（531）「ド・モルガンの法則」と「含意の定義」と「命題計算」。

（01）
（ａ）
　１　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ
　　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　２３　（６）　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ
　　２　　（７）　　～～Ｐ　　　　　　３ＲＡＡ
　　２　　（８）　　　　Ｐ　　　　　　７ＤＮ
　　　　９（９）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　９（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　９∨Ｉ
　　２　９（イ）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２ア＆Ｉ
　　２　　（ウ）　　　　　～～Ｑ　　　９イＲＡＡ
　　２　　（エ）　　　　　　　Ｑ　　　ウＤＮ
　　２　　（オ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　８エ＆Ｉ
　１２　　（カ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ）
　１　　　（キ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２カＲＡＡ
　１　　　（ク）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　キＤＮ
（ｂ）
１　　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　Ａ
　２　　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　Ａ
　　３　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　３　　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　３∨Ｉ
　　３　　（５）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　４∨Ｉ
　２３　　（６）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２５＆Ｉ
　２　　　（７）　　～～Ｐ　　　　　　　　　３ＲＡＡ
　２　　　（８）　　　　Ｐ　　　　　　　　　７ＤＮ
　　　９　（９）　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　９∨Ｉ
　　　９　（イ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　ア∨Ｉ
　２　９　（ウ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２イ＆Ｉ
　２　　　（エ）　　　　　～～Ｑ　　　　　　９ウＲＡＡ
　２　　　（オ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　エＤＮ
　　　　カ（カ）　　　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　　　　カ（キ）　　　　　　～Ｑ∨～Ｒ　　　カ∨Ｉ
　　　　カ（ク）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　キ∨Ｉ
　２　　カ（ケ）　～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２ク＆Ｉ
　２　　　（コ）　　　　　　　　～～Ｒ　　　カケＤＮ
　２　　　（サ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　コＤＮ
　２　　　（シ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　８オ＆Ｉ
　２　　　（ス）　　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　　サシ＆Ｉ
１２　　　（セ）　～（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　１ス＆Ｉ
１　　　　（ソ）～～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）　　２セＲＡＡ
１　　　　（タ）　　　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　ソＤＮ
（02）
（ｃ）
　１　　　（１）　～Ｐ∨～Ｑ　　Ａ
　　２　　（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ
　　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ
　　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　　２３　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　　３　（６）～（Ｐ＆　Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　　７（７）　　　　～Ｑ　　Ａ
　　２　　（８）　　　　　Ｑ　　２＆Ｅ
　　２　７（９）　　～Ｑ＆Ｑ　　７８＆Ｉ
　　　　７（ア）～（Ｐ＆　Ｑ）　２９ＲＡＡ
　１　　　（イ）～（Ｐ＆　Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ
（ｄ）
１　　　　（１）　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　Ａ
　２　　　（２）　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　　Ａ
　　３　　（３）　～Ｐ　　　　　　　　Ａ
　２　　　（４）　　Ｐ　　　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　　　３４＆Ｉ
　　３　　（６）～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　２５ＲＡＡ
　　　７　（７）　　　　～Ｑ　　　　　Ａ
　２　　　（８）　　　　　Ｑ　　　　　２＆Ｅ
　２　７　（９）　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　（ア）～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　２９ＲＡＡ　　　　　　
　　　　イ（イ）　　　　　　　～Ｒ　　Ａ
　２　　　（ウ）　　　　　　　　Ｒ　　２＆Ｅ
　２　　イ（エ）　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　イウ＆
　　　　イ（オ）～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　２エＲＡＡ
１　　　　（カ）～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　１３６７アイオ∨Ｅ
従って、
（01）（02）により、
（03）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ）　　⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（〃）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。
（04）
（ｅ）
　　１　　（１）～（Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　　　２　（２）　　Ｐ　　　　　Ａ
　　　２　（３）　　Ｐ∨Ｑ　　　２∨Ｉ
　　１２　（４）～（Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ）　　１３＆Ｉ
　　１　　（５）　～Ｐ　　　　　２４ＲＡＡ
　　　　６（６）　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　６（７）　　Ｐ∨Ｑ　　　６∨Ｉ
　　１　６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ）　　１６＆Ｉ
　　１　　（９）　　　～Ｑ　　　６８ＲＡＡ
　　１　　（ア）～Ｐ＆～Ｑ　　　５９＆Ｉ
（ｆ）
１　　　（１）　～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）　　Ａ
　２　　（２）　　　Ｐ　　　　　　　Ａ
　２　　（３）　　　Ｐ∨Ｑ　　　　　２∨Ｉ
　２　　（４）　　　Ｐ∨Ｑ∨Ｒ
１２　　（５）　～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）　　１４＆Ｉ
１　　　（６）　　～Ｐ　　　　　　　２ＲＡＡ
　　７　（７）　　　　　Ｑ　　　　　Ａ
　　７　（８）　　　Ｐ∨Ｑ　　　　　７∨Ｉ
　　７　（９）　　　Ｐ∨Ｑ∨Ｒ　　　８∨Ｉ
１　７　（ア）　～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）　　１９＆Ｉ
１　　　（イ）　　　　～Ｑ　　　　　７アＲＡＡ
　　　ウ（ウ）　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
　　　ウ（エ）　　　　　Ｑ∨Ｒ　　　ウ∨Ｉ
　　　ウ（オ）　　　Ｐ∨Ｑ∨Ｒ　　　エ∨Ｉ
１　　ウ（カ）　～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）　　１オ＆Ｉ
１　　　（キ）　　　　　　～Ｒ　　　ウカＲＡＡ
１　　　（ク）～Ｐ＆～Ｑ　　　　　　６イ＆Ｉ
１　　　（ケ）～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　キク＆Ｉ
（05）
（ｇ）
　１　　　（１）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　２　　（２）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　１　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
　　　４　（４）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　１　４　（５）　　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　　４　（６）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１５ＲＡＡ
　１　　　（７）　　　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ
　　　　８（８）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　１　　８（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　　８（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１９ＲＡＡ
　　２　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２４６８ア∨Ｅ
　１２　　（ウ）　（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１イ＆Ｉ
　１　　　（エ）　～（Ｐ∨　Ｑ）　　２ウＲＡＡ
（ｈ）
１　　　　（１）　　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　　　Ａ
　２　　　（２）　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　Ａ
１　　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　　　　１＆Ｅ
　　４　　（４）　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
１　４　　（５）　　～Ｐ＆　Ｐ　　　　　　３４＆Ｉ
　　４　　（６）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　１５ＲＡＡ
１　　　　（７）　　　　　～Ｑ　　　　　　１＆Ｅ
　　　８　（８）　　　　　　Ｑ　　　　　　Ａ
１　　８　（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　８　（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　１９ＲＡＡ
１　　　　（イ）　　　　　　　　～Ｒ　　　１＆Ｅ
　　　　ウ（ウ）　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
１　　　ウ（エ）　　　　　　～Ｒ＆Ｒ　　　イウ＆Ｉ
　　　　ウ（オ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　１エＲＡＡ
　２　　　（カ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ）　　１３６８アウオイウ∨Ｅ
従って、
（04）（05）により、
（06）
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ）　　⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
（〃）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑ
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。
従って、
（03）（06）により、
（07）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ）　　⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（〃）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ）　　⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
（〃）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑ
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。
然るに、
（01）（02）（04）（05）により、
（08）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ）　　⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ）　　⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
といふ「等式」と、
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑ
といふ「等式」は、「計算」としては、「命題の数」が、一方は「２つ」で、一方が「３つ」であるといふことに、過ぎない。
従って、
（09）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ）　　⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（〃）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ）　　⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
（〃）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑ
といふ「等式」が成立する以上、当然、
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（〃）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）　　⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
（〃）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ＆Ｓ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ）　　　　⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
（〃）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）　　⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑ
（〃）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ∨Ｓ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑ＆～Ｓ
といふ「等式」が成立する。
然るに、
（10）
右の「等式」は、
（ⅰ）～（０＆１）　　　　⇔ ～０∨～１
（〃）～（０＆１＆２）　　⇔ ～０∨～１∨～２
（〃）～（０＆１＆２＆３）⇔ ～０∨～１∨～２∨～３
（ⅱ）～（０∨１）　　　　⇔ ～０＆～１
（〃）～（０∨１∨２）　　⇔ ～０＆～１＆～２
（〃）～（０∨１∨２∨３）⇔ ～０＆～１＆～２＆～３
といふ風に、書くことが出来る。
従って、
（09）（10）により、
（11）
「ド・モルガンの法則」は、「（２以上の）自然数」と「同じ個数（無限個）」の「命題」に於いても、成立する。
ｃｆ.
数学的帰納法（mathematical induction）。
然るに、
（12）
（ⅰ）
　１　　（１）　　　　Ｐ→～Ｑ　　　Ａ
　　２　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　　３（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　　３（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ
　　２３（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ
　　２　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　　２　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　１２　（８）　　　　　　～Ｑ　　　１７ＭＰＰ
　１２　（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　８∨Ｉ
　１２　（ア）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２９＆Ｉ
　１　　（イ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２アＲＡＡ
　１　　（ウ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　イＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　～Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　～Ｑ＆～～Ｑ　　　６７＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　～Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　～Ｑ　　　ウクＣＰ
従って、
（12）により、
（13）
① 　Ｐ→～Ｑ
② ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）により、
（14）
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（13）（14）により、
（15）
① 　Ｐ→～Ｑ
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（16）
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitutuion）」を行ふと、
① 　Ｐ→～～Ｑ
② ～Ｐ∨～～Ｑ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（17）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① 　　Ｐ→　Ｑ
②　 ～Ｐ∨　Ｑ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ であるが、
①＝② を称して、「含意の定義」といひ、
①＝③ を称して、「含意の定義」といふ。
然るに、
（18）
（ⅰ）
１　　（１）　（Ｐ＆　Ｑ）→Ｒ　Ａ
１　　（２）～（Ｐ＆　Ｑ）∨Ｒ　１含意の定義
　３　（３）～（Ｐ＆　Ｑ）　　　Ａ
　３　（４）　～Ｐ∨～Ｑ　　　　３ド・モルガンの法則
　３　（５）　～Ｐ∨～Ｑ　∨Ｒ　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　　Ｒ　Ａ
　　６（７）　　　　～Ｑ　∨Ｒ　６∨Ｉ
　　６（８）　～Ｐ∨～Ｑ　∨Ｒ　７∨Ｉ
１　　（９）　～Ｐ∨～Ｑ　∨Ｒ　２３５６８∨Ｅ
１　　（ア）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ　９結合法則
（ⅱ）
１　　（１）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ　Ａ
　２　（２）（～Ｐ∨～Ｑ）　　　Ａ
　２　（３）～（Ｐ＆　Ｑ）　　　３ド・モルガンの法則
　２　（４）～（Ｐ＆　Ｑ）∨Ｒ　３∨Ｉ
　　５（５）　　　　　　　　Ｒ　Ａ
　　５（６）～（Ｐ＆　Ｑ）∨Ｒ　５∨Ｉ
１　　（７）～（Ｐ＆　Ｑ）∨Ｒ　１２４５６∨Ｅ
１　　（８）　（Ｐ＆　Ｑ）→Ｒ　７含意の定義
従って、
（18）により、
（19）
① 　（Ｐ＆　Ｑ）→Ｒ
② （～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（20）
（ⅰ）
１　　（１）　　（Ｐ＆Ｑ）→　Ｒ　　Ａ
　２　（２）　　（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ　　Ａ
　２　（３）　　（Ｐ＆Ｑ）　　　　　２＆Ｅ
１２　（４）　　　　　　　　　Ｒ　　１３ＭＰＰ
　２　（５）　　　　　　　　～Ｒ　　２＆Ｅ
１２　（６）　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　  ４５＆Ｉ
１　　（７）～｛（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ｝　２６ＲＡＡ
（ⅲ）
１　　（１）～｛（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ｝　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｒ　　１ド・モルガンの法則
１　　（３）　　（Ｐ＆Ｑ）→　Ｒ　　２含意の定義
従って、
（20）により、
（21）
① 　　（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
③ ～｛（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ｝
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（19）（21）により、
（22）
① 　　（Ｐ＆　Ｑ）→　Ｒ
②　 （～Ｐ∨～Ｑ）∨　Ｒ
③ ～｛（Ｐ＆　Ｑ）＆～Ｒ｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（23）
「同じこと」なので、敢へて、一つだけ「計算」すると、
（ⅰ）
１　　（１）　（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）→Ｓ　Ａ
１　　（２）～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）∨Ｓ　１含意の定義
　３　（３）～（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）　　　Ａ
　３　（４）　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　　　　３ド・モルガンの法則
　３　（５）　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　∨Ｓ　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　　　　　Ｓ　Ａ
　　６（７）　　　　　　　～Ｑ　∨Ｓ　６∨Ｉ
　　６（８）　　　　～Ｑ∨～Ｒ　∨Ｓ　７∨Ｉ
　　６（９）　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　∨Ｓ　８∨Ｉ
１　　（ア）　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　∨Ｓ　２３５６９∨Ｅ
１　　（イ）（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）∨Ｓ　ア結合法則
従って、
（17）（22）（23）により、
（24）
① 　　（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）→　Ｓ
②　 （～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）∨　Ｓ
③ ～｛（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）＆～Ｓ｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（25）
① 　　（Ｐ＆　Ｑ）→　Ｒ
②　 （～Ｐ∨～Ｑ）∨　Ｒ
③ ～｛（Ｐ＆　Ｑ）＆～Ｒ｝
に於いて、
①＝②＝③ であること覚えてゐれば、
① 　　Ｐ→　Ｑ
②　 ～Ｐ∨　Ｑ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ ことも、
① 　　（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）→　Ｓ
②　 （～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）∨　Ｓ
③ ～｛（Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ）＆～Ｓ｝
に於いて、
①＝②＝③ であることも、両方とも、思ひだすことが、出来る。
然るに、
（26）
① 　　Ｐ→　Ｒ
②　 ～Ｐ∨　Ｒ
③ ～｛Ｐ＆～Ｒ｝
に於いて、
Ｐ＝（Ｐ＆Ｑ）
といふ「代入（Substitutuion）」を行ふと、
① 　　（Ｐ＆Ｑ）→　Ｒ
②　 ～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｒ
③ ～｛（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ｝
然るに、
（27）
「ド・モルガンの法則」により、
②　 ～（Ｐ＆Ｑ）＝（～Ｐ∨～Ｑ）
であるため、
① 　　（Ｐ＆Ｑ）→　Ｒ
②　 ～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｒ
③ ～｛（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ｝
であるならば、
① 　　（Ｐ＆　Ｑ）→　Ｒ
②　 （～Ｐ∨～Ｑ）∨　Ｒ
③ ～｛（Ｐ＆　Ｑ）＆～Ｒ｝
である。
従って、
（01）～（27）により、
（28）
以上に於いて、「計算ミス」は無い。
然るに、
（29）
「命題計算（Propositional calculus）」は、「１（真）と０（偽）」だけを、「値（value）」とする「計算」である。
従って、
（30）
① 　　Ｐ→　Ｒ
②　 ～Ｐ∨　Ｒ
③ ～｛Ｐ＆～Ｒ｝
に於いて、
Ｐ＝（Ｐ＆Ｑ）
といふ「代入（Substitutuion）」を行ふといふことは、
① 　　Ｐ→　Ｒ
②　 ～Ｐ∨　Ｒ
③ ～｛Ｐ＆～Ｒ｝
に於いて、
Ｐ＝１（真） または、
Ｐ＝０（偽） といふ「代入（Substitutuion）」を行ふ。といふことである。
然るに、
（31）
① 　　Ｐ→　Ｒ
②　 ～Ｐ∨　Ｒ
③ ～｛Ｐ＆～Ｒ｝
に於いて、
①＝②＝③ であるならば、当然、
① 　　１→　Ｒ
②　 ～１∨　Ｒ
③ ～｛１＆～Ｒ｝
に於いても、
①＝②＝③ であるし、
① 　　０→　Ｒ
②　 ～０∨　Ｒ
③ ～｛０＆～Ｒ｝
に於いても、
①＝②＝③ である。
従って、
（01）～（31）により、
（32）
以上の「内容」は、
① 　　Ｐ→　Ｒ
②　 ～Ｐ∨　Ｒ
③ ～｛Ｐ＆～Ｒ｝
に於いて、
①＝②＝③ であるならば、当然、
① 　　１→　Ｒ
②　 ～１∨　Ｒ
③ ～｛１＆～Ｒ｝
に於いても、
①＝②＝③ であるし、
① 　　０→　Ｒ
②　 ～０∨　Ｒ
③ ～｛０＆～Ｒ｝
に於いても、
①＝②＝③ である。
といふことに対する、「確認」である。
といふ風に、言へないこともない。
（33）
（Ｓ１）証明された定理の任意の代入例に対して、証明が見出されうる。
（Ｓ１）A proof can be found for any substitution-instance of a proved theorem.
（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学入門、６９頁と原文）
といふことは、「実感」としても、確かに、「正しい」。