２） ～偶数ａ Ａ
２（３） ∃ｘ（～偶数ｘ） ２ＥＩ
１２（４） ∃ｘ（奇数ｘ） １３ＭＰＰ
１２（５） 奇数ａ Ａ
１ （６） ～偶数ａ→奇数ａ ２５ＣＰ
１ （７）∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ） ６ＵＩ
といふ「計算（マチガイ）」は、「eigenvariable 条件」に対する「違反の、具体例」である。
然るに、
（17）
矢田部俊介先生曰く：
「ＵＩに対する制限（eigenvariable 条件）」は、「述語論理最大の難所」であって、これ本当にねぇ、わけわかんないですよね。僕は、初めてこれを習ったとき、見たとき、何のことか、全く理解できなかったんですよ。
との、ことである。
（01）
矢田部俊介先生曰く：
「ＵＩに対する制限（eigenvariable 条件）」は、「述語論理最大の難所」であって、これ本当にねぇ、わけわかんないですよね。僕は、初めてこれを習ったとき、見たとき、何のことか、全く理解できなかったんですよ。
然るに、
（02）
１ （１） ∀ｘ（偶ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（偶ｘ） Ａ
２ （３）～～∀ｘ（偶ｘ） ２ＤＮ
２ （４）～～∀ｘ（偶ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ） ３∨Ｉ
５ （５） ∀ｘ（奇ｘ） Ａ
５ （６）～～∀ｘ（偶ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ） ５∨I
１ （７）～～∀ｘ（偶ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ） １２４５６∨Ｅ
１ （８） ～∀ｘ（偶ｘ）→∀ｘ（奇ｘ） ７含意の定義
９ （９） ∃ｘ（～偶ｘ） Ａ
９ （ア） ～∀ｘ（偶ｘ） ９量化子の関係
１ ９ （イ） ∀ｘ（奇ｘ） ８アＭＰＰ
１ （ウ） ∃ｘ（～偶ｘ）→∀ｘ（奇ｘ） ９イＣＰ
エ（オ） ～偶ａ Ａ
エ（カ） ∃ｘ（～偶ｘ） オＥＩ
１ エ（キ） ∀ｘ（奇ｘ） ウカＭＰＰ
１ エ（ク） 奇ａ キＵＥ
１ （ケ） ～偶ａ→奇ａ エクＣＰ
１ （コ） ∀ｘ（～偶ｘ→奇ｘ） ケＵＩ
従って、
（02）により、
（03）
① ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）
② ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
に於いて、
① ならば、② である。
従って、
（03）により、
（04）
「日本語」で言ふと、
①「すべての数は偶数である。」か、または「すべての数は奇数である。」
②「すべての数は、偶数でないならば、奇数である。」
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（05）
①「すべての数は偶数である。」
②「ある数ｘは、偶数でない。」
に於いて、
① と ② は、「矛盾」する。
従って、
（05）により、
（06）
①「すべての数は偶数である。」
②「ある数ｘは、偶数でない。」
に於いて、
② であるならば、① ではない。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
①「すべての数は偶数である。」か、または「すべての数は奇数である。」
であるとして、
②「任意の数が、偶数でない。」ならば、 「すべての数は奇数である。」
ｃｆ.
「選言三段論法（Disjunctive syllogism）」
然るに、
（08）
②「すべての数が奇数である。」ならば、 「任意の数は、奇数である。」
従って、
（07）（08）により、
（09）
①「すべての数は偶数である。」か、または「すべての数は奇数である。」
であるとして、
②「任意の数が、偶数でない。」ならば、 「任意の数は、奇数である。」
従って、
（09）により、
（10）
①「すべての数は偶数である。」か、または「すべての数は奇数である。」
であるとして、
②「すべての数（任意の数）は、偶数でないならば、奇数である。」
従って、
（02）～（10）により、
（11）
①「すべての数は偶数である。」か、または「すべての数は奇数である。」
②「すべての数（任意の数）は、偶数でないならば、奇数である。」
に於いて、
① ならば、② である。
といふことは、「日本語」で考へたとしても、「妥当」である。
ｃｆ.
① は、当然、「普通の数学」としては、「偽（ウソ）」であるが、
② は、当然、「普通の数学」としても、「真（本当）」であるが、
然るに、
（12）
① ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）
③ ∀ｘ（偶数ｘ）∨∃ｘ（奇数ｘ）
に於いて、
① ではなく、
③ であるため、「次の計算（13）」は、「マチガイ」である。
（13）
１ （１） ∀ｘ（偶ｘ）∨∃ｘ（奇ｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（偶ｘ） Ａ
２ （３）～～∀ｘ（偶ｘ） ２ＤＮ
２ （４）～～∀ｘ（偶ｘ）∨∃ｘ（奇ｘ） ３∨Ｉ
５ （５） ∃ｘ（奇ｘ） Ａ
５ （６）～～∀ｘ（偶ｘ）∨∃ｘ（奇ｘ） ５∨I
１ （７）～～∀ｘ（偶ｘ）∨∃ｘ（奇ｘ） １２４５６∨Ｅ
１ （８） ～∀ｘ（偶ｘ）→∃ｘ（奇ｘ） ７含意の定義
９ （９） ∃ｘ（～偶ｘ） Ａ
９ （ア） ～∀ｘ（偶ｘ） ９量化子の関係
１ ９ （イ） ∃ｘ（奇ｘ） ８アＭＰＰ
１ （ウ） ∃ｘ（～偶ｘ）→∃ｘ（奇ｘ） ９イＣＰ
エ （エ） ～偶ａ Ａ
エ （オ） ∃ｘ（～偶ｘ） エＥＩ
１ エ （カ） ∃ｘ（奇ｘ） ウオＭＰＰ
エ （キ） 奇ａ Ａ
１ （ク） ～偶ａ→奇ａ エキＣＰ
１ （ケ） ∀ｘ（～偶ｘ→奇ｘ） クＵＩ（は、マチガイである。）
（14）
（ⅰ）
｛ａ，ｂ，ｃ｝の｛３つ｝が｛すべての数｝であるとして、
Ａ君は、｛ａ｝だけしか持ってゐなくて、
Ｂ君は、｛ａ，ｂ，ｃ｝のすべてを持ってゐるとする。
（ⅱ）
Ａ君は、｛ａ｝を、テーブルの上に置いたとして、
それ見て、
Ｂ君も、｛ａ｝を、テーブルの上に置いたとして、このときは、
（ⅲ）
｛ａ｝＝｛ａ｝
なので、「セーフ」である。
といふ、「ルール」があるとする。
（15）
（ⅳ）
｛ａ，ｂ，ｃ｝の｛３つ｝が｛すべての数｝であるとして、
Ａ君は、｛ａ｝だけしか持ってゐなくて、
Ｂ君は、｛ｂ｝だけしか持ってゐないとする。
（ⅴ）
Ａ君は、｛ａ｝を、テーブルの上に置いたとして、
それ見た、
Ｂ君は、止むを得ず、
｛ｂ｝を、テーブルの上に置いたとして、このときは、
｛ａ｝≠｛ｂ｝
なので、「アウト」とする。
といふ、「ルール」があるとする。
然るに、
（02）（13）（14）（15）により、
（16）
（13）に於ける、
エ （エ） ～偶ａ Ａ
エ （キ） 奇ａ Ａ
といふ「行」を、
エ （エ） ～偶ａ Ａ
エ （キ） 奇ｂ Ａ
といふ風に、書き直すならば、
（ⅴ）
Ａ君は、｛ａ｝を、テーブルの上に置いたとして、
それ見た、
Ｂ君は、止むを得ず、
｛ｂ｝を、テーブルの上に置いたとして、このときは、
｛ａ｝＝｛ｂ｝
ではないので、「アウト」である。
といふ「比喩」を、用ひることが、出来る。
従って、
（02）（11）～（16）により、
（17）
① ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
② ∀ｘ（偶数ｘ）∨∃ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
といふ「連式（Sequents）」に於いて、
① は、「ルール（eigenvariable 条件）」を満たしてゐるが、
② は、「ルール（eigenvariable 条件）」を満たしてゐない。
―「昨日（令和０３年０３月２２日）の記事」を、書き直します。―
（01）
（ⅰ）「すべての数は偶数である。」か、または「すべての数は奇数である。」然るに、
（ⅱ）「すべての数は偶数である。」ではない。従って、
（ⅲ）「すべての数は奇数である。」
といふ「推論」は、「選言三段論法（Disjunctive syllogism）」である。
従って、
（01）により、
（02）
「記号」で書くと、
（ⅰ） ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）。然るに、
（ⅱ）～∀ｘ（Ｆｘ）。従って、
（ⅲ） ∀ｘ（Ｇｘ）。
といふ「推論」は、「選言三段論法（Disjunctive syllogism）」である。
然るに、
（03）
演繹定理（Deduction theorem）は次のように表現される。
定理２．２ Ａ と Ｂ は論理式で、Γ は論理式の有限の列であるとする。もし、
Γ，Ａ├ Ｂ
ならば、
Γ├ Ａ→Ｂ
である（長尾真・淵一博、論理と意味、1983年、４０頁）。
従って、
（02）（03）により、
（03）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）， ～∀ｘ（Ｆｘ）├ ∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ～∀ｘ（Ｆｘ）→ ∀ｘ（Ｇｘ）
といふ「連式（Sequents）」に於いて、
① は、「三段論法」として「妥当」であり、
② は、「演繹定理」として「妥当」である。
然るに、
（04）
（ⅱ）
１ （１） ～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
２ （３） ～∀ｘ（Ｆｘ） ２量化子の関係
１２ （４） ∀ｘ（Ｇｘ） １３ＭＰＰ
１ （５） ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ） ２４ＣＰ
６ （６） ∃ｘ（～Ｆｘ＆～Ｇｘ） Ａ
７ （７） ～Ｆａ＆～Ｇａ Ａ
７ （８） ～Ｆａ ７＆Ｅ
７ （９） ∃ｘ（～Ｆｘ） ８ＥＩ
６ （ア） ∃ｘ（～Ｆｘ） ６７９ＥＥ
１ ６ （イ） ∀ｘ（Ｇｘ） ５アＭＰＰ
１ ６ （ウ） Ｇａ イＵＩ
７ （エ） ～Ｇａ ７＆Ｅ
１ ６７ （オ） Ｇａ＆～Ｇａ ウエ＆Ｉ
１ ６ （カ） Ｇａ＆～Ｇａ ６７オＥＥ
１ （キ）～∃ｘ（～Ｆｘ＆～Ｇｘ） ６カＲＡＡ
１ （ク）∀ｘ～（～Ｆｘ＆～Ｇｘ） キ量化子の関係
１ （ケ） ～（～Ｆａ＆～Ｇａ） クＵＥ
１ （コ） Ｆａ∨ Ｇａ ケ、ド・モルガンの法則
１ （サ） ∀ｘ（Ｆｘ∨ Ｇｘ） コＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
③ ～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
といふ「連式（Sequent）」は、「妥当」である。
従って、
（03）（05）
（06）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
③ ～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
といふ「連式（Sequents）」は、「妥当」である。
従って、
（06）により、
（07）
④ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ～∀ｘ（Ｆｘ）→ ∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
といふ「連式（Sequent）」は、「妥当」であり、それ故、「推移律」により、
④ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
といふ「連式（Sequent）」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
（ⅰ） ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）。然るに、
（ⅱ）～∀ｘ（Ｆｘ）。従って、
（ⅲ） ∀ｘ（Ｇｘ）。
といふ「推論（選言三段論法）」が「妥当」である。が故に、
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
といふ「連式（Sequent）」は、「妥当」である。
然るに、
（09）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に対して、その「逆の連式」に関しては、
逆の連式、∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） は妥当ではない。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５５頁）
従って、
（09）により、
（10）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① は「妥当」であるが、
② は「妥当」ではない。
従って、
（10）により、
（11）
１ （１）∀ｘ（偶ｘ∨奇ｘ） Ａ
１ （２） 偶ａ∨奇ａ １ＵＥ
３ （３） 偶ａ Ａ
３ （４）∀ｘ（偶ｘ） ３ＵＩ
３ （５）∀ｘ（偶ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ） ４∨Ｉ
６（６） 奇ａ Ａ
６（７） ∀ｘ（奇ｘ） ６ＵＩ
６（８）∀ｘ（偶ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ） ７∨Ｉ
１ （９）∀ｘ（偶ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ） ２３５６８∨Ｅ
といふ「計算（11）」は、実際には、「 マチガイ」である。
すなはち、
（12）
「すべての正の整数は、偶数であるか、または、奇数である」が、
「すべての正の整数が偶数であるか、または、すべての正の整数が奇数である」というわけではない。
この場合には、
この連式、∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）を証明しようとする自然な試みをさしとめるのは、ＵＩに対する制限である。
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨Ｇａ １ＵＥ
３（３） Ｆａ Ａ
Ｆａ∨Ｇａを（１）から結論し、そして第１の選言項 Ｆａ を（３）の行に仮定する。しかし（３）は ａ を含む故、ここで、
∀ｘ（Ｆｘ）を結論することをさしとめられる。この段階が許されるとするならば、
∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）を ∨Ｉ によって結論し、つぎに Ｇａ からも同じことを結論することができるであろう。
そして ∨Ｅ によって不当な連式が作り出されるであろう。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５５・１５６頁）
然るに、
（13）
京都大学文学部・矢田部俊介先生は、ユーチューブの中で、「ＵＩに対する制限（eigenvariable 条件）」は、「述語論理最大の難所」であって、「これ本当にねぇ、わけわかんないですよね。僕は、初めてこれを習ったとき、見たとき、何のことか、全く理解できなかったんですよねこれ。」といふ風に、言はれてゐる。
尚且つ、
（14）
１ （１）∀ｘ（偶ｘ∨奇ｘ） Ａ
１ （２） 偶ａ∨奇ａ １ＵＥ
３ （３） 偶ａ Ａ
３ （４）∀ｘ（偶ｘ） ３ＵＩ
の場合は、「ＵＩに対する制限（eigenvariable 条件）」は、「∨Ｅ（選言除去の規則）」との「合はせ技」なので、「猶のこと、難しい」。
（15）
「E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英、論理学初歩」の「書評」を見ると、「難解です。」と書かれてゐる方がゐるものの、「E.J.レモン 著、論理学初歩」は、「それなりに難解」である上に、「惜しむらく」は、「練習問題」に対する「解答」が無いことである。