（521）「象は鼻が長い。」等、計１２個の「述語論理」（Ⅱ）。

―「一昨日（令和０２年０２月１８日）」の記事を書き直して、わずかに、要約します。結論は、（44）に示します。―
（01）
①｛象、□、□｝
②｛象、机、車｝
③｛象、兎、馬｝
に於いて、
①｛象、□、□｝
であれば、
①｛少なくとも、象は動物である｝。
然るに、
（02）
②｛象、机、車｝
③｛象、兎、馬｝
に於いて、
② であれば、｛象以外（机、車）は動物ではなく｝、
③ であれば、｛象以外（兎、馬）も動物ではある｝。
然るに、
（03）
②｛象、机、車｝であれば、
②｛象が動物であり｝、
③｛象、兎、馬｝であれば、
③｛象も動物である｝。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 象は動物である。⇔ 象は動物である。
② 象が動物である。⇔ 象は動物であり、象以外は動物でない。
③ 象も動物である。⇔ 象は動物であり、象以外も動物である。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（05）
① 象は動物である。
② 象は動物であり、象以外は動物でない。
③ 象は動物であり、象以外も動物である。
といふことは、「記号」で書くと。
① ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
③ ∀ｘ｛象ｘ→動ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動ｙ）｝
であって、それぞれの「読み方」は、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である。
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない。
③ すべてのｘについて、ｘが象であるなあば、ｘは動物であり、あるｙは象ではないが、動物である。
である。
（06）
④ 象は鼻は長い。
といふことは、
④ 象には長い鼻がある。
といふことである。
従って、
（06）により、
（07）
④ 象は鼻は長い。⇔
④ 象には長い鼻がある。⇔
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
④ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長い。
（08）
⑤ 象は鼻が長い。
といふことは、
⑤ 象の鼻は長いが、鼻以外は長くない。
といふことである。
従って、
（08）により、
（09）
⑤ 象は鼻が長い。⇔
⑤ 象の鼻は長いが、鼻以外は長くない。⇔
⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
⑤ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
（10）
⑥ 象は鼻も長い。
といふことは、
⑥ 象は鼻は長いが、鼻以外が長くない、といふわけではない。
といふことである。
従って、
（09）（10）により、
（11）
⑥ 象は鼻も長い。⇔
⑥ 象は鼻は長いが、鼻以外が長くない、といふわけではない。⇔
⑥ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
⑥ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない、といふわけではない。
然るに、
（12）
（ⅵ）
１　（１）～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）　Ａ
１　（２）∃ｚ～（～鼻ｚｘ→～長ｚ）　１量化子の関係
　３（３）　　～（～鼻ｃｘ→～長ｃ）　Ａ
　３（４）　　～（　鼻ｃｘ∨～長ｃ）　３含意の定義
　３（５）　　　　～鼻ｃｘ＆　長ｃ　　４ド・モルガンの法則
　３（６）　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　５ＥＩ
１　（７）　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　１３６ＥＥ
（ⅶ）
１　　（１）　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　Ａ
　２　（２）　　　　～鼻ｃｘ＆　長ｃ　　Ａ
　　３（３）　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）　Ａ
　　３（４）　　　　～鼻ｃｘ→～長ｃ）　３ＵＥ
　２　（５）　　　　～鼻ｃｘ　　　　　　２＆Ｅ
　２３（６）　　　　　　　　　～長ｃ　　４５ＭＰＰ
　２　（７）　　　　　　　　　　長ｃ　　２＆Ｅ
　２３（８）　　　　　　～長ｃ＆長ｃ　　６７＆Ｉ
　２　（９）～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）　３８ＲＡＡ
従って、
（12）により、
（13）
⑥ ～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
⑦   ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）
に於いて、
⑥＝⑦ である。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
⑥ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑦ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆  ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
⑥＝⑦ である。
従って、
（11）（14）により、
（15）
⑥ 象は鼻も長い。⇔
⑥ 象は鼻は長く、鼻以外も長い。⇔
⑥ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
⑥ すべてのｘについて、あるｙはｘの鼻であって、長く。あるｚはｘの鼻ではなく、ｚは長い。
従って、
（04）（05）（07）（09）（15）により、
（16）
① 象は動物である。
② 象が動物である。
③ 象も動物である。
④ 象は鼻は長い。
⑤ 象は鼻が長い。
⑥ 象は鼻も長い。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
③ ∀ｘ｛象ｘ→動ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動ｙ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑥ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
といふ「述語論理」に、相当する。
（17）
⑦ 象が鼻は長い。
といふことは、
⑦ 象は鼻は長いが、象以外の動物の鼻は長くない。
といふことである。
然るに、
（18）
⑦ 象は鼻は長いが、象以外の動物はの鼻は長くない。⇔
⑦ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
⑦ すべてのｘについて、ｘが象ならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、ｘが象でないならば、ｘの鼻であって、長いｙは存在しない。
従って、
（17）（18）により、
（19）
⑦ 象が鼻は長い。⇔
⑦ 象は鼻は長いが、象以外の動物はの鼻は長くない。⇔
⑦ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
⑦ すべてのｘについて、ｘが象ならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、ｘが象でないならば、ｘの鼻であって、長いｙは存在しない。
（20）
⑧ 象が鼻が長い。
といふことは、
⑧ 象以外に、鼻が長い動物はゐない。
といふことである。
然るに、
（21）
⑧ 象以外に、鼻が長い動物はゐない。
といふことは、
⑧ 象以外に、鼻は長いが、鼻以外は長くない動物はゐない。
といふことである。
然るに、
（22）
② 象が動物である。
⑤ 象は鼻が長い。
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
を「合成」すると、
⑧ 象が鼻が長い。⇔
⑧ 象以外に、鼻が長い動物はゐない。⇔
⑧ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
といふ、ことになる。
然るに、
（23）
（ⅷ）
１　　　　（１）～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］　Ａ
１　　　　（２）～象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　Ａ
　３　　　（３）～象ａ
１３　　　（４）　　　　～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　２３ＭＰＰ
１３　　　（５）　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４ド・モルガンの法則
１３　　　（６）　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　５含意の定義
　　７　　（７）　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３７　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　６７ＭＰＰ
１３７　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｃａ→～長ｃ）　　８量化子の関係
　　　ア　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（　鼻ｃａ∨～長ｃ）　　９含意の定義
　　　ア　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｃａ＆　長ｃ　　　ア、ド・モルガンの法則
　　　ア　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　イＥＩ
１３７　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　クアウＥＥ
１３　　　（オ）　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　７エＣＰ
１　　　　（カ）～象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）］　３オＣＰ
　　　　キ（キ）～象ａ＆　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　キ（ク）～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　キ＆Ｅ
１　　　キ（ケ）　　　　［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）］　カクＭＰＰ
　　　　キ（コ）　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　キ＆Ｅ
１　　　キ（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　ケコＭＰＰ
１　　　　（シ）　～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　キサ
１　　　　（ス）　～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　　シＵＩ
（ⅸ）
１　　　　（１）　～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　　Ａ
１　　　　（２）　～象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　１ＵＥ
　３　　　（３）　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　４　　（４）　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　３４　　（５）　～鼻ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　３４＆Ｉ
１３４　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　２５ＭＰＰ
　　　７　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｃａ＆　長ｃ　　　Ａ
　　　７　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｃａ∨～長ｃ）　　７ド・モルガンの法則
　　　７　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｃａ→～長ｃ）　　８含意の定義
　　　７　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｃ）　　９ＥＩ
１３４　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｃ）　　６７アＥＥ
１３４　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｃ）　　イ量化子の関係　
１３　　　（エ）　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｃ）　　４ウＣＰ
１３　　　（オ）　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　エ含意の定義
１３　　　（カ）　　　　～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　オ、ド・モルガンの法則
１　　　　（キ）～象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　３カＣＰ
１　　　　（ク）～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］　キＵＩ
従って、
（23）により、
（24）
⑧ ～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］
⑨ ～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→　  ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）
に於いて、
⑧＝⑨ である。
従って、
（22）（23）（24）により、
（25）
⑧ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
⑨ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆　　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
に於いて、
⑧＝⑨ である。
然るに、
（26）
⑧ ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
⑧  すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく、ｘが象ではなく、ｙがｘの鼻であって長いならば、あるｚはｘの鼻ではなくて、長い。
といふことは、
⑧ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くないが、象以外に、鼻が長い動物は、鼻以外も長い。
といふ、ことである。
然るに、
（27）
⑧ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くないが、象以外に、鼻が長い動物は、鼻以外も長い。
といふことは、
⑧ 鼻は長く、鼻以外は長くない動物は、象だけである。
といふことである。
然るに、
（28）
⑧ 鼻は長く、鼻以外は長くない動物は、象だけである。
といふことは、
⑧ 象が鼻が長い。
といふことである。
従って、
（20）～（28）により、
（29）
⑧ 象が鼻が長い。⇔
⑧ 象以外に、鼻が長い動物はゐない。
⑧ ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
⑧  すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく、ｘが象ではなく、ｙがｘの鼻であって長いならば、あるｚはｘの鼻ではなくて、長い。
然るに、
（30）
⑨ 象が鼻も長い。
といふことは、
⑨ 象は、鼻と、鼻以外も長いが、象以外の動物の鼻が長がければ、その動物の鼻以外は長くない。
といふことである。
然るに、
（31）
⑨ 象は、鼻と、鼻以外も長いが、象以外の動物の鼻が長がければ、その動物の鼻以外は長くない。⇔
⑨ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
⑨ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、あるｚはｘの鼻ではなくて、長く、ｘが象でなくて、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、ｘの鼻でなくて、長いｚは存在しない
従って、
（30）（31）により、
（32）
⑨ 象が鼻も長い。⇔
⑨ 象は、鼻と、鼻以外も長いが、象以外の動物の鼻が長がければ、その動物の鼻以外は長くない。⇔
⑨ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
⑨ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、あるｚはｘの鼻ではなくて、長く、ｘが象でなくて、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、ｘの鼻でなくて、長いｚは存在しない
従って、
（16）（19）（29）（32）により、
（33）
① 象は動物である。
② 象が動物である。
③ 象も動物である。
④ 象は鼻は長い。
⑤ 象は鼻が長い。
⑥ 象は鼻も長い。
⑦ 象が鼻は長い。
⑧ 象が鼻が長い。
⑨ 象が鼻も長い。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
③ ∀ｘ｛象ｘ→動ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動ｙ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑥ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
⑦ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
⑧ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
⑨ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
といふ「述語論理」に、相当する。
（34）
⑩ 象も鼻は長い。
といふことは、
⑩ 象は鼻は長いが、象以外の動物の鼻で、長い鼻が存在しない、といふわけではない。
といふことである。
然るに、
（35）
⑩ 象は鼻は長いが、象以外の動物の鼻ならば、長い鼻が存在しない、といふわけではない。⇔
⑩ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～［～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）］｝⇔
⑩ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、ｘが象でないならば、ｘの鼻であって、長いｙが存在しない、といふわけではない。
然るに、
（36）
（ａ）
１（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～［～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）］｝　Ａ
１（２）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～［～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］｝　Ａ
１（３）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２ＵＥ
１（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　～［～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］　　２ＵＥ
１（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　～［　象ａ∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］　　４含意の定義
１（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　５ド・モルガンの法則
１（７）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　　～象ａ＆　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　３６＆Ｉ
１（８）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　　～象ｘ＆　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝　　７ＵＩ
（ｂ）
１　（１）∀ｘ｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　　～象ａ＆　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝　　Ａ
１　（２）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆　　～象ａ＆　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　１ＵＥ
１　（３）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ＆　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　２＆Ｅ
　５（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　Ａ
１　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　４＆Ｅ
１５（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　５６ＭＰＰ
１　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　４＆Ｅ
１５（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　７８＆Ｉ
１　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　～［～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］　　５９ＲＡＡ
１　（イ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～［～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］　　３ア＆Ｉ
１　（ウ）∀ｘ｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～［～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］｝　イＵＩ
従って、
（36）により、
（37）　
（ａ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～［～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）］｝
（ｂ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆　　～象ｘ＆　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、
（ａ）＝（ｂ）である。
従って、
（34）（35）（36）により、
（38）
⑩ 象も鼻は長い。⇔
⑩ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
⑩ すべてのｘについて、ｘが象ならば、あるｙはｘの鼻であって長く、ｘは象でなくとも、あるｙはｘの鼻であって長い。
然るに、
（33）により、
（39）
⑤ 象は鼻が長い。⇔
⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
従って、
（38）（39）により、
（40）
⑤ 象は鼻が長い。 と、
⑤ 象は鼻が長い。 を、「合成」すると、
⑪ 象も鼻が長い。⇔
⑪ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
⑪ すべてのｘについて、ｘが象ならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく、ｘは象でなくとも、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなくない。
然るに、
（41）
⑫ 象も鼻も長い。
といふことは、
⑫ 象と、象の他に、鼻と鼻以外が長い動物がゐる。
といふことである。
然るに、
（42）
⑫ 象と、象の他に、鼻と鼻以外が長い動物がゐる。
⑫ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
⑫ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であり、長く、あるｚはｘの鼻以外であるが、長く、ｘが象でなくとも、あるｙはｘの鼻であり、長く、あるｚはｘの鼻以外であるが、長い。
従って、
（41）（42）により、
（43）
⑫ 象も鼻も長い。⇔
⑫ 象と、象の他に、鼻と鼻以外が長い動物がゐる。
⑫ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
⑫ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であり、長く、あるｚはｘの鼻以外であるが、長く、ｘが象でなくとも、あるｙはｘの鼻であり、長く、あるｚはｘの鼻以外であるが、長い。
従って、
（33）（38）（40）（43）により、
（44）
① 象は動物である。
② 象が動物である。
③ 象も動物である。
④ 象は鼻は長い。
⑤ 象は鼻が長い。
⑥ 象は鼻も長い。
⑦ 象が鼻は長い。
⑧ 象が鼻が長い。
⑨ 象が鼻も長い。
⑩ 象も鼻は長い。
⑪ 象も鼻が長い。
⑫ 象も鼻も長い。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動ｘ＆～象ｘ→～動ｘ）
③ ∀ｘ｛象ｘ→動ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動ｙ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑥ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
⑦ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
⑧ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
⑨ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
⑩ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
⑪ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑫ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
といふ「述語論理」に、相当する。
然るに、
（45）
日常言語の文から述語計算の文の翻訳のためには、一般にあたまが柔軟であることが必要である。なんら確定的な規則があるわけでなく、量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。そこに含まれている仕事は翻訳の仕事に違いないけれども、しかしそこへ翻訳が行われる形式言語は、自然言語のシンタックスとは幾らか違ったシンタックスをもっており、また限られた述語―論理的結合記号、変数、固有名、述語文字、および２つの量記号―しかもたない。その言語のおもな長所は、記法上の制限にもかかわらず、非常に広範な表現能力をもっていることである（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１３０頁）。
然るに、
（46）
⑩ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
⑪ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑫ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
といふ「述語論理式」が書けるようになるためには、確かに、
（ａ）あたまが柔軟であることが必要であるし、
（ｂ）なんら確定的な規則があるわけではないし、
（ｃ）量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。
従って、
（47）
「練習を積むこと」を厭はない人でなければ、
⑩ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
⑪ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
⑫ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
といふ「式」を、書けるようには、ならないのが、「普通」であると、思はれる。