整数問題（４１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、整数問題です。

問題は、
「２桁の整数であって、いずれの桁の数も元の数を割り切るものの総和を求めよ。」
です。

２桁の整数Ｎを
Ｎ＝１０ａ＋ｂ
としましょう。

ここで、ａ、ｂはＮを割り切るので ａ，ｂ≠０ から
１≦ａ，ｂ≦９　　　　　　（１）
の整数になります。

このとき、Ｎはａで割り切れることから

は整数になり、したがって、ａはｂを割り切り、
ｂ＝ｋａ　　　　　　　　　（２）
とすることができます。

ここで、

から、ｋは、

を満たす整数です。　

さらに、Ｎはｂで割り切れることから

は整数になり、したがって、ｂは１０ａを割り切ります。

すると（２）から、ｋａは１０ａを割り切ることになり、したがって、ｋは１０を割り切ります。

ここで、１０を割り切る正の整数は、１、２、５ なので、ｋ＝１、２、５ になります。

ここから、ｋの値で場合分けしましょう。

● ｋ＝１ の場合
（２）から ａ＝ｂ で、
Ｎ＝１１、２２、３３、４４、５５、６６、７７、８８、９９
です。

● ｋ＝２ の場合
（２）から ａ＝２ｂ で、
Ｎ＝１２、２４、３６、４８
です。

● ｋ＝５ の場合
（２）から ａ＝５ｂ で、
Ｎ＝１５
です。

以上から、条件を満たすＮの総和は、
　　１１＋２２＋３３＋４４＋５５＋６６＋７７＋８８＋９９
　＋１２＋２４＋３６＋４８
　＋１５
＝　１１×（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９）
　＋１２×（１＋２＋３＋４）
　＋１５
＝１１×４５＋１２×１０＋１５
＝４９５＋１２０＋１５
＝ ６３０
で、これが答えです。


簡単な問題です。