（01）
「算用数字」も、「漢数字」も、「ローマ数字」も、すべて「数字」としては「同じである」とする。
従って、
（02）
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛一、二、三、四｝
であれば、両方とも、
Ａ＝｛Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ｝
Ｂ＝｛Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ｝
であって、それ故、
Ａ＝Ｂ である。
然るに、
（03）
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛五、六、七、八｝
であれば、
Ａ＝｛Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ｝
Ｂ＝｛Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ｝
であって、それ故、
Ａ＝Ｂ ではない。
然るに、
（04）
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛五、六、七、八｝
であれば、
Ａの中に、Ｂの要素はないし、
Ｂの中に、Ａの要素はないため、
ＡとＢは、「完全に、別である。」
然るに、
（05）
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛三、四、五、六｝
であれば、
Ａは｛Ⅲ，Ⅳ｝を含んでゐて、
Ｂも｛Ⅲ，Ⅳ｝を含んでゐる。
従って、
（05）により、
（06）
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛三、四、五、六｝
であれば、
ＡとＢは、「完全に、別である。」といふわけでない。
然るに、
（07）
集合Ａと集合Ｂは等しい。⇔
∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆Ｂｘ→Ａｘ）⇔
すべてのｘについて、ｘがＡの要素であるならば、ｘはＢの要素であり、ｘがＢの要素であるならば、ｘはＡの要素である。
といふ風に、「定義」する。
従って、
（07）により、
（08）
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛一、二、三、四｝
であれば、
Ａ＝Ｂ であるが、その一方で、
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛五、六、七、八｝
であれば、
Ａ＝Ｂ でないことは固より、
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛三、四、五、六｝
であっても、
Ａ＝Ｂ ではないし、更には、例へば、
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛一、二、三｝
であっても、
Ａ＝｛１，２｝
Ｂ＝｛一、二、三｝
であっても、
Ａ＝Ｂ ではない。
従って、
（07）（08）により、
（09）
集合Ａと集合Ｂは等しい。⇔
∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆Ｂｘ→Ａｘ）⇔
すべてのｘについて、ｘがＡの要素であるならば、ｘはＢの要素であり、ｘがＢの要素であるならば、ｘはＡの要素である。
といふ風に、「定義」する限り、
① Ａ＝Ｂ（ＡとＢは等しい。）
② Ａ≠Ｂ（ＡとＢは等しくない。）
に於いて、
① は、「唯一無二である」のに対して、
② は、「幾通りも有る」といふことになる。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ～（Ａｘ→Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） １量化子の関係
３ （３） ～（Ａａ→Ｂａ ＆ ～Ａａ→～Ｂａ） Ａ
３ （４） ～（Ａａ→Ｂａ）∨～（～Ａａ→～Ｂａ） ３ド・モルガンの法則
３ （５） （Ａａ→Ｂａ）→～（～Ａａ→～Ｂａ） ４含意の定義
６ （６） （Ａａ→Ｂａ） Ａ
３６ （７） ～（～Ａａ→～Ｂａ） ５６ＭＰＰ
８ （８） Ａａ∨～Ｂａ Ａ
８ （９） ～Ａａ→～Ｂａ ８含意の定義
３６８ （ア） ～（～Ａａ→～Ｂａ）＆
（～Ａａ→～Ｂａ） ７９＆Ｉ
３６ （イ） ～（Ａａ∨～Ｂａ） ８アＲＡＡ
３６ （ウ） ～Ａａ＆ Ｂａ イ、ド・モルガンの法則
３ （エ） （Ａａ→Ｂａ）→（～Ａａ＆ Ｂａ） ６ウＣＰ
３ （オ） ～（Ａａ→Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） エ、含意の定義
カ （カ） ～（Ａａ→Ｂａ） Ａ
キ （キ） ～Ａａ∨Ｂａ Ａ
キ （ク） Ａａ→Ｂａ キ含意の定義
カキ （ケ） ～（Ａａ→Ｂａ）＆
（Ａａ→Ｂａ） カク＆Ｉ
カ （コ） ～（～Ａａ∨Ｂａ） キケＲＡＡ
カ （サ） Ａａ＆～Ｂａ コ、ド・モルガンの法則
カ （シ） （Ａａ＆～Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） サ∨Ｉ
ス（ス） （～Ａａ＆ Ｂａ） Ａ
ス（セ） （Ａａ＆～Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） ス∨Ｉ
３ （ソ） （Ａａ＆～Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） オカシスセ∨Ｅ
３ （タ）∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝ ソＥＩ
１ （チ）∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝ ２３タＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝ Ａ
２ （２） （Ａａ＆～Ｂａ）∨（～Ａａ＆ Ｂａ） Ａ
３ （３） ∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） Ａ
３ （４） Ａａ→ Ｂａ ＆ ～Ａａ→～Ｂａ ３ＵＥ
３ （５） Ａａ→ Ｂａ ４＆Ｅ
６ （６） Ａａ＆～Ｂａ Ａ
６ （７） Ａａ ６＆Ｅ
３６ （８） Ｂａ ５７ＭＰＰ
６ （９） ～Ｂａ ６＆Ｅ
３６ （ア） Ｂａ＆～Ｂａ ８９＆Ｉ
６ （イ）～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） ３アＲＡＡ
３ （ウ） ～Ａａ→～Ｂａ ４＆Ｅ
エ （エ） ～Ａａ＆ Ｂａ Ａ
エ （オ） ～Ａａ エ＆Ｅ
３ エ （カ） ～Ｂａ ウオＭＰＰ
エ （キ） Ｂａ オ＆Ｅ
３ エ （ク） ～Ｂａ＆Ｂａ カキ＆Ｉ
エ （ケ）～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） ３７ＲＡＡ
２ （コ）～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） ２６イエケＥＥ
１ （サ）～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ） １２コＥＥ
従って、
（10）により、
（11）
① ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
② ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（12）
「十分に説明する」のは難しい（ややこしい）ものの、
① ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
② ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
に於いて、
①＝② である。
といふことは、
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛五、六、七、八｝
といふ場合には、確かに、「当てはまる」が、例へば、
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛三、四、五、六｝
といふ場合には「当てはまらない」。
例へば、
（13）
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛五、六、七、八｝
に於いて、
ｘ＝４＝四 であるならば、
ｘは、Ａ＝｛１，２，３，４｝の中にあって、
ｘは、Ｂ＝｛五、六、七、八｝の中にないものの、
② ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆Ｂｘ）｝
は、さういふ「意味」である。
然るに、
（14）
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛三、四、五、六｝
に於いて、
ｘ＝４＝四 であるならば、
ｘは、Ａ＝｛１，２，３，４｝の中にも、
ｘは、Ｂ＝｛三、四、五、六｝の中にもあるため、この場合は、
② ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆Ｂｘ）｝
といふことには、ならない。
従って、
（01）～（14）により、
（15）
① ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
② ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
③「集合Ａと集合Ｂは等しくない。」
に於いて、
①＝②＝③ である。
とするならば、
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛五、六、七、八｝
といふ場合であれば、
③「集合Ａと集合Ｂは等しくない。」と言へるものの、
Ａ＝｛１，２，３，４｝
Ｂ＝｛三、四、五、六｝
といふ場合であれば、
③「集合Ａと集合Ｂは等しくない。」とは言へない。
従って、
（09）（15）により、
（16）
集合Ａと集合Ｂは等しい。⇔
∀ｘ（Ａｘ→Ｂｘ＆Ｂｘ→Ａｘ）⇔
すべてのｘについて、ｘがＡの要素であるならば、ｘはＢの要素であり、ｘがＢの要素であるならば、ｘはＡの要素である。
といふ風に、「定義」する限り、
① Ａ＝Ｂ（ＡとＢは等しい。）
② Ａ≠Ｂ（ＡとＢは等しくない。）
に於いて、
① は、「唯一無二である」のに対して、
② は、「幾通りも有る」ものの、
その一方で、
① ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
② ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
といふ「定義」は、「幾通りも」の「それ」には、対応してゐない。
といふ、ことになる。
（17）
といふわけで、うまくは「説明」できなかったものの、
① ～∀ｘ（Ａｘ→ Ｂｘ ＆ ～Ａｘ→～Ｂｘ）
② ∃ｘ｛（Ａｘ＆～Ｂｘ）∨（～Ａｘ＆ Ｂｘ）｝
③「集合Ａと集合Ｂは等しくない。」
に於いて、
①＝②＝③ である。
とは言へない。といふのが、「結論」である。
（01）
① Ａ→ Ｂ ＆ ～Ａ→～Ｂ
② Ａ→ Ｂ ＆ Ｂ→ Ａ ：対偶
③ ～（Ａ＆～Ｂ）＆～（Ｂ＆～Ａ）：条件法の法則
④ （～Ａ∨ Ｂ）＆（～Ｂ∨ Ａ）：ド・モルガンの法則
に於いて、すなはち、
① ＡであるならばＢであって、ＡでないならばＢでない。
② ＡであるならばＢであって、ＢであるならばＡである。
③ Ａであって、 Ｂでない。といふことはなく、Ｂであって、Ａでない。といふことはない。
④ Ａでないか Ｂであり、 Ｂでないか、Ａである。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（02）
② Ａ→Ｂ＆Ｂ→Ａ
② ＡであるならばＢであって、ＢであるならばＡである。
として、「ＡとＢが集合」であるならば、
② 集合Ａと集合Ｂは等しい。
従って、
（01）（02）により、
（03）
④（～Ａ∨ Ｂ）＆（～Ｂ∨Ａ）
④ ＡでないかＢであり、ＢでないかＡである。
として、「ＡとＢが集合」であるならば、
④ 集合Ａと集合Ｂは等しい。
従って、
（02）（03）により、
（04）
「番号」を付け直すと、
① Ａ→Ｂ ＆ Ｂ→Ａ ⇔ 集合Ａと集合Ｂは等しい。
②（～Ａ∨Ｂ）＆（～Ｂ∨Ａ）⇔ 集合Ａと集合Ｂは等しい。
従って、
（04）により、
（05）
① ～（Ａ→Ｂ＆Ｂ→Ａ） ⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
② ～｛（～Ａ∨Ｂ）＆（～Ｂ∨Ａ）｝⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
然るに、
（06）
（ⅱ）
１ （１）～｛（～Ａ∨Ｂ）＆ （～Ｂ∨Ａ）｝ Ａ
１ （２） ～（～Ａ∨Ｂ）∨～（～Ｂ∨Ａ） １ド・モルガンの法則
３ （３） ～（～Ａ∨Ｂ） Ａ
３ （４） Ａ＆～Ｂ ３ド・モルガンの法則
３ （５） （Ａ＆～Ｂ）∨ （Ｂ＆～Ａ） ４∨Ｉ
６ （６） ～（～Ｂ∨Ａ） Ａ
６ （７） Ｂ＆～Ａ ６ド・モルガンの法則
６ （８） （Ａ＆～Ｂ）∨ （Ｂ＆～Ａ） ７∨Ｉ
１ （９） （Ａ＆～Ｂ）∨ （Ｂ＆～Ａ） ２３５６８∨Ｉ
（ⅲ）
１ （１） （Ａ＆～Ｂ）∨ （Ｂ＆～Ａ） Ａ
２ （２） （～Ａ∨Ｂ）＆ （～Ｂ∨Ａ） Ａ
３ （３） Ａ＆～Ｂ Ａ
２ （４） ～Ａ∨Ｂ ２＆Ｅ
２ （５） Ａ→Ｂ ４含意の定義
３ （６） Ａ ３＆Ｅ
２３ （７） Ｂ ５６ＭＰＰ
３ （８） ～Ｂ ３＆Ｅ
２３ （９） Ｂ＆～Ｂ ７８＆Ｉ
ア（ア） Ｂ＆～Ａ Ａ
２ （イ） ～Ｂ∨Ａ ２＆Ｅ
２ （ウ） Ｂ→Ａ イ含意の定義
ア（エ） ～Ａ ア＆Ｅ
２ ア（オ） ～Ｂ ウエＭＴＴ
ア（カ） Ｂ ア＆Ｅ
２ ア（キ） Ｂ＆～Ｂ オカ＆Ｉ
１２ （ク） Ｂ＆～Ｂ １３９アキ∨Ｅ
１ （ケ）～｛（～Ａ∨Ｂ）＆ （～Ｂ∨Ａ）｝ ２クＲＡＡ
従って、
（06）により、
（07）
② ～｛（～Ａ∨ Ｂ）＆（～Ｂ∨ Ａ）｝
③ （ Ａ＆～Ｂ）∨（ Ｂ＆～Ａ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① ～（Ａ→ Ｂ ＆ Ｂ→ Ａ） ⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
② ～｛（～Ａ∨ Ｂ）＆（～Ｂ∨ Ａ）｝⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
③ （ Ａ＆～Ｂ）∨（ Ｂ＆～Ａ） ⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
然るに、
（09）
「集合Ａと集合Ｂの和集合」＝
「Ａの要素であってＢの要素でない要素からなる集合（Ａ＆～Ｂ）」＋
「Ａの要素であってＢの要素である要素からなる集合（Ａ＆ Ｂ）」＋
「Ｂの要素であってＡの要素でない要素からなる集合（Ｂ＆～Ａ）」。
従って、
（09）により、
（10）
「集合Ａと集合Ｂの和集合」＝
「Ａの要素であってＢの要素でない要素からなる集合（Ａ＆～Ｂ）」∨
「Ａの要素であってＢの要素である要素からなる集合（Ａ＆ Ｂ）」∨
「Ｂの要素であってＡの要素でない要素からなる集合（Ｂ＆～Ａ）」。
に於いて、
「Ａの要素であってＢの要素である要素からなる集合（Ａ＆ Ｂ）」が、
「空集合（φ）」であるならば、
「集合Ａと集合Ｂの和集合」＝
「Ａの要素であってＢの要素でない要素からなる集合（Ａ＆～Ｂ）」∨
「Ｂの要素であってＡの要素でない要素からなる集合（Ｂ＆～Ａ）」。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
① ～（Ａ→ Ｂ ＆ Ｂ→ Ａ） ⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
② ～｛（～Ａ∨ Ｂ）＆（～Ｂ∨ Ａ）｝ ⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
③ （ Ａ＆～Ｂ）∨（ Ｂ＆～Ａ） ⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
④「集合Ａと集合Ｂの積集合が、空集合。」⇔（集合Ａと集合Ｂは等しく）ない。
従って、
（11）により、
（12）
「集合Ａと集合Ｂが等しくない。」といふことと、
「集合Ａと集合Ｂの積集合が、空集合である。」といふことは、「同じ」である。
然るに、
（13）
（高等学校数学A/集合と論理）
に於いて、
「ｘが、Ａの要素であって、Ｂの要素である。」ならば、
「集合Ａと集合Ｂの積集合は、空集合ではなく」、尚且つ、「集合Ａと集合Ｂは、同じではない。」
従って、
（12）（13）により、
（14）
「集合Ａと集合Ｂが等しくない。」といふことと、
「集合Ａと集合Ｂの積集合が、空集合である。」といふことは、「同じ」であって、尚且つ、「同じ」ではない。
従って、
（15）
（01）～（12）と（13）は、「矛盾」するものの、私には、どうしてさうなるのかが、分からない。