（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ Ａ
（２） Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ Ａ
（２） Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（３） ～Ｐ∨Ｐ ２含意の定義
４ （４） ～Ｐ Ａ
４ （５） ～Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
４ （６） Ｐ→Ｑ ５含意の定義
４ （７）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ６∨Ｉ
８ （８） Ｐ Ａ
８ （９） ～～Ｐ ８ＤＮ
８ （ア）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ９∨Ｉ
（イ）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ３４７８ア∨Ｅ
（ウ） ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） イ含意の定義
エ（エ） ～Ｐ＆ Ｐ Ａ
エ（オ） ～Ｐ エ＆Ｅ
エ（カ） Ｐ→Ｑ ウオＭＰＰ
エ（キ） Ｐ エ＆Ｅ
エ（ク） Ｑ カキＭＰＰ
（ケ）（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ エクＣＰ
（ⅲ）
１ （１） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨～Ｐ ２∨Ｉ
１２ （４） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ∨～Ｐ ５∨Ｉ
１ （７） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １６＆Ｉ
１ （８）～～（Ｐ∨～Ｐ） １７ＲＡＡ
（９） Ｐ∨～Ｐ ８ＤＮ
然るに、
（02）
系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１４頁）
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ→Ｐ≡ ＰならばＰである（同一律）。
②（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ≡（Ｐでなくて、Ｐである）ならばＱである。
③ Ｐ∨～Ｐ≡ Ｐであるか、Ｐでない（排中律）。
といふ「３つの式」は、３つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（04）
（ⅲ）
１ （１） （～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ Ａ
２（２） ～Ｑ Ａ
１２（３） ～（～Ｐ＆Ｐ） １２ＭＴＴ
１２（４） Ｐ∨～Ｐ ３ド・モルガンの法則
１ （５） ～Ｑ→（Ｐ∨～Ｐ） ２４ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｑ→（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
２（２） （～Ｐ＆Ｐ） Ａ
２（３） ～（Ｐ∨～Ｐ） ２ド・モルガンの法則
１２（４）～～Ｑ １３ＭＴＴ
１２（５） Ｑ ４ＤＮ
１ （６） （～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ ２５ＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
②（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ ≡（Ｐでなくて、Ｐである）ならばＱである。
③ ～Ｑ→（Ｐ∨～Ｐ）≡ Ｑでないならば（Ｐであるか、Ｐでない）。
に於いて、
②＝③ は、「対偶（Contradiction）」である。
然るに、
（06）
②（～Ｐ＆Ｐ）≡（Ｐでなくて、Ｐである）。
③（Ｐ∨～Ｐ）≡（Ｐであるか、Ｐでない）。
に於いて、
② は「矛盾（Contradiction）」であって、
③ は「排中律（law of excluded middle）」である。
従って、
（03）（05）（06）により、
（07）
②（～Ｐ＆Ｐ）→ Ｑ ≡（矛盾）ならばＱである。
③ ～Ｑ→（Ｐ∨～Ｐ）≡Ｑでないならば（排中律）。
に於いて、
② は「恒真式（トートロジー）」であって、
③ も「恒真式（トートロジー）」であって、
②＝③ は、「対偶」である。
然るに、
（08）
（ⅱ）
１ （１） （～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ Ａ
１ （２）～（～Ｐ＆Ｐ）∨Ｑ １含意の定義
３ （３）～（～Ｐ＆Ｐ） Ａ
３ （４） （Ｐ∨～Ｐ） ３ド・モルガンの法則
３ （５） （Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ ４∨Ｉ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） （Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ ４∨Ｉ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｑ→（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
１ （２）～～Ｑ∨（Ｐ∨～Ｐ） １含意の定義
３ （３）～～Ｑ Ａ
３ （４） Ｑ ３ＤＮ
３ （５） （Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ ４∨Ｉ
６（６） （Ｐ∨～Ｐ） Ａ
６（７） （Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ ６∨Ｉ
１ （８） （Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ １３５６７∨Ｅ
（ⅳ）
１ （１） （Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ Ａ
２ （２） （Ｐ∨～Ｐ） Ａ
２ （３）～（～Ｐ＆Ｐ） ２ド・モルガンの法則
２ （４）～（～Ｐ＆Ｐ）∨Ｑ ３∨Ｉ
５（５） Ｑ Ａ
５（６）～（～Ｐ＆Ｐ）∨Ｑ ５∨Ｉ
１ （７）～（～Ｐ＆Ｐ）∨Ｑ １２４５６∨Ｅ
従って、
（07）（08）により、
（09）
②（～Ｐ＆Ｐ）→ Ｑ ≡（矛盾）ならばＱである。
③ ～Ｑ→（Ｐ∨～Ｐ）≡Ｑでないならば（排中律）。
④（Ｐ∨～Ｐ）∨ Ｑ ≡（排中律）か、Ｑである。
に於いて、
② は「恒真式（トートロジー）」であって、
③ も「恒真式（トートロジー）」であって、
④ も「恒真式（トートロジー）」であって、
②＝③＝④ である。
然るに、
（10）
④（Ｐ∨～Ｐ）∨ Ｑ ≡（排中律）か、Ｑである。
といふ「式」が、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことは、
④（Ｐ∨～Ｐ）∨ 真 ≡（排中律）か、真である。
④（Ｐ∨～Ｐ）∨ 偽 ≡（排中律）か、偽である。
の、両方とも、「真（本当）」である。
といふことに、ほかならない。
従って、
（09）（10）により、
（11）
②（～Ｐ＆Ｐ）→ Ｑ ≡（矛盾）ならばＱである。
③ ～Ｑ→（Ｐ∨～Ｐ）≡Ｑでないならば（排中律）。
④（Ｐ∨～Ｐ）∨ Ｑ ≡（排中律）か、Ｑである。
に於いて、
② は「恒真式（トートロジー）」であって、
③ も「恒真式（トートロジー）」であって、
④ も「恒真式（トートロジー）」であって、
②＝③＝④ である。
といふことは、
②（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ≡（矛盾）ならばＱである。
に於いて、
② Ｑは、「真（本当）」であっても、
② Ｑは、「偽（ウソ）」であっても、「どちらでも良い」。
といふことを、「意味」してゐる。
従って、
（12）
Ｐ≡太陽は西から、昇る。
～Ｐ≡太陽は西からは昇らない。
Ｑ≡バカボンのパパは天才である。
～Ｑ≡バカボンのパパは天才ではない。
であるとして、
②（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ≡（太陽が西から昇らず、太陽が西から昇る）のであれば、バカボンのパパは天才である。
といふ風に、『仮言命題の、前件が矛盾』である場合は、
② Ｑ≡バカボンのパパは天才である。
とは、言ってはゐないし、
② ～Ｑ≡バカボンのパパは天才でない。
とも、言ってゐない。
従って、
（12）により、
（13）
②（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ≡（太陽が西から昇らず、太陽が西から昇る）のであれば、バカボンのパパは天才である。
といふ風に、『仮言命題の、前件が矛盾』である場合は、事実上、「何も、言ってゐない」。
然るに、
（14）
⑤ Ｑ→ Ｐ≡バカボンのパパが天才であるならば、太陽が西から昇る。
⑥ ～Ｐ→～Ｑ≡太陽が西から昇らないならば、バカボンのパパは天才ではない。
といふ「仮言命題」に於いて、
⑤＝⑥ は、「対偶」である。
然るに、
（15）
「常識」として、
⑦ ～Ｐ≡太陽は西から昇らない（東から昇る）。
従って、
（14）（15）により、
（16）
⑤ Ｑ→ Ｐ≡バカボンのパパが天才であるならば、太陽が西から昇る。
⑥ ～Ｐ→～Ｑ≡太陽が西から昇らないならば、バカボンのパパは天才ではない。
⑦ ～Ｐ ≡太陽は西から昇らない（東から昇る）。
に於いて、
⑤＝⑥ は、「対偶」であって、
⑦ は、「常識」である。
然るに、
（17）
（ⅴ）
１ （１）～Ｐ→～Ｑ Ａ
２（２）～Ｐ Ａ
１２（３） ～Ｑ １２ＭＰＰ
従って、
（16）（17）により、
（18）
⑤ Ｑ→Ｐ≡バカボンのパパが天才であるならば、太陽が西から昇る。
といふ「仮言命題」は、事実上、
⑤ ～Ｑ ≡バカボンのパパは天才ではない。
といふ「命題」に、「等しい」。
従って、
（13）（18）により、
（19）
②（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ≡（太陽が西から昇らず、太陽が西から昇る）のであれば、バカボンのパパは天才である。
といふ風に、『仮言命題の、前件が矛盾』である場合は、事実上、「何も、言ってゐない」のに対して、
⑤ Ｑ→Ｐ≡バカボンのパパが天才であるならば、太陽が西から昇る。
といふ「仮言命題」は、
⑤ ～Ｑ ≡バカボンのパパは天才ではない。
といふ風に、言ってゐる。
（01）
１ 原始的規則あるい導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでも、ともに用いて、次の連式を証明せよ。
１ Using primitive or derived rules, together with any sequents or theorems already proved, prove the followint sequent.
１ 兎に角、次の連式を証明せよ。
（１）├ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）：ルカジェヴィッツの公理１
（証明ａ）
（１） Ｐ∨～Ｐ ＴＩ（排中律）
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｑ∨Ｐ ２∨Ｉ
２ （４） Ｑ→Ｐ ３含意の定義
（５） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） ２４ＣＰ
６（６） ～Ｐ Ａ
６（７）～Ｐ∨（Ｑ→Ｐ） ６∨Ｉ
６（８） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） ７含意の定義
（９） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １２５７８∨Ｅ
（〃）Ｐならば（ＱならばＰである）。
（証明ｂ）
１ （１） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨～Ｐ ２∨Ｉ
１２ （４） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ∨～Ｐ ５∨Ｉ
１ （７） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １６＆Ｉ
１ （８）～～（Ｐ∨～Ｐ） １７ＲＡＡ
（９） Ｐ∨～Ｐ ８ＤＮ
ア （ア） Ｐ Ａ
ア （イ） ～Ｑ∨Ｐ ア∨Ｉ
ア （ウ） Ｑ→Ｐ イ含意の定義
（エ） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） アウＣＰ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
オ（カ）～Ｐ∨（Ｑ→Ｐ） オ∨Ｉ
オ（キ） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） カ含意の定義
（ク） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） ９アエオキ∨Ｅ
（〃）Ｐならば（ＱならばＰである）。
従って、
（01）により、
（02）
（証明ａ）は、 「９行」からなり、「排中律（Ｐ∨～Ｐ）」 から始まってゐて、
（証明ｂ）は、「１７行」からなり、「排中律（Ｐ∨～Ｐ）」の「証明」から始まってゐる。
従って、
（02）により、
（03）
あるいは、
Ｐ∨～Ｐ
などいつでも使える出発点（公理）として準備したほうがいいのではないか、と思うでしょう。しかし、そんな必要はないのです。なぜなら、「排中律」は自然演繹で演繹できてしまうのです（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１４１頁改）。
といふ、ことになる。
然るに、
（04）
（証明ｃ）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １３ＣＰ
（〃）Ｐならば（ＱならばＰである）。
（証明ｄ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） Ｑ＆～Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆ Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（Ｑ＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（Ｑ＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（Ｑ＆～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） Ｑ Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） Ｑ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） Ｑ→Ｐ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １コＣＰ
（〃）Ｐならば（ＱならばＰである）。
従って、
（04）により、
（05）
（証明ｃ）は、 「４行」からなり、「含意の定義」を用ひてゐて、
（証明ｄ）は、「２１行」からなり、「含意の定義」の「証明」を、「証明の過程」で、行ってゐる。
然るに、
（06）
① 仮定（Ａ）
② 前件肯定（ＭＰＰ）
③ 後件否定（ＭＴＴ）
④ 二重否定（ＤＮ）
⑤ 条件法的証明（ＣＰ）
⑥ 連言導入（＆Ｉ）
⑦ 連言除去（＆Ｅ）
⑧ 選言導入（∨Ｉ）
⑨ 選言除去（∨Ｅ）
⑩ 背理法（ＲＡＡ）
を、「原始的規則（10 primitive rules）」といふ。
従って、
（06）により、
（07）
「原始的規則（10 primitive rules）」の中に、
⑪ 含意の定義
は、入ってゐない。
従って、
（04）～（07）により、
（08）
１ 原始的規則あるい導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでも、ともに用いて、次の連式を証明せよ。
１ Using primitive or derived rules, together with any sequents or theorems already proved, prove the followint sequent.
１ 兎に角、次の連式を証明せよ。
（ⅰ）├ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）：ルカジェヴィッツの公理１
ではなく、
２ 次の連式を、原始的規則のみによって証明せよ
２ Prove the following sequent by primitive rules alone:
（ⅰ）├ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）：ルカジェヴィッツの公理１
であるならば、
（証明ｃ）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １３ＣＰ
（〃）Ｐならば（ＱならばＰである）。
ではなく、
（証明ｄ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） Ｑ＆～Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆ Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（Ｑ＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（Ｑ＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（Ｑ＆～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） Ｑ Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） Ｑ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） Ｑ→Ｐ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １コＣＰ
（〃）Ｐならば（ＱならばＰである）。
だけが、「正解」である。
然るに、
（09）
ルカジェヴィッツによる公理
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
これはフレーゲが提出した６つの公理を簡単にしたものである。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（01）～（09）により、
（10）
ルカジェヴィッツによる公理
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
といふ「３つの公理（Axioms）」の中の、
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
については、
① 仮定（Ａ）
② 前件肯定（ＭＰＰ）
③ 後件否定（ＭＴＴ）
④ 二重否定（ＤＮ）
⑤ 条件法的証明（ＣＰ）
⑥ 連言導入（＆Ｉ）
⑦ 連言除去（＆Ｅ）
⑧ 選言導入（∨Ｉ）
⑨ 選言除去（∨Ｅ）
⑩ 背理法（ＲＡＡ）
といふ、「自然演繹の規則」を用ひて、「証明済み」である。
然るに、
（11）
（ⅱ）├［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
１ （１） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ→ Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ→Ｒ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｑ ２３ＭＰＰ
１２３（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１２ （７） Ｐ→Ｒ ３６ＭＰＰ
１ （８） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ２７ＣＰ
（９）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］ １８ＣＰ
（ⅲ）├（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
１ （１） ～Ｐ→～Ｑ Ａ
２ （２） Ｑ Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
１ ３（４） ～Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｑ＆～Ｑ ３４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｐ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１ （８） Ｑ→Ｐ ２７ＣＰ
（９）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ） １８ＣＰ
従って、
（10）（11）により、
（12）
ルカジェヴィッツによる公理
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
といふ「３つの公理（Axioms）」は、３つとも、
① 仮定（Ａ）
② 前件肯定（ＭＰＰ）
③ 後件否定（ＭＴＴ）
④ 二重否定（ＤＮ）
⑤ 条件法的証明（ＣＰ）
⑥ 連言導入（＆Ｉ）
⑦ 連言除去（＆Ｅ）
⑧ 選言導入（∨Ｉ）
⑨ 選言除去（∨Ｅ）
⑩ 背理法（ＲＡＡ）
といふ、「自然演繹の規則」を用ひて、「証明」出来る。
然るに、
（13）
連式に対して１０個の原始的規則のみを用いて証明が見出されるならば、その連式を、簡単な言いかたをとって、導出可能（deriable）であるとよぶことにしよう。―中略、―
メタ定理１：すべての導出可能な連式は、トートロジーである。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、９７頁）
従って、
（12）（13）により、
（14）
ルカジェヴィッツによる公理
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
といふ「３つの公理（Axioms）」は、３つとも、「導出可能（deriable）」である。