（01）
Most theorems of interest are obtained in fact by application of CP. For example:
興味のある定理の大ていのものは、事実上ＣＰを適用することによって導かれる。たとえば、
３８ ├ Ｐ→Ｐ
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
３９ ├ Ｐ→～～Ｐ
１（１）Ｐ Ａ
１（２）～～Ｐ １ＤＮ
（３）Ｐ→～～Ｐ １２ＣＰ
４０ ├ ～～Ｐ→Ｐ
１（１）～～Ｐ Ａ
１（２） Ｐ １ＤＮ
（３）～～Ｐ→Ｐ １２ＣＰ
４１ ├ Ｐ＆Ｑ→Ｐ
１（１）Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２）Ｐ １＆Ｅ
（３）Ｐ＆Ｑ→Ｐ １２ＣＰ
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、６４頁改）
然るに、
（02）
（ⅰ）├ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） Ｑ＆～Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆ Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（Ｑ＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（Ｑ＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（Ｑ＆～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） Ｑ Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） Ｑ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） Ｑ→Ｐ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １コＣＰ
（ⅱ）├ （Ｐ→Ｑ）→（（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（Ｐ→Ｒ））
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
２３（５） Ｑ→Ｒ ２３ＭＰＰ
１２３（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１２ （７） Ｐ→Ｒ ３６ＣＰ
１ （８） （Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（Ｐ→Ｒ） ２６ＣＰ
（９）（Ｐ→Ｑ）→（（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（Ｐ→Ｒ）） １８ＣＰ
（ⅲ）├ Ｐ→（Ｑ→Ｐ＆Ｑ）
１ （１）Ｐ Ａ
２（２）Ｑ Ａ
１２（３） Ｐ＆Ｑ １２＆Ｉ
１ （４） Ｑ→Ｐ＆Ｑ ２３ＣＰ
（５）Ｐ→（Ｑ→Ｐ＆Ｑ） １４ＣＰ
（ⅳ）├ Ｐ＆Ｑ→Ｐ
１（１）Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２）Ｐ １＆Ｅ
（３）Ｐ＆Ｑ→Ｐ １２ＲＡＡ
（ⅴ）├ Ｐ→Ｐ∨Ｑ
１（１） Ｐ Ａ
１（２） Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
（３）Ｐ→Ｐ∨Ｑ １２ＣＰ
（ⅵ）├（Ｐ→Ｒ）→（（Ｑ→Ｒ）→（Ｐ∨Ｑ→Ｒ））
１ （１） Ｐ→Ｒ Ａ
２ （２） Ｑ→Ｒ Ａ
３ （３） Ｐ∨Ｑ Ａ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） Ｒ １４ＭＰＰ
６（７） Ｑ Ａ
２ ６（８） Ｒ ２７ＭＰＰ
１２３ （９） Ｒ ３４５７８∨Ｅ
１２ （ア） Ｐ∨Ｑ→Ｒ ３９ＣＰ
１ （イ） （Ｑ→Ｒ）→（Ｐ∨Ｑ→Ｒ） ２アＣＰ
（ウ）（Ｐ→Ｒ）→（（Ｑ→Ｒ）→（Ｐ∨Ｑ→Ｒ）） １イＣＰ
（ⅶ）├（Ｐ→ Ｑ）→（（Ｐ→～Ｑ）→～Ｐ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ→～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
２３（５） ～Ｑ ２３ＭＰＰ
１２３（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１２ （７） ～Ｐ ３６ＲＡＡ
１ （８） （Ｐ→～Ｑ）→～Ｐ ２７ＣＰ
（９）（Ｐ→ Ｑ）→（（Ｐ→～Ｑ）→～Ｐ） １８ＣＰ
（ⅷ）├ ～～Ｐ→Ｐ
１（１）～～Ｐ Ａ
１（２） Ｐ １ＤＮ
（３）～～Ｐ→Ｐ １２ＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
（ⅰ）├ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（ⅱ）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（Ｐ→Ｒ））
（ⅲ）├ Ｐ→（Ｑ→Ｐ＆Ｑ）
（ⅵ）├ Ｐ＆Ｑ→Ｐ
（ⅴ）├ Ｐ→Ｐ∨Ｑ
（ⅵ）├（Ｐ→Ｒ）→（（Ｑ→Ｒ）→（Ｐ∨Ｑ→Ｒ））
（ⅶ）├（Ｐ→Ｑ）→（（Ｐ→～Ｑ）→～Ｐ）
（ⅷ）├ ～～Ｐ→Ｐ
は全て、「ＣＰを適用することによって導かれる」所の「定理（Theorems）」である。
従って、
（03）により、
（04）
ＰをＡに置き換へ、
ＱをＢに置き換へ、
ＲをＣに置き換へ、
＆を∧に置き換へ、
～を￢に置き換へた、
（ⅰ）├ Ａ→（Ｂ→Ａ）
（ⅱ）├（Ａ→Ｂ）→（（Ａ→（Ｂ→Ｃ））→（Ａ→Ｃ））
（ⅲ）├ Ａ→（Ｂ→Ａ∧Ｂ）
（ⅵ）├ Ａ∧Ｂ→Ａ
（ⅴ）├ Ａ→Ａ∨Ｂ
（ⅵ）├（Ａ→Ｃ）→（（Ｂ→Ｃ）→（Ａ∨Ｂ→Ｃ））
（ⅶ）├（Ａ→Ｂ）→（（Ａ→￢Ｂ）→￢Ａ）
（ⅷ）├ ￢￢Ａ→Ａ
は、すべて、「定理（Theorems）」である。
ｃｆ.
「論理学の記号」は、「数学の記号」とは異なり、統一されてゐない。
然るに、
（05）
公理
（１） Ａ→（Ｂ→Ａ）
（２）（Ａ→Ｂ）→（（Ａ→（Ｂ→Ｃ））→（Ａ→Ｃ））
（３） Ａ→（Ｂ→Ａ∧Ｂ）
（４） Ａ∧Ｂ→Ａ
（５） Ａ→Ａ∨Ｂ
（６）（Ａ→Ｃ）→（（Ｂ→Ｃ）→（Ａ∨Ｂ→Ｃ））
（７）（Ａ→Ｂ）→（（Ａ→￢Ｂ）→￢Ａ）
（08） ￢￢Ａ→Ａ
（吉永良正、ゲーデル・不完全定理、1992年、２０４頁）
― 中略、―
図１－６ 推論を行うための論理法則（ヒルベルト=アッカーマンの公理系による）
（吉永良正、ゲーデル・不完全定理、1992年、２０４頁）
然るに、
（06）
自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。ジョン・レモンが開発した体系Ｌは、証明の構文規則に関する次のような「１０個の基本的規則（10 Primitive rules）」だけを持つ。
仮定の規則（Ａ）
肯定肯定式（ＭＰＰ）
否定否定式（ＭＴＴ）
二重否定（ＤＮ）
条件的証明（ＣＰ）
＆－導入（＆Ｉ）
＆－除去（＆Ｅ）
∨－導入（∨Ｉ）
∨－除去（∨Ｅ）
背理法（ＲＡＡ）
（ウィキペディア改）
従って、
（01）～（06）により、
（07）
「ジョン・レモンが開発した体系Ｌ」には、「公理（axioms）」が無くて、その代はりに、「１０個の基本的規則（10 Primitive rules）」が有るため、
（１） Ａ→（Ｂ→Ａ）
（２）（Ａ→Ｂ）→（（Ａ→（Ｂ→Ｃ））→（Ａ→Ｃ））
（３） Ａ→（Ｂ→Ａ∧Ｂ）
（４） Ａ∧Ｂ→Ａ
（５） Ａ→Ａ∨Ｂ
（６）（Ａ→Ｃ）→（（Ｂ→Ｃ）→（Ａ∨Ｂ→Ｃ））
（７）（Ａ→Ｂ）→（（Ａ→￢Ｂ）→￢Ａ）
（08） ￢￢Ａ→Ａ
といふ「ヒルベルト=アッカーマンの公理（axioms）」は、「ジョン・レモンが開発した体系Ｌ」に於ける「定理（theorems）」である。
然るに、
（08）
axiomの意味 - 小学館 プログレッシブ英和中辞典
1自明の理
2（確立している）原理，原則，格言，金言；《論理学・数学》公理，公準
従って、
（08）により、
（09）
「公理（axioms）」には、「自明の理（おのづから明らかな、ことわり）」といふ「意味」が有る。
然るに、
（10）
例へば、
（２）（Ａ→Ｂ）→（（Ａ→（Ｂ→Ｃ））→（Ａ→Ｃ））≡
（〃）（ＡならばＢである）ならば（（Ａならば（ＢならばＣである））ならば（ＡならばＣである））。
といふ「言ひ方」は、「自明の理（おのづから明らかな、ことわり）」であるとは、言へないはずである。
然るに、
（11）
その一方で、「ジョン・レモンが開発した体系Ｌ」の「１０個の基本的規則」は、概ね、
（２）（ＡならばＢである）ならば（（Ａであるならば（ＢであるならばＣである））ならば（ＡならばＣである））。
よりは「分りやすく」、それ故、「自然な演繹（Natural deduction）」といふ「名前」で、呼ばれてゐる。
然るに、
（12）
いま、「├ Ａ→Ａ」（Ａ→Ａは証明可能）」を公理から導いてみましょう（図１－７）
通常の解釈では「Ａ→Ａ」は、要するに「ＡならばＡ」のことにほかならないので、「自明の理」のように思われます。
しかし、ここで採用した公理に「Ａ→Ａ」は入っていないので、形式的には証明の可能性は保証されてはいず、ご覧のようにかなり複雑な手順を踏んで証明しなければなりません。
（吉永良正、ゲーデル・不完全定理、1992年、２０５頁改）
然るに、
（01）（06）により、
（13）
もう一度、確認すると、
３８ ├ Ｐ→Ｐ
１（１）Ｐ Ａ（仮定の規則）
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ（条件的規則）
従って、
（13）により、
（14）
１（１）Ａ Ａ（仮定の規則）
（２）Ａ→Ａ １１ＣＰ（条件的証明）
従って、
（06）（14）により、
（15）
「ジョン・レモンが開発した体系Ｌ」であれば、
「Ａ→Ａ（ＡならばＡである。）」は、「１０個の基本的規則（10 Primitive rules）」の内の「２つ」によって、「証明される」。
（01）
公理
（１）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（吉永良正、ゲーデル・不完全定理、1992年、２０４頁）
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
は「（ヒルベルト・アッカーマンの）公理１」である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） Ｑ＆～Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆ Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（Ｑ＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（Ｑ＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（Ｑ＆～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） Ｑ Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） Ｑ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） Ｑ→Ｐ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １コＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） ～Ｑ＆～Ｐ Ａ
４ （４） Ｑ Ａ
３ （５） ～Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆
４ （７）～（～Ｑ＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～Ｑ＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（～Ｑ＆～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｑ Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） ～Ｑ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（～Ｑ＆～Ｐ）＆
（～Ｐ＆～Ｐ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） ～Ｑ→Ｐ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（～Ｑ→Ｐ） １コＣＰ
従って、
（03）により、
（04）
「自然演繹の規則」により、
① Ｐ→（ Ｑ→Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
② Ｐ→（～Ｑ→Ｐ）≡Ｐであるならば（ＱでないならばＰである）。
といふ「命題」は、二つとも、「恒真（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
① Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
② Ｐであるならば（ＱでないならばＰである）。
に於いて、二つとも、「真（本当）」である。といふことは、
③ Ｐであるならば（Ｑであっても、Ｑでなくとも、いづれにせよ、Ｐである）。
といふ、ことである。
然るに、
（06）
③ Ｐであるならば（Ｑであっても、Ｑでなくとも、いづれにせよ、Ｐである）。
といふことは、「誰が考へても、正しい」。
然るに、
（07）
① Ｐであるならば（ＱであるならばＰである）。
といふ「（ヒルベルト・アッカーマンの）公理１」であっても、仮にそれが、
③ Ｐであるならば（Ｑであっても、Ｑでなくとも、いづれにせよ、Ｐである）。
といふことであるならば、「誰が考へても、正しい」。