（01）
① ∃ｘＦｘ
② ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝
といふ「論理式」は、
① 少なくとも、１つ以上のｘがＦである。
② 少なくとも、２つ以上のｘがＦである。
といふ「意味」である。
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘＦｘ
② ～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝
といふ「論理式」は、
① 少なくとも、１つ以上のｘがＦである。
② 少なくとも、２つ以上のｘがＦである。といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
② 少なくとも、２つ以上のｘがＦである。といふことはない。
といふことは、
② ２つ未満のｘがＦである。
といふことである。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ∃ｘＦｘ
② ～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝
といふ「論理式」は、
① 少なくとも、１つ以上のｘがＦである。
② ２つ未満のｘがＦである。
といふ「意味」である。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１（１）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝ Ａ
１（２）∀ｘ～∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝ １量化子の関係
１（３）∀ｘ∀ｙ～｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝ ２量化子の関係
１（４） ∀ｙ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆ａ≠ｙ｝ ３ＵＥ
１（５） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆ａ≠ｂ｝ ４ＵＥ
１（６） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ５ド・モルガンの法則
１（７） （Ｆａ＆Ｆｂ）→ａ＝ｂ ６含意の定義
１（８） ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→ａ＝ｙ｝ ７ＵＩ
１（９） ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝ ８ＵＩ
（ⅲ）
１（１） ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝ Ａ
１（２） ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→ａ＝ｙ｝ １ＵＥ
１（３） Ｆａ＆Ｆｂ →ａ＝ｂ ２ＵＥ
１（４） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ３含意の定義
１（５） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆ａ≠ｂ｝ ４ド・モルガンの法則
１（６） ∀ｙ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆ａ≠ｙ｝ ５ＵＩ
１（７） ～∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆ａ≠ｙ｝ ６量化子の関係
１（８）∀ｘ～∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝ ７ＵＩ
１（９）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝ ８量化子の関係
従って、
（05）により、
（06）
② ～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝
③ ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
① ∃ｘＦｘ
② ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝
といふ「論理式」は、
① 少なくとも、１つ以上のｘがＦである。
② ２つ未満のｘがＦである。
といふ「意味」である。
然るに、
（08）
① 少なくとも、１つ以上のｘがＦであって、
② 尚且つ、２つ未満（１個か０個）のｘがＦである。
といふことは、
③ 正確に、１つ（１個以上、１個以下）のモノがＦである。
といふことである。
従って、
（07）（08）により、
（09）
①＆② ⇔
③ ∃ｘＦｘ＆ ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝⇔
③ あるｘはＦであって、すべてのｘとｙについて、ｘがＦであり、ｙもＦであるならば、ｘとｙは「同一」である。
といふことは、
③ 正確に、１つのモノがＦである。
といふことである。
然るに、
（10）
（ⅲ）
１ （１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘＦｘ １＆Ｅ
３ （３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
７（７） Ｆｂ Ａ
３７（８） Ｆａ＆Ｆｂ ３７＆Ｉ
１３７（９） ａ＝ｂ ６８ＭＰＰ
１３ （ア） Ｆｂ→ａ＝ｂ ７９ＣＰ
１３ （イ） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） アＵＩ
１３ （ウ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３イ＆Ｉ
１３ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ウＵＩ
１ （オ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ １３エＥＥ
（ⅳ）
１ （１） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） Ｆａ ２＆Ｅ
２ （４） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （５） Ｆｂ→ａ＝ｂ ４ＵＥ
６（６） Ｆｂ＆Ｆｂ Ａ
６（７） Ｆｂ ６＆Ｅ
２６（８） ａ＝ｂ ５７ＭＰＰ
２６（９） ａ＝ｂ＆ａ＝ｂ ８８＆Ｉ
２６（ア） ａ＝ｂ ９＆Ｅ
２６（イ） ｂ＝ｂ ８ア＝Ｅ
２ （ウ） Ｆｂ＆Ｆｂ→ｂ＝ｂ ５イＣＰ
２ （エ） ∀ｙ（Ｆｂ＆Ｆｙ→ｂ＝ｙ） ウＵＩ
２ （オ） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） エＵＩ
２ （キ） ∃ｘＦｘ ３ＥＩ
２ （ク）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） オキ＆Ｉ
１ （ケ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １２クＥＥ
従って、
（10）により、
（11）
③ ∃ｘＦｘ＆ ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝
④ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ →ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
③ ∃ｘＦｘ＆ ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝
④ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ →ｘ＝ｙ）｝
といふことは、すなはち、
③ あるｘはＦであって、すべてのｘとｙについて、ｘがＦであり、ｙもＦであるならば、ｘとｙは「同一」である。
④ あるｘはＦであり、 すべてのｘについて、 ｘがＦであるならば、 ｘとｙは「同一」である。
といふことは、両方とも、
③ 正確に、１つのモノがＦである。
④ 正確に、１つのモノがＦである。
といふ、「意味」である。
然るに、
（13）
④ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝⇔
④ あるｘはＦであり、すべてのｘについて、ｘがＦであるならば、ｘとｙは「同一」である。
といふことは、
④ あるｘはＦであるが、２つ目のＦは、仮に有るとして、ｘ以外には無い。
といふ、ことである。
然るに、
（14）
④ あるｘはＦであるが、２つ目のＦは、仮に有るとして、ｘ以外には無い。
といふことは、
④ 正確に、１つのモノがＦである（Exactly one thing is Ｆ）。
といふ、ことである。
従って、
（13）（14）により、
（15）
⑤ 正確に、２つのｘがＦである（Exactly two things are Ｆs）。
と言ひたいのであれば、
⑤ あるｘとｙはＦであるが、３つ目のＦは、仮に有るとして、ｘとｙ以外には無い。
といふ風に、言へばよい。
然るに、
（16）
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ＆∀ｚ（Ｆｚ→ｚ＝ｘ∨ｚ＝ｙ）｝⇔
⑤ あるｘはＦであり、あるｙもＦであり、ｘとｙは「同一」ではなく、すべてのｘについて、ｚがＦであるならば、ｚは、ｘとｙの、どちらか一方と「同一」である。
といふことは、
⑤ あるｘとｙはＦであるが、３つ目のＦは、仮に有るとして、ｘとｙ以外には無い。
といふ、ことである。
従って、
（15）（16）により、
（17）
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ＆∀ｚ（Ｆｚ→ｚ＝ｘ∨ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」は、
⑤ 正確に、２つのｘがＦである（Exactly two things are Ｆs）。
といふ「意味」である。
従って、
（12）（17）により、
（18）
④ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ＆∀ｚ（Ｆｚ→ｚ＝ｘ∨ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」は、
④ 正確に、１つのモノがＦである。
⑤ 正確に、２つのモノがＦである。
といふ「意味」である。
従って、
（18）により、
（19）
④ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
⑤ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆ｘ≠ｙ＆∀ｚ（Ｆｚ→ｚ＝ｘ∨ｘ＝ｙ）｝
⑥ ∃ｘ∃ｙ∃ｚ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ＆（ｘ≠ｙ＆ｘ≠ｚ＆ｙ≠ｚ）＆∀ｗ（Ｆｗ→ｗ＝ｘ∨ｗ＝ｙ∨ｗ＝ｚ）｝
といふ「論理式」は、
④ 正確に、１つのモノがＦである。
⑤ 正確に、２つのモノがＦである。
⑥ 正確に、３つのモノがＦである。
といふ「意味」である。