（01）
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ １量化子の関係
３ （３） ～｛象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］｝ Ａ
３ （４） ～｛～象ａ∨［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］｝ ３含意の定義
３ （５） 象ａ＆～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ４ド・モルガンの法則
３ （６） 象ａ ５＆Ｅ
３ （７） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ５＆Ｅ
３ （８） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７ド・モルガンの法則
３ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ８含意の定義
ア （ア） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３ア （イ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９アＭＰＰ
３ア （ウ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） イ量化子の関係
エ（エ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
エ（オ） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） エ含意の定義
エ（カ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ オ、ド・モルガンの法則
エ（キ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） カＥＩ
３ア （ク） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ウエキＥＥ
３ （ケ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） アクＣＰ
３ （コ） 象ａ＆［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ６ケ＆Ｉ
３ （サ） ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ コＥＩ
１ （シ） ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ １３サＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ Ａ
２ （２） 象ａ＆［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ Ａ
２ （３） 象ａ ２＆Ｅ
２ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２＆Ｅ
５ （５） ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ<br>
５ （６） 象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ５ＵＥ<br>
２５ （７） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３６ＭＰＰ
２５ （８） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ７＆Ｅ
２５ （９） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ４８ＭＰＰ
２５ （ア） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７＆Ｅ
イ（イ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
２５ （ウ） ～鼻ｂａ→～長ｂ アＵＥ
イ（エ） ～鼻ｂａ イ＆Ｅ
２５イ（オ） ～長ｂ ウエＭＰＰ
イ（カ） 長ｂ イ＆Ｅ
２５イ（キ） ～長ｂ＆長ｂ オカ＆Ｉ
２５ （ク） ～長ｂ＆長ｂ ９イキＥＥ
２ （ケ）～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ ５クＲＡＡ
１ （コ）～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ １２ケＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
① ～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。といふことはない。
② あるｘが象であって、 あるｙがｘの鼻であって長いならば、 あるｚはｘの鼻でなくて、長い。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
「ある命題Ａ」 と「ある命題Ｂ 」 が「等しい」のであれば、
「命題Ａの否定」と「命題Ｂの否定」も「等しい」。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いて、
①＝② であるが故に、
③ ～～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
④ ～∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いても、
③＝④ でなければ、ならない。
然るに、
（05）
「二重否定（ＤＮ）」により、
③ ～～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
⑤ ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
に於いて、
③＝⑤ である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
③ ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
④ ～∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いても、
③＝④ でなければ、ならない。
然るに、
（07）
（ⅲ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ
１ （２） 象ａ→［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） 象ａ＆［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ Ａ
３ （４） 象ａ ３＆Ｅ
３ （５） ［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ３＆Ｅ
６ （６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３６ （７） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ５６ＭＰＰ
８（８） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
８（９） ～～（～鼻ｂａ＆ 長ｂ） ８ＤＮ
８（ア） ～（～～鼻ｂａ∨～長ｂ） ９ド・モルガンの法則
８（イ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） ア含意の定義
８（ウ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） イＥＩ
３６ （エ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７８ウＥＥ
３６ （オ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） エ量化子の関係
１３ （カ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２４ＭＰＰ
１３ （キ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） カ＆Ｅ
１３６ （ク） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） オキ＆Ｉ
１３ （ケ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ６クＲＡＡ
１３ （コ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） カ＆Ｅ
１３ （サ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ケコ＆Ｉ
１ （シ） ～｛象ａ＆［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］｝ ３サＲＡＡ
１ （ス）∀ｘ～｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ シＵＩ
１ （セ）～∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ ス量化子の関係
（ⅳ）
１ （１）～∃ｘ｛象ｘ＆［ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～｛象ｘ＆［ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ １量化子の関係
１ （３） ～｛象ａ＆［ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］｝ ２ＵＥ
１ （４） ～｛象ａ＆［～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］｝ ３含意の定義
１ （５） ～象ａ∨～［～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ４ド・モルガンの法則
１ （６） 象ａ→～［～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ５含意の定義
７ （７） 象ａ Ａ
１７ （８） ～［～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）］ ６７ＭＰＰ
１７ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ８ド・モルガンの法則
１７ （ア） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ９＆Ｅ
１７ （イ） ∀ｚ～（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ア量化子の関係
１７ （ウ） ～（～鼻ｂａ＆ 長ｂ） イＵＥ
１７ （エ） ～～鼻ｂａ∨～長ｂ ウ、ド・モルガンの法則
１７ （オ） ～鼻ｂａ→～長ｂ エ含意の定義
１７ （カ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） オＵＩ
１７ （キ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
１７ （ク） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） カキ＆Ｉ
１ （ケ） 象ａ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ ７クＣＰ
１ （コ） ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ ケＵＩ
従って、
（07）により、
（08）
果たして、
③ ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
④ ～∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝
に於いて、
③＝④ である。
（09）
例へば、
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝ １量化子の関係
（ⅳ）
１ （１）～∃ｘ｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～｛象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）］｝ １量化子の関係
で用ひた、「量化子の関係」の「証明」は、次（10、11）の通りである。
（10）
（ａ）～∀ｘＦｘ├ ∃ｘ～Ｆｘ
１ （１） ～∀ｘＦｘ Ａ
２ （２） ～∃ｘ～Ｆｘ Ａ
３（３） ～Ｆａ Ａ
３（４） ∃ｘ～Ｆｘ ３ＥＩ
２３（５） ～∃ｘ～Ｆｘ＆
∃ｘ～Ｆｘ ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｆａ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｆａ ６ＤＮ
２ （８） ∀ｘＦｘ ７ＵＩ
１２ （９） ～∀ｘＦｘ＆
∀ｘＦｘ ２８＆Ｉ
１ （ア）～～∃ｘ～Ｆｘ ２９ＲＡＡ
１ （イ） ∃ｘ～Ｆｘ アＤＮ
（ｂ）∃ｘ～Ｆｘ├ ～∀ｘＦｘ
１ （１） ∃ｘ～Ｆｘ Ａ
２ （２） ～Ｆａ Ａ
３（３） ∀ｘＦｘ Ａ
３（４） Ｆａ ３ＵＥ
２３（５）～Ｆａ＆Ｆａ ２４＆Ｉ
２ （６） ～∀ｘＦｘ ３５ＲＡＡ
１ （７） ～∀ｘＦｘ １２６ＥＥ
（11）
（ｃ）～∃ｘＦｘ├ ∀ｘ～Ｆｘ
１ （１）～∃ｘＦｘ Ａ
２（２） ∀ｘＦｘ Ａ
２（３） Ｆａ ２ＵＥ
２（４） ∃ｘＦｘ ３ＥＩ
１２（５）～∃ｘＦｘ＆
∃ｘＦｘ １４＆Ｉ
１ （６） ～Ｆａ ３５ＲＡＡ
１ （７）∀ｘ～Ｆｘ ６ＵＩ
（ｄ）∀ｘ～Ｆｘ├ ～∃ｘＦｘ
１ （１） ∀ｘ～Ｆｘ Ａ
１ （２） ～Ｆａ Ａ
３ （３） ∃ｘＦｘ Ａ
４（４） Ｆａ Ａ
１ ４（５）～Ｆａ＆Ｆａ ２４＆Ｉ
１３ （６）～Ｆａ＆Ｆａ ３４５ＥＥ
１ （７） ～∃ｘＦｘ ２６ＲＡＡ
従って、
（10）（11）により、
（12）
「日本語（自然言語）」で言ふと、
① すべてのｘがＦである。といふわけではない。
② あるｘは、 Ｆでない。
③ あるｘが、 Ｆである。といふことはない。
④ すべてのｘはＦでない。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
（13）
述語計算の方が（、アリストテレスの三段論法よりも、）習い覚えるのに骨が折れるということは確かにその通りである（unquestionably hard to learn)。
（E.J.レモン著、竹尾 治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２１６頁改）
しかしながら、
（14）
（ｄ）∀ｘ～Ｆｘ├ ～∃ｘＦｘ
１ （１） ∀ｘ～Ｆｘ Ａ
１ （２） ～Ｆａ Ａ
３ （３） ∃ｘＦｘ Ａ
４（４） Ｆａ Ａ
１ ４（５）～Ｆａ＆Ｆａ ２４＆Ｉ
１３ （６）～Ｆａ＆Ｆａ ３４５ＥＥ
１ （７） ～∃ｘＦｘ ２６ＲＡＡ
に於ける「それ」は、「自然演繹（Natural deduction：自然な演繹法）」と言ふくらひなので、これとは別の、「公理的展開（axiomatic development）」の方が、「自然演繹」よりも「難しい」ものと、思はれる。
（15）
「漢文の文法」 と「述語論理の文法」を比べると、「難しさ」は「同じくらひ」であるが、
「ラテン語の文法」と「述語論理の文法」を比べると、「ラテン語の文法（を覚える）」の方が、遥かに、極端に、難しい。