組合せの問題（５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、組合せの問題です。

問題は、
「０，１，２，３，４，５，６ の７個の数を一列に並べる。このとき、すべての連続する４個の数の和が３で割りきれるような並べ方は何通りか。」
です。

ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，ａ5，ａ6，ａ7
を条件を満たす並べ方とすると、
ａ1＋ａ2＋ａ3＋ａ4＝（３の倍数）　　　（１）
ａ2＋ａ3＋ａ4＋ａ5＝（３の倍数）　　　（２）
ａ3＋ａ4＋ａ5＋ａ6＝（３の倍数）　　　（３）　　　
ａ4＋ａ5＋ａ6＋ａ7＝（３の倍数）　　　（４）
になります。

ここで（１）＋（４）から
　ａ1＋ａ2＋ａ3＋ａ4＋ａ4＋ａ5＋ａ6＋ａ7
＝ａ1＋ａ2＋ａ3＋ａ4＋ａ5＋ａ6＋ａ7＋ａ4
＝（３の倍数）
で、このとき、
ａ１＋ａ2＋ａ3＋ａ4＋ａ5＋ａ6＋ａ7
＝０＋１＋２＋３＋４＋５＋６
＝２１
＝（３の倍数）
なので、
ａ4＝（３の倍数）
です。

すると（１）と（４）から
ａ1＋ａ2＋ａ3＝（３の倍数）－ａ4＝（３の倍数）
ａ5＋ａ6＋ａ7＝（３の倍数）－ａ4＝（３の倍数）
です。

ここで、０から６までの３で割ったときの余りをまとめると、
数　 余り
０ → ０
１ → １
２ → ２
３ → ０
４ → １
５ → ２
６ → ０
で、このとき、ａ4 を３で割ったときの余りは０なので、残りの余りは、０、１、２がそれぞれ２個ずつになり、したがって、（ａ1，ａ2，ａ3） と （ａ5，ａ6，ａ7） のいずれの組も、余り０、１、２の並び替えになります。

一方、（１）－（２）、（２）－（３）、（３）－（４）から、
ａ1－ａ5＝（３の倍数）
ａ2－ａ6＝（３の倍数）
ａ3－ａ7＝（３の倍数）
で、ａ1、ａ2、ａ3、ａ5、ａ6、ａ7 を３で割った余りは、ａ1 と ａ5、ａ2 と ａ6、ａ3 と ａ7 で同じになります。

以上をまとめると、
① ａ4 は、０、３、６ のいずれか
②（ａ1，ａ2．ａ3）と（ａ5，ａ6，ａ7）の組は３で割った余りが（０，１，２）の並び替え
③ ３で割った余りは、ａ1 と ａ5、ａ2 と ａ6、ａ3 と ａ7 で同じ
になります。

あとは組合せ数を計算してお仕舞いです。

①②③のそれぞれの場合の数は、
① ａ4 の選び方は３通り
② ａ4 を除いて残った数を３で割ったときの余りは０、１、２が２個ずつなので、（ａ1，ａ2，ａ3）と（ａ5，ａ6，ａ7）の２組への振り分け方は、２×２×２＝８（通り）
③ ａ1、ａ2、ａ3 の数を決めるとａ5、ａ6、ａ7 の数が決まるので、（ａ1，ａ2，ａ3）、（ａ5，ａ6，ａ7）の並べ方は３×２×１＝６（通り）
です。

したがって、条件を満たす並べ方は、３×８×６＝１４４（通り）で、これが答えです。


合同式を利用すると簡潔になります。